Методическое пособие по математике. 5 класс


С. К. Кыдыралиев, А. Б. Урдалетова
МАТЕМАТИКА
5 класс
Учебник
Для школ с русским языком обучения
БИШКЕК – 2017
УДК 373.167.1 ББК 22.1 Я 721
К**
К**
Кыдыралиев С. К., Урдалетова А. Б.
МАТЕМАТИКА: 5 класс. Учебник для школ с русским языком обучения. – Б.: 2017. – 306 с.
ISBN 978–9967–**–***–*
Пособие предназначено для учащихся 5 класса и ориентировано на развитие творческих способностей и мышления учащихся. Особенностью предлагаемого пособия является большое количество текстовых задач, примеров и упражнений на развитие логического мышления.
К **********–**УДК 373.167.1
ББК 22.1 Я 721
ISBN 978–9967–**–***–*
© С. К. Кыдыралиев, А. Б. Урдалетова, 2017
© Министерство образования и науки КР, 2017
© ОсОО «Издательство Аркус», 2017
От авторов
Вы приступаете к изучению математики в 5 классе. Вы уже довольно много знаете, ещё больше вам предстоит узнать. Когда мы готовили для вас это по- собие, то хотели добиться того, чтобы книга была и полезной, и интересной. Для этого основное внимание уделено решению задач с целью научить использовать математику при решении проблем, с которыми приходится
сталкиваться в жизни.
Как построена книга
Книга разбита на параграфы, параграфы – на пункты. Каждый пункт обо- значен двумя числами, первое из которых – это номер параграфа, которому принадлежит данный пункт, второе – номер пункта внутри параграфа.
Каждая новая ситуация описывается отдельным пунктом и, как правило, иллюстрируется задачей, которая приведена с подробным решением.
Сразу же за задачей следуют упражнения, которые решаются так же, как и задача. Кроме упражнений, следующих за задачами, в конце каждого па- раграфа приведено ещё некоторое количество упражнений – итоговых зада- ний. Они иллюстрируют материал всего параграфа.
Ко всем упражнениям в конце книги приведены ответы.
Не верьте тем, кто говорит, что математика – скучная наука, что матема- тика – это только формулы, формулы… формулы. В первую очередь, нам бы хотелось, чтобы в процессе изучения математики вы научились мыслить, чтобы наши ученики не были похожи на героя следующего анекдота:
Отец. У меня было десять яблок, два я съел. Сколько яблок осталось?
Сын. Не знаю. В школе мы решаем задачи только на груши.
Математику можно изучать весело, призвав на помощь персонажей, зна- комых с детства:
Посадил Дед репку. Выросла репка большая-пребольшая.
Стали тянуть репку. Дедка за репку, Бабка за Дедку, Внучка за Бабку, Жучка за Внучку, Кошка за Жучку, Мышка за Кошку. Тянут-потянут – вытянули репку.
Отдохнули и поделили репку. Мышке досталось 5 кусочков, Кошке – на 4 кусочка больше, Жучке – на 4 кусочка больше, чем Кошке, и так далее.
Вопрос: на сколько кусочков была поделена репка?
Эту задачу могут решить даже ученики младших классов. Для её решения сначала нужно установить соответствие между персонажем сказки и количеством кусочков.
Мышка Кошка Жучка Внучка Бабка Дед
5 5 + 4 = 9 9 + 4 = 13 13 + 4 = 17 17 + 4 = 21 21 + 4 = 25
Сложив полученные числа, получим ответ: 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 = 90 кусочков.
Но задача станет ещё интереснее, если мы не остановимся, а попробуем задуматься над следующими вопросами:
Как получить ответ в случае очень большой репки, которую вытяну- ли не шесть человек, а шестьдесят?
Размышлениянадэтимвопросомприводяткпроблеме
арифметической прогрессии.
б) Что, если каждому последующему досталось не на 4 кусочка боль- ше, а в три раза больше кусочков?
Размышляя над этим вопросом, приходим к геометрической
прогрессии.
Эти «страшные» прогрессии будут изучаться позднее, и мы надеемся, что они, как и многие другие математические объекты, окажутся совсем не страшными.
Самостоятельная работа Исследовательская работа Итоги
§ 1.Задачи на повторение программы начальной школы
Математика есть, главным образом, точное суждение
Константин Эдуардович Циолковский, основоположник космонавтики
Начнем эту книгу с разминки после каникул – набора задач, которые Вы можете решить, немного поразмыслив. Если какие-то из этих задач не полу- чились – не беда: отложите и попробуйте к ним вернуться позже.
Ι. На каждый вопрос дайте один из ответов: ДА, НЕТ или НЕ ЗНАЮ.
Верно ли решены примеры? 1) 517 + 346 = 863
2) 589 • 11 – 715 = 5764
3) 17 + 3 • 2 = 40
4) 42 • 67 + 72 : 3 = 2836
5) (3467 • 4592 – 678 • 997) • 0 = 23567
6) (121 : 11 – 99 : 11) • 5 = 10
Верны ли утверждения?
Сантиметр в 10 раз больше миллиметра.
Грамм в 100 раз меньше килограмма.
В 6 минутах 340 секунд.
4020 метров – это 4 километра и ещё 20 метров.
340 кг – это 3 тонны и ещё 40 килограммов.
121 кг – это 1 центнер и ещё 21 кг.
В саду посадили 36 кустов малины, по 9 кустов в каждом ряду, а смородины – на один ряд больше и по 11 кустов в каждом ряду. Верны ли утверждения?
Всего посажено 5 рядов смородины.
Всего посажен 81 куст.
Айдай за 3 порции мороженого по 15 сомов 50 тыйынов подала про- давцу 50 сомов. Верны ли утверждения?
Стоимость покупки 47 сомов 50 тыйынов.
Она получит сдачу 3 сома 50 тыйынов.
Верны ли утверждения? 1) 7515 : 5 – 999 = 514
2) В равенстве 7515 : 5 – 999 = 504 число 1503 называется уменьшаемым.
Кате 11 лет. Она в 7 раз младше бабушки и на 29 лет младше мамы. Верны ли утверждения?
Бабушке 77 лет.
Бабушка старше мамы на 35 лет.
Сторона клетки на рисунке равна 1. Верны ли утверждения?
Площадь фигуры А на 6 единиц больше площади фигуры В.
Периметр фигуры А на 2 единицы меньше периметра фигуры В.
A B Шмель летит со скоростью 18 км/час. Верны ли утверждения?
За 10 минут шмель пролетает 3 км.
Шмель пролетает 10 метров за 2 секунды.
В магазин привезли розы и кактусы, всего 120 растений в горшках. Оказалось, что роз в два раза больше. Верны ли утверждения?
Кактусы составляют третью часть всех растений.
В магазин привезли 90 роз.
В корзине лежат яблоки, груши и персики, всего 55 фруктов. Груш на 7 больше, чем персиков, а яблок на 3 меньше, чем груш и персиков вместе. Верны ли утверждения?
В корзине 20 груш.
Яблок в корзине в 2 раза больше, чем персиков.
Дно бассейна, имеющего форму прямоугольника со сторонами 5 м и 10 м, выложено квадратными плитками со стороной 50 см. Верны ли утверждения?
Если глубина бассейна 2 м, то его объём равен 100 куб. м.
На дно бассейна израсходовано 200 плиток.
Гульзина купила n ручек и 25 тетрадей. Ручка стоит 15 сомов, тетрадь – 5 сомов. Верны ли утверждения?
Если продавцу ручек Гульзина отдала 200 сомов и получила сдачу, то она купила меньше 14 ручек.
Все ручки и карандаши вместе стоят 15n + 5 • 25 сомов.
ΙΙ. В каждом задании выберите один из предложенных ответов.
Сначала к числу 9 прибавили 3, потом результат разделили на 4 и по- том вычли 2. Как можно записать выполненные действия?
1) 9 + 3 : 4 – 2;3) (9 + 3) : (4 – 2);5) (9 + 3) : 4 – 2.
2) (9 + 3 : 4) – 2;4) 9 + (3 : 4 – 2);
В прятки играют 9 ребят, один из них водит. Водящий уже нашел 6 ре- бят. Сколько ещё ребят ему надо найти?
1) 1;2) 2;3) 3;4) 4;5) 6.
Периза сложила свой возраст и возраст сестры – у неё получилось 52. Какой будет сумма их возрастов через год?
1) 51;2) 52;3) 53;4) 54;5) 56.
В большом ящике лежат четыре ящика поменьше, а в каждом из этих ящиков лежат ещё по четыре ящика. Сколько всего ящиков?
1) 17;2) 25;3) 21;4) 14;5) 16.
Тамара купила воздушные шарики и разделила их поровну между Темиром, Данияром и Канышай. Темиру достались шарики трёх разных цве- тов, по два шарика каждого цвета. Сколько всего шариков купила Тамара?
1) 18;2) 21;3) 17;4) 12;5) 15.
Значки на рисунке обозначают цифры (одинаковыми значками обозна- чены одинаковые цифры). Какую цифру обозначает знак ▼?
▲ + ► = 5;► + ► = 6;► + ◄ = 7;▲ + ◄ = ▼ . 1) 8;2) 2;3) 1;4) 5;5) 6.
Альбина расставила значки пяти видов так, что в каждой строке и ка- ждом столбце оказались разные значки. Потом пришел Рашид и поменял два значка местами. Значки из каких клеток были поменяны?
a b c d e
1 ◊ ▼ ► ▲ ◄
2 ► ◊ ◄ ► ▲
3 ▼ ◄ ▲ ◊ ►
4 ▲ ▼ ▼ ◄ ◊
5 ◄ ▲ ◊ ► ▼
1) 4b и 1c;2) 4c и 2e;3) 2d и 4c;4) 1b и 2d;5) 4b и 2d.
Четырьмя цифрами: 0, 1, 2 и 1 записан 2011-й год. Сколько ещё раз после этого год будет записываться теми же четырьмя цифрами?
1) 1;2) 2;3) 3;4) 4;5) 6.
Электронные часы показывают часы и минуты, например, 15:17 (15 ча- сов 17 минут). Маленькой Дание очень нравится цифра 0, и она ждет, когда эта цифра появится на часах. Чему равен самый большой промежуток вре- мени, когда Дания может любоваться цифрой 0 без перерыва?
1) 100 мин;2) 90 мин;3) 80 мин;4) 70 мин;5) 60 мин.
На столе лежит много карточек, на каждой из них написано одно из чисел: 3, 13 или 31. Какое самое маленькое количество карточек нужно взять, чтобы сумма всех чисел на них была равна 135?
1) 8;2) 15;3) 7;4) 45;5) 6.
Четыре воздушных шарика стоят на 15 сомов больше, чем один ша- рик. Сколько сомов стоит один шарик?
1) 8;2) 5;3) 7;4) 4;5) 6.
В Лесной школе учатся 4 лисёнка, 4 утёнка, 3 гу- сёнка и несколько зайчат. Когда учитель пересчитал лапы своих учеников, то получилось 54. Сколько за-
йчат учатся в школе?
1) 8;2) 5;3) 7;4) 4;5) 6.
К четырёхзначному числу, сумма цифр которого равна 3, прибавили двузначное и снова получили четырёхзначное число, сумма цифр кото- рого равна 3. Какое число не может получиться таким
образом?
1) 2100;2) 2010;3) 1200;4) 1020;5) 1110.
Из города A в город B вышли Садык и Толя. В это же время навстречу им из города B вышла Олеся. Через 2 часа Олеся встретила Садыка, ещё через час – Толю, а ещё через 3 часа она пришла в город A. Во сколько раз быстрее Толи шёл Садык?
1) 2;2) 3;3) 4;4) 5;5) 6.
Квадрат разрезали на 2 одинаковых прямоугольника с периметрами, равными 30 м. Чему был равен периметр квадрата?
1) 20;2) 30;3) 40;4) 50;5) 60.
В салоне самолёта ряды сидений имеют номера от 1 до 25, но номер 13 пропущен. В пятнадцатом ряду, где находится аварийный выход, 4 места,
а во всех остальных рядах по 6 мест. Сколько всего пассажирских мест в самолёте?
1) 120;2) 155;3) 140;4) 128;5) 142.
В войске 6060 человек. На 10 солдат приходится один сержант, на 5 сержантов – 1 офицер, на 9 офицеров – 1 генерал. Сколько в войске солдат?
1) 1200;2) 5555;3) 5400;4) 5805;5) 5425.
На дне рождения было 14 детей таких возрастов: 7, 8, 9, 10 и 11 лет. Пятерым было по 10 лет, а больше всего среди гостей было одиннадцатилет- них. Найдите общий возраст этих 14 детей.
1) 140;2) 142;3) 135;4) 138;5) 143.
§ 2.Волшебная таблица
749777801602.1
На праздновании дня рождения крокодила Гены появился незнакомец.
Подойдя к имениннику, он скромно представился: «Волшебник».
«Неужели?» – хмыкнул Гена. «В самом деле», – не смущаясь, ответил не- знакомец, и со словами: «Пожалуйста, выберите любое число из этой табли- цы», – протянул листочек со следующей таблицей:
179 250 102
154 225 77
173 244 96
«Ладно. Пусть будет 250», – сказал крокодил.
После этого незнакомец произнёс заклинание: «Сим-салабим», – и из та- блицы исчезли числа, стоявшие на одной строке и в одном столбце с вы- бранным числом:
250 154 77
173 96
«Пожалуйста, выберите одно из оставшихся чисел», – продолжил незнакомец.
«Теперь я выбираю 154», – сказал заинтригованный Гена.
После следующего заклинания: «Ахалай-махалай» – исчезли числа, сто- явшие на одной строке и в одном столбце с этим числом:
250 154 96
«Сложите получившиеся числа и получите число, о котором Вы мечтаете», – подытожил незнакомец.
Гена произвёл сложение: 250 + 154 + 96 = 500, не- которое время смотрел на результат, а потом, с не- которым сомнением, сказал: «Удивительно».
Чебурашка,которыйстоялря- дом, сказал: «Ничего удивительного – совпадение».
«Вы можете начать с любого другого числа», – не смутился незнакомец.
Теперь Крокодил Гена выбрал 102. Произнеся вол- шебное заклинание «сим-салабим», он получил таблицу:
102
154 225 173 244 Затем он выбрал число 173, и после следующего заклинания «ахалай-ма- халай» получилась таблица:
102
225 173 Суммаоставшихсячиселопятьоказаласьравнойпятистам: 102 + 225 + 173 = 500.
После этого Крокодил Гена начал с другого числа, потом ещё и ещё раз – всё время сумма остающихся трёх чисел оказывалась равной 500.
Упражнение 1
Испытайте волшебную таблицу, начав с числа 77 и выбрав затем 244.
Испытайте волшебную таблицу, начав с числа 96 и выбрав затем 225.
749777661902.2
Посмотрев на всё это, бывший в тот день не в духе Чебурашка произнёс: «Эка невидаль. Все слышали, что ты хочешь 500 эскимо, а число 500 очень про- стое, поэтому его легко получить. Возможно, с дру- гими числами так не получится».
«Хорошо. Произведите те же действия с этой таблицей и получите другое известное число», – сказал волшебник и протянул Чебурашке листочек со следующей таблицей:
128 119 136
86 77 94
152 143 160
После он добавил: «Не забывайте произносить волшебные заклинания».
Упражнение 2
Испытайте волшебную таблицу три раза, каждый раз начиная с числа, стоящего в первом столбце.
Испытайте волшебную таблицу три раза, каждый раз начиная с числа, стоящего в первой строке.
749776795132.3
Когда, произведя выкладки, Чебурашка получил чис- ло 365, к разговору подключилась старушка Шапокляк:
«Это в обычные годы число дней равно 365. А в ви- сокосные – 366». «Ну, это тоже не проблема», – ска- зал волшебник, взял листочек бумаги, ручку и че- рез пару минут вручил новую таблицу:
39 55 84 51
136 152 181 148
48 64 93 60
70 86 115 82
Шапокляк выбрала число 181, и после заклинания «сим-салабим» у неё получилась таблица:
39 55 51
181 48 64 60
70 86 82
Потом она выбрала число 86. Получилось вот что:
39 51
181 48 60
86 Затем старушка выбрала ещё число 48. Таблица приняла такой вид:
51
181 48 86 Сумма оставшихся чисел: 51 + 181 + 48 + 86 = 366.
Крокодил Гена и Чебурашка выбрали каждый свои числа, не забывая при этом произносить волшебные заклинания, и получили, Вы уже догадывае- тесь, то же самое число. Когда они, изумленные, пожелали расспросить вол- шебника, тот уже исчез. Что это было?
Упражнение 3
Испытайте волшебную таблицу три раза, каждый раз начиная с числа, стоящего в первом столбце.
Испытайте волшебную таблицу три раза, каждый раз начиная с числа, стоящего в первой строке.
893776801602.4
Для того чтобы лучше понять волшебные таблицы, рассмотрим таблицу порядка 2:
17 21
12 16
Выбрав в качестве 1-го элемента число 17, получим таблицу:
17 16
Сумма оставшихся чисел: 12 + 21 = 33. Это же число получится, если взять в качестве 1-го элемента число 12, тогда 12 + 21 = 33; число 21, тогда
21 + 12 = 33; число 16, тогда 16 + 17 = 33. Следовательно, таблица волшебная.
Маленькая Адинай, переписывая волшебную таблицу, забыла написать одно из чисел:
72 23
76 Можно ли исправить её ошибку? Надеемся, что Вы ответили: «КОНЕЧНО!» Обозначим пропущенное число через а:
72 23
76 a
Несложно понять, что в данном случае «волшебным» является число 99: 76 + 23 = 99. Поэтому нам нужно записать: 72 + a = 99. Вычтем из обеих ча- стей этого равенства число 72. Мы получим: a = 99 – 72 = 27.
Итак, мы выяснили, что Адинай забыла написать число 27.
Упражнение 4. Вставьте недостающие числа в «волшебные» таблицы.
3 6
12 144 56
23
32 16 29
164
123 235
a)b)c)d)
34 18
21 440 81
60
27 62 95
604
120 51
a)b)c)d)
749776211052.5
Итак, мы выяснили, что если заданы три числа волшебной таблицы по- рядка 2, то четвёртое число несложно определить.
В следующий раз Адинай уже специально переписала только два числа и предложила Зарине дополнить таблицу:
7 5
Зарина заполнила таблицу:
7 8
4 5
Адинай посмотрела и сказала, что Зарина не права, а правильная табли- ца выглядит так:
7 6
6 5
Недовольные друг другом, девочки пришли к Бекболу, а он из вредности сказал, что девочки обе не правы, а правильная волшебная таблица выгля- дит так:
7 10
2 5
Пришлось девочкам идти к Эрболу, он и объяснил, что правы все: так как сумма заданных чисел равна 12, то на остальных местах могут стоять два любых числа, дающие в сумме 12. Поэтому, кроме вышеприведённых та- блиц, можно написать и другие таблицы с волшебным числом 12:
7 12
0 5
7 11
1 5
7 9
3 5

Упражнение 5. Составьте 4 разные «волшебные» таблицы, вставив недо- стающие числа в таблицу:
16
5 14 23
a)b)
34 8
61
15 a)b)
893777801602.6
Увидев, что девочки заинтересовались волшебными таблицами, Эрбол предложил Адинай вставить недостающие числа в таблицу так, чтобы полу- чилось волшебное число 17:
11 8
Зарине он дал задание вставить недостающие числа в таблицу так, чтобы получилось волшебное число 21:
12 6 Давайте поможем девочкам. Если Адинай поставит буквы на место недо- стающих чисел,
11 8
a b
то выяснится, что нужно решить два уравнения: 1) 11 + b = 17 и 2) a + 8 = 17. Вычтем из обеих частей уравнения 11 + b = 17 число 11 и получим:
b = 17 – 11 = 6.
Так же решим уравнение a + 8 = 17. Вычтем из обеих частей уравнения число 8 и получим: a = 17 – 8 = 9.
Итак, Адинай должна получить такую таблицу:
11 8
9 6
Зарина может поступить подобным образом – дописать буквы:
12 c
6 d
Потом – составить уравнения: 12 + d = 21; 6 + c = 21. Решив эти уравнения, она получит таблицу:
12 15
6 9
15 6
4
52
Упражнение 6. Вставьте недостающие числа в таблицу так, чтобы получилось:
a) волшебное
число 33
a) волшебное
число 47
волшебное число 133
22 34
68 79 волшебное число 107
749774211052.7
Через некоторое время Джамиля решила позаниматься с девочками и начала диктовать им волшебную таблицу. Не успела она дойти до конца, как Адинай и Зарина сказали, что они знают, какие числа будут дальше. Известно, что в тот момент в таблицу были внесены числа:
19 24 12
16 21 9
7 Давайте и мы определим оставшиеся числа. Во-первых, выбрав число 7, а затем 21, получим:
12
21 7 Следовательно, волшебное число: 7 + 21 + 12 = 40. Его также можно полу- чить, выбрав число 7, а затем 24:
24 9
7 Тогда 7 + 24 + 9 = 40.
Теперь допишем на место недостающих чисел буквы a и b.
19 24 12
16 21 9
7 a b
Составим уравнения, начав с этих букв: а + 9 + 19 = 40; b + 21 + 19 = 40.
В уравнении а + 9 + 19 = 40 сложим числа: а + 28 = 40, а затем вычтем из обеих частей 28: а = 40 – 28 = 12.
С уравнением b + 21 + 19 = 40 поступим так же: b + 40 = 40, тогда
b = 40 – 40 = 0.
Мы выяснили, что волшебная таблица выглядит так:
19 24 12
16 21 9
7 12 0
Упражнение 7. Вставьте недостающие числа в таблицы.
12 5
21 13 14
29 21 22
3 4
8 11 9
6 9 105 82 99 93 110 129
21 15 25
13 12 a)b)c)d)
2 14 5
12 15
19 31 22
4
5 8 7
20 23 22
112 77 44 53
90 55 51
21 29 18 22
a)b)c)d)
749777661782.8
На размышления о волшебных таблицах Чебурашка истратил много вре- мени, исписал несколько толстых тетрадей и в один прекрасный день, придя к крокодилу Гене, сказал: «Я теперь тоже волшебник». В ответ на изумлён- ный взгляд Гены Чебурашка протянул ему листочек с таблицей:
22 33 77
30 45 105
24 36 84
Гена послушно взял листочек, произнося необходимые заклинания, со- ставил тройку чисел и сложил: 22 + 45 + 84 = 151. Затем он составил следу- ющую тройку и, вычислив сумму: 24 + 45 + 77 = 146, разочарованно сказал:
«Это не волшебная таблица».
«Гена! Да это не слагательная таблица! Она умножательная!» – закри- чал Чебурашка. «Какие-то странные слова. Что значит слагательная? Что значит умножательная?» – удивился крокодил. «В таблицах, которые нам предлагал Волшебник, выбранные числа нужно было складывать. А в моей таблице выбранные числа нужно перемножать», – объяснил Чебурашка.
«Теперь понятно», – Гена перемножил первую тройку чисел, получил 22 • 45 • 84 = 83160. Затем он получил то же число, перемножив вторую трой- ку чисел: 24 • 45 • 77 = 83160. Остальные тройки дали тот же результат.
Упражнение 8.
Испытайте волшебную таблицу, начав с числа 33 и выбрав затем 30.
Испытайте волшебную таблицу, начав с числа 24 и выбрав затем 105. Закончив вычисления, Гена уважительно посмотрел на Чебурашку и ска-
зал: «Ты действительно настоящий волшебник».
749777801602.9
Для того чтобы получше разобраться в «умножательных» таблицах Чебурашки, вставим недостающие числа в «умножательные» таблицы:
12 21 14
24 40 88
9 15 6 10 b)
Начнем с таблицы a). Обозначив недостающий элемент через a,
12 a
21 14
увидим, что таблица будет волшебной, если 12 • 14 = 21 • a. Тогда 168 = 21a. Разделив обе части уравнения на 21, получим: a = 8.
Обозначим недостающие элементы таблицы b) через b и с:
24 40 88
9 15 b
6 10 c
Нетрудно установить, что волшебным числом для этой таблицы является число 7920: 6 • 15 • 88 = 7920. Отсюда 24 • 15 • с = 7920. Тогда 360 • с = 7920. Разделив обе части уравнения на 360, получим: с = 22.
Взяв тройку чисел, включающую число b, например, 6, 40 и b, получим уравнение 6 • 40 • b = 7920. Тогда 240 • b = 7920, и отсюда: b = 33.
Упражнение 9. Вставьте недостающие числа в волшебные «умножатель- ные» таблицы.
25 15 50
28
65 52
8 72
44 11 3 27
30 78 13 7
63
a)b)c)d)
60 24
105 72 168
252
18 72
17 68
93 31 124
8 18 16 48 108
a)b)c)d)
Завершая рассказ о волшебных таблицах, отметим, что их секрет нам раскрыл замечательный математик Мартин Гарднер в книге «А ну-ка догадайся!»1.

Проверьте, являются ли таблицы волшебными.
81 93 52
44 56 15
32 44 3
30 55 27
23 48 20
18 44 15
b)
17 19 13 25
30 32 26 38
12 14 9 20
26 28 23 34
15 24 22 13
12 21 19 10
10 19 17 8
3 12 10 1
c)d)

1 Гарднер М. А ну-ка догадайся! – М.: Мир, 1984.
Вставьте недостающие числа в волшебные таблицы.
85 53 67
43 11 92 52 13 28 49 15
b)
300 107 103
6 17 277 337 45 15 19 10
7
41 22 c)d)
Дополните волшебные таблицы так, чтобы получились числа: a) 77; b) 47; c) 35; d) 123.
15 60
28
32
25 15 65 28
b)c)d)
Дополните волшебные таблицы так, чтобы получились числа: a) 71; b) 117.
52 57 49
12 17 9
82 87
11 16
10 15
b)
Дополните таблицы так, чтобы получились числа: a) 19; b) 57.
5 7 9
8
6
1
b)
Дополните волшебные таблицы так, чтобы получились числа: a) 570; b) 261.
320 11 218 14
315 6 213 9
319 10 217 13
70 79 68
64 73 62
60 69 58
53 62 51
b)
Проверьте, являются ли волшебными, «умножательными», таблицы:
10 35 45
16 56 72
8 28 36
21 56 44
33 88 66
27 72 54
b)
Дополните волшебную «умножательную» таблицу так, чтобы получи- лись числа: a) 210; b) 224; c) 150; d) 390.
15 7
28
32
25 15 65 26
b)c)d)
Вставьтенедостающиечиславволшебные«умножательные» таблицы.
24 80
10
18 42 6 27 108
50 60
b)
§ 3.Множества
359999-186564Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое це- лое. Говорят о команде по футболу, танцевальном ансамбле, музыкальном оркестре, букете цветов, отаре овец, табуне лошадей и т. д. Для матема- тического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. Как говорил один из создателей теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Наша цель систематизи- ровать, привести в порядок наши знания о множествах.
895459801483.1
Представьте себе, что вы находитесь на уроке математики в 5 «А» классе одной из бишкекских школ.
Сегодня мы будем говорить о множествах. Так же, как и точка, прямая линия и т. п., множество является одним из основных понятий современной математики, используемым почти во всех её разделах.
Давайте рассмотрим множество учащихся нашего 5 «А» класса. Оно со- стоит из 25 элементов. Чтобы записать это на математическом языке, обо- значим это множество буквой А.
Тогда А = {Аида, …, Мария, …, Руслан, …, Эмиль}. Нужно перечислить все имена. При этом, так как у нас 3 Венеры, если мы напишем это имя один раз, то они обидятся. Можно написать три раза, но при этом каждый раз бу- дет непонятно, о ком идёт речь. Поэтому нужно использовать дополнитель- ные значки, например, первые буквы их фамилий. Если и они совпадают, то что-нибудь ещё.
Так же, как и мы, математики договорились, о том, что при перечислении элементов множества каждый элемент будет обозначаться своим знаком, повторение не допускается, порядок расположения элементов не важен. Множества обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфави- та. При необходимости для обозначения множеств к заглавным буквам ла- тинского алфавита будем добавлять цифры.
Выписывать все имена – долгая и нудная работа. Поэтому для определе- ния множеств часто достаточно ограничиться словесным или символьным описанием их элементов. В нашем случае мы можем написать А = {Учащиеся 5 «А» класса}. Как вы уже, наверное, заметили, для записи множеств исполь- зуются фигурные скобки.

Опишите множество членов вашей семьи.
Перечислите элементы множества ваших ближайших друзей.
Множества, состоящие из одинаковых элементов, являются одинаковыми вне зависимости от порядка следования элементов. Например, если Е = {7; 3; 8}, К = {3; 8; 7}, Q ={8; 7; 3}, А = {8; 3; 7}, Р = {7; 8; 3}, С = {3; 7; 8}, то Е = К = Q
= A = P = C
Задача
Запишите множество букв, которые используются для записи слова КЫРГЫЗСТАН.
Решение
Выполнение задания начнём с того, что откроем квадратные скобки. Далее впишем туда буквы К, Ы, Р и Г: {К, Ы, Р, Г}. Следующая буква Ы. Но эта буква уже стоит внутри скобок. А как уже было сказано, один элемент запи- сывается только один раз. Поэтому, далее записываем буквы З, С, Т, А, Н.
В результате получаем: {К, Ы, Р, Г, З, С, Т, А, Н}.
Укажите одинаковые множества:
А1 = {1; 2; 4}
А2 = {Две страны с самым большим населением}
А3 = {10; 71; 2; 9}
А4 = {10; 2; 71; 9}
А5 = {4; 1; 2}
А6 = {Байкал; Танганьика; Каспийское море; Ньяса; Иссык-Куль}
А7 = {2; 10; 71; 9}
А8 = {Индия; Китай}
А9 = {Пять самых глубоких озёр}
А10 = {Две азиатские страны с самой большой территорией}
Запишите множество букв, которые используются для записи слова: а) ОШ; b) БАТКЕН; c) НАРЫН; d) ТАЛАС; e) БИШКЕК; f) КАРАКОЛ; g) ДЖАЛАЛ-
АБАД; h) ТОКМОК.
Укажите одинаковые множества:
B1 = {15; 21; 4; 7}
B2 = {Тихий, Атлантический, Индийский, Северный Ледовитый}
B3 = {21; 7; 15; 4}
B4 = {4; 21; 7; 15}
B5 = {4; 15; 7}
B6 = {Все буквы русского алфавита, ң, ө, ү}
B7 = {12; 15; 7; 4}
B8 = {Океаны}
B9 = {Все буквы кыргызского алфавита}
Запишите множество букв, которые используются для записи слова: а) КАРАМОЛДО; b) САЯКБАЙ; c) САГЫМБАЙ; d) МОЛДОБАСАН.

Составьте и решите упражнение, используя название вашего насе- лённого пункта.
895457801483.2
Обозначение Индира Ý А означает, что Индира – ученица 5 «А» класса, или, другими словами, Индира – элемент множества А. (Знак принадлеж- ности Ý можно трактовать следующим образом: если Индира одна, то ей скучно, грустно, иногда страшно. Поэтому она стремится быть в множестве А, тянется к нему аж тремя линиями.)
То, что Марат не учится в 5 «А» классе, будет выражено обозначением Марат Ô А.
Каждое множество содержит подмножества. Множество В является подмножеством множества А, если все элементы В являются элементами А.

Обозначим множество девочек 5 «А» класса буквой D. Оно является под- множеством учащихся 5 «А» класса. На языке математических символов указанный факт выглядит следующим образом: D ô А.
Примечание
Вы уже, наверное, обратили внимание на то, что знак ô похож на знаки < и ≤. Его смысл также очень похож. Так же, как запись 5 < 7 означает, что число 7 больше, чем 5, запись D ô А означает, что множество А «боль- ше» – шире, чем множество D.
Мы знаем, что выражение 5 < 7 можно записать в виде 7 > 5. Точно так же выражение D ô А можно записывать в виде А ë D.
При изучении множества и его подмножеств, исходное множество называют универсальным (от слова universe – мир, вселенная) и обозначают U.

Например, если изучается успеваемость в школе № 2, то элементами уни- версального множества являются все учащиеся этой школы.
Если речь идёт о составляющих радуги, то элементами универсального множества будут красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый цвета.
Пусть G – подмножество U. Тогда подмножество U, которое содержит все элементы U, не принадлежащие G, называется дополнением G и обо- значается G.

Так, если G – это 56 государств, столицы которых знает Гульнара, то G
385199878357будет состоять из 141 элементов – государств, столицы ко- торых Гульнара не знает.
Справка. В 2017 году во всём мире было 197 государств.
Понятно, что множество мальчиков 5 «А» клас- са также является подмножеством А. Его также можно обозначить какой-нибудь буквой, а мож- но обойтись и имеющимися, прибегнув к помощи чёрточки над буквой. Запись D понимается как множество элементов множества А, которые не относятся к множеству D, то есть множество маль-
чиков 5 «А» класса. Надеемся, что мальчики как на- стоящие джентльмены не обиделись на то, что для обо- значения их множества не выделена отдельная буква.
Очень часто наглядное представление с помощью рисунков, графиков, схем помогает прояснить ситуацию.
Для представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна.
Для этого самое большое множество (в нашем случае это множество уча- щихся нашего 5 «А» класса) обозначают прямоугольником и обозначают бук- вой U. Подмножества обозначаются кругами внутри этого прямоугольника. В нашем случае девочки 5 «А» класса обозначены кругом D. Всё, что не от- носится к кругу D – это мальчики 5 «А» класса.

В множестве А можно выделить ещё много подмножеств. Например, под- множество М – множество учащихся, живущих в микрорайонах. Это множе- ство, в свою очередь, имеет свои подмножества: М9 – тех, кто живёт в 9-м микрорайоне; М10 – тех, кто живёт в 10-м микрорайоне и т. д.
Если точкой а обозначена Мээрим, диаграмма Эйлера-Венна говорит нам, что Мээрим живёт в микрорайоне, но не в десятом. Кстати, в 10-м микрорайо- не живёт только Эмиль. Поэтому, М10 – это множество, состоящее из одного элемента: М10 = {Эмиль}.
А в 11-м микрорайоне нет учеников нашего класса. В таких случаях мы имеем дело с пустым множеством. Этот факт записывается следующим об- разом: М11 = Ø
Задача
Пусть S = {1; 3; 5; 6; 7; 9}. Верно или неверно следующее утверждение:
8 Ý S;
1 Ý S;
c) {7; 9} Ý S;
d) {2; 9} ô S;
e) {17; 9} ô S;
f) {7; 9; 3} = {3; 9; 7};


4 Ý S;
h) {5; 17} ô S;
i) {44; 9} ô{44; 5; 9}.
Решение
Неверно, потому что число 8 не является элементом множества S.
Верно, потому что число 1 является элементом множества S.
Неверно, потому что знак Ý показывает, что элемент принадлежит мно- жеству. В данном случае {7; 9} является подмножеством, а не элементом множества S. Утверждение станет верным, если знак Ý поменять на знак ô:
{7; 9} ô S.
Неверно, потому что множество {2; 9} не является подмножеством S.
Неверно, потому что множество {17; 9} не является подмножеством S.
Верно, потому что множества {7; 9; 3} и {3; 9; 7} различаются только по- рядком записи элементов.
Верно, потому что число 4 не является элементом множества S, соот- ветственно, элементом множества чисел, не принадлежащих S.
Неверно, потому что один из элементов множества {5; 17} принадлежит S.
Верно, потому что все элементы множества {44; 9} являются элемента- ми множества {44; 9; 5}.
Верно или неверно следующее утверждение:
Множество людей на Марсе = Ø.
Марина Ý {Марина}.
Кит Ý {Рыбы}.
Нью-Йорк Ý {столицы стран}.
Пусть S = {2; 15; 4; 8; 9}. Верно или неверно следующее утверждение:
5 Ý S;
8 Ý S;
c) {2; 9} Ý S;
d) {2; 9} ô S;
e) {2; 9} ô{2; 9};
f) {2; 9; 7} ô S;

g) 4 Ý S;
h) {5; 17} ô S.
Верно или неверно следующее утверждение:
Множество людей в космосе = Ø.
Дайан Ý{Дайан, Айканыш, Марина}.
Акула Ý{Рыбы}.
Бразилия Ý{столицы стран}.
d) Бразилия Ý{страны}.
е) Айканыш ô{Дайан, Айканыш, Марина}.
Пусть S = {27; 5; 44; 81; 9}. Верно или неверно следующее утверждение:
8 Ý S;
81 Ý S;
c) {27; 9} Ý S;
d) {2; 9} ô S;
e) {27; 9} ô S;
f) {27; 9; 44} ô S;


g) 4 Ý S;
h) {5; 7} ô S;
i) {44; 9} ô{44; 9; 5}.
751458211053.3
Так же, как и числа, множества складывают, вычитают и умножают.
Суммой, или объединением двух множеств, называют множество, со- стоящее из элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств.


Если G – это те, кто в 5 «А» классе носят очки, то объединение множеств девочек и тех, кто носит очки, обозначается D » G. Каждый элемент этого множества – это или девочка, которая учится в 5 «А» классе, или учащий- ся 5 «А» класса, который носит очки. Конечно же, девочка, которая учится в 5 «А» классе и носит очки, является элементом этого множества.
Итак, объединение – это множество точек, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств, или, другими словами, это точки, которые принадлежат или D или G, или и D и G.
Произведением, или пересечением двух множеств, называют множе- ство, состоящее из элементов, которые входят в каждое из этих множеств.

Пересечение множеств девочек и тех, кто носит очки, обозначается D Æ G
и состоит из всех девочек 5 «А» класса, которые носят очки.
Пересечение – это множество точек, которые принадлежат каждому из исходных множеств, или, другими словами, это точки, которые принадлежат и D и G.
Разность двух множеств состоит из элементов, которые входят в пер- вое и не входят во второе из исходных множеств.


Разность множества девочек и тех, кто носит очки, обозначается D \ G, и состоит из всех девочек 5 «А» класса, которые не носят очки.
Разность – это множество точек, которые принадлежат только первому из исходных множеств, или, другими словами, это точки, которые принадлежат D и не принадлежат G.
Можете ли вы сказать, что обозначает запись G \ D, и нарисовать это множество?
Несложно понять, что дополнение множества G – множество G, является разностью универсального множества U и множества G: U \ G = G.
Задача
Пусть В1 = {1; 3; 5; 7; 9} и В2 = {6; 7; 8; 9}. Определим объединение, пересе- чение и разности этих множеств.
Решение
Объединение В1 » В2 = {1; 3; 5; 7; 9; 6; 8}. (Нужно взять элементы 1-го мно- жества, и дописать к ним элементы 2-го. При этом, как мы договаривались выше, повторение элементов не допускается.)
Пересечение В1 Æ В2 = {7; 9}. (Последовательно рассматриваем элемен- ты 1-го множества. Если элемент содержится и во 2-м множестве – оставля- ем, иначе – выбрасываем.)
Разность В1 \ В2 = {1; 3; 5}. (Последовательно рассматриваем эле- менты множества В1. Если элемент содержится и в В2 – выбрасываем, иначе – оставляем.)
Разность В2 \ В1= {6; 8}.
12. Пусть V1 = {16; 8; 4; 2; 1} и V2 = {0; 2; 4; 6; 8}. Найдите: a) V1 » V2;c) V1 \ V2;
b) V1 Æ V2;d) V2 \ V1.
Пусть P1 – множество букв, использованных при написании слова
КАМБАР, и P2 – слова БОРИС. Найдите: a) P1;c) P1 » P2;e) P1 \ P2;
b) P2;d) P1 Æ P2;f) P2 \ P1.
Пусть R1 – множество букв, использованных при написании слова
КОЧКОР, и R2 – слова ЧОЛПОН. Найдите: a) R1;c) R1 » R2;e) R1 \ R2;
b) R2;d) R1 Æ R2;f) R2 \ R1.
15. Пусть E1 = {4; 17; 2; 10} и E2 = {6; 10; 2; 4; 8}. Найдите: a) E1 » E2;c) E1 \ E2;
b) E1 Æ E2;d) E2 \ E1.
Пусть L1 – множество букв слова АЙЖАН, и L2 – множество букв слова
ДАНИЯ. Найдите:
a) L1;c) L1 » L2;e) L1 \ L2;
b) L2;d) L1 Æ L2;f) L2 \ L1.
Пусть M1 – множество буквслова ЦЮРИХ, и M2 – множество букв сло- ва РИМ. Найдите:
a) M1;c) M1 » M2;e) M1 \ M2;
b) M2;d) M1 Æ M2;f) M2 \ M1

Составьте и решите упражнение по типу упражнения 14, используя название Вашего и соседнего населённых пунктов.
Составьте и решите упражнение по типу упражнения 14, используя Вашу фамилию и фамилию Вашего соседа по парте.
895459801473.4
Задача
Имеется универсальное множество U = {21; 16; 7; 3; 2; 1; 9} и два его под-
множества: А1 = {2; 3; 16; 9} и А2 = {21; 2; 7}.
Найдите:
a) А1 » А2; d) А2 \ А1; g) А1 » А2; j) А2 \ А1; n) А1 \ А2; b) А1 Æ А2; e) А1;h) А1 Æ А2; k) А1 » А2; m) А2 \ А1. c) А1 \ А2; f) А2;i) А1 \ А2; l) А1 Æ А2;
Решение
a)А1»А2 = {21; 16; 7; 3; 2; 9} b)А1ÆА2 = {2}
c)А1 \ А2 = {16; 3; 9} d)А2 \ А1 = {21; 7}

e)Для того чтобы найти А1 – дополнение множества А1, – нужно взять множество U и удалить из него все элементы множества А1: А1 = {21; 7; 1}
f)А2 = {16; 3; 1; 9}
g)Множество А1»А2 является объединением множеств А1 и А2, описан- ных в пунктах e) и f): А1»А2 = {21; 7; 1}»{16; 3; 1; 9} = {21; 7; 16; 3; 1; 9}
h)А1ÆА2 ={21; 7; 1}Æ{16; 3; 1; 9} = {1}
i)А1 \ А2 = {21; 7; 1} \ {16; 3; 1; 9} = {21; 7}
j)А2 \ А1 = {16; 3; 1; 9} \ {21; 7; 1} = {16; 3; 9}
k) В данном пункте требуется найти дополнение к объединению мно- жеств А1 и А2. Для этого, как было указано выше, нужно взять универсальное множество U и удалить из него все элементы множества А1»А2: А1»А2 = {1}
l)Так как А1ÆА2 = {2}, А1ÆА2 = {21; 16; 7; 3; 1; 9}
m)Так как А1 \ А2 = {16; 3; 9}, А1 \ А2 = {21; 7; 2; 1}
n)Так как А2 \ А1 = {21; 7}, А2 \ А1 = {16;3; 2; 1; 9}
Пусть универсальное множество U = {1; 6; 8; 4; 2; 11}, W1 = {2; 4; 6; 8} и
W2 = {1; 2; 4; 11}. Найдите:
a) W1»W2; d) W2 \ W1; g) W1»W2; j) W2 \ W1; m) W1 \ W2; b) W1ÆW2; e) W1;h) W1ÆW2; k) W1»W2; n) W2 \ W1. c) W1 \ W2; f) W2;i) W1 \ W2; l) W1ÆW2;
Пусть даны универсальное множество U = {☺; ☼; ♥; ♦; ♪; ♫} и его под- множества: А1 = {☺; ☼; ♥; ♫} и А2 = {♥; ♦}.
a) A1»A2; d) A2 \ A1; g) A1»A2; j) A2 \ A1; m) A1 \ A2; b) A1ÆA2; e) A1;h) A1ÆA2; k) A1»A2; n) A2 \ A1. c) A1 \ A2; f) A2;i) A1 \ A2; l) A1ÆA2;
Пусть даны универсальное множество X = {3; 7; 9; 14; 2; 11} и его под- множества: Y1 = {2; 7; 9} и Y2 = {7; 2; 14; 11}. Найдите:
a) Y1»Y2; d) Y2 \ Y1; g) Y1»Y2; j) Y2 \ Y1; m) Y1 \ Y2; b) Y1ÆY2; e) Y1;h) Y1ÆY2; k) Y1»Y2; n) Y2 \ Y1. c) Y1 \ Y2; f) Y2;i) Y1 \ Y2; l) Y1ÆY2;
Пусть даны универсальное множество U = {В; Ь; Е; Т; Н; А; М} и его подмножества: А1 = {В; Е; Н; А} и А2 = {Т; Е; М ; А}. Найдите:
a) A1»A2; d) A2 \ A1; g) A1»A2; j) A2 \ A1; m) A1 \ A2; b) A1ÆA2; e) A1;h) A1ÆA2; k) A1»A2; n) A2 \ A1. c) A1 \ A2; f) A2;i) A1 \ A2; l) A1ÆA2;
895459661783.5.
Задача
Определите слова, множество букв которых являются подмножествами множества букв слова 1) МОСКВА; 2) КОЛОБОК.
Решение
Мы должны составлять слова из букв {М; О; С; К; В; А}. Таких слов не- сколько: КВАС; СОВА; ВОСК; МАК; СОМ; СОК; КОСА.
В этом слове имеются повторяющиеся буквы, а во множестве не может быть одинаковых элементов. Для того чтобы различать буквы, будем исполь- зовать индексы: {К; О; Л; О1; Б; О2; К1}. Некоторые из возможных слов: КЛОК1; ЛОБ; БОК; КОЛ.
К сожалению, нельзя написать слово КОЛО1К1О2Л1 – множество букв сло- ва КОЛОБОК не содержит вторую букву Л.
Определите слова, множество букв которых являются подмножества- ми множества букв слова 1) САКВОЯЖ; 2) САРАТОВ; 3) СПРАВОЧНИК;
4) СТРАНА.
ИГРА
Задача 3.5 может послужить основой для увлекательной игры: класс делится на несколько команд. После этого выбирается слово. Каждая ко- манда должна составить как можно больше слов, множество букв которых являются подмножествами множества букв выбранного слова. Выигрывает команда, составившая наибольшее количество слов. В случае равенства количества составленных слов выигрывает команда, у которой более длинные слова – команда, использовавшая большее количество букв.


Укажите одинаковые множества:
А1 = {5; 12; 4}
А2 = {Самая высокая гора Кыргызстана}
А3 = {12; 5; 2; 4}
А4 = {12; 4; 5}
А5 = {4; 5; 12}
А6 = {Столицы государств}
А7 = {2; 12; 5; 4}
А8 = {Пик Победы}
А9 = {Пекин; Лондон; Барселона; Берлин; …}.
Запишите множество букв, использованных при написании слова:
АМЕРИКА;d) ЕВРОПА;
АЗИЯ;e) АВСТРАЛИЯ;
АФРИКА;f) АНТАРКТИДА.
Верно или неверно следующее утверждение:
Множество отличников Вашего класса = Ø;
Коричневый Ý {Цвета радуги};
Иссык-Куль Ý {Моря};
Каспийское море Ý {Озёра}.
Пусть S = {21; 1; 18; 9}. Верно или неверно следующее утверждение: a) 5 Ý S;e) {2; 9} ô {21; 9};
b) 18 Ý S;f) {21; 1} ô {21; 9; 1};
c) {21; 9} Ý S;g) 9 Ý S;
d) {21; 9} ô S;h) {1; 18} ô S.
29. Пусть V1 = {5; 18; 4; 2; 7} и V2 = {7; 2; 4; 18}. Найдите: a) V1»V2;c) V1 \ V2;
b) V1ÆV2;d) V2 \ V1.
Пусть P1 – множество букв, использованных при слова АНАРА и P2 – слова АЗАТ. Найдите:
a) P1;c) P1»P2;e) P1 \ P2;
b) P2;d) P1ÆP2;f) P2 \ P1.
Пусть R1 – множество букв, использованных при слова ЛЕЙЛЕК, и
R2 – слова СУЗАК. Найдите:
a) R1;c) R1»R2;e) R1 \ R2;
b) R2;d) R1ÆR2;f) R2 \ R1.
32. Пусть F1 = {6; 8; 14; 7; 2; 1} и F2 = {0; 2; 4; 8}. Найдите: a) F1»F2;c) F1 \ F2;
b) F1ÆF2;d) F2 \ F1.
33. Пусть U = {1; 7; 6; 8; 4; 2; 5}, W1 = {2; 4; 7; 8} и W2 = {1; 2; 4; 5}. Найдите:
a) W1»W2; d) W2 \ W1; g) W1»W2; j) W2 \ W1; m) W1 \ W2; b) W1ÆW2; e) W1;h) W1ÆW2; k) W1»W2; n) W2 \ W1. c) W1 \ W2; f) W2;i) W1 \ W2; l) W1ÆW2;
Определите слова, множество букв которых являются подмножества- ми множества букв слова 1) БУДАПЕШТ; 2) ХОЛСТОМЕР.
§ 4.Количество элементов множества
В предыдущем параграфе мы изучили операции, которые можно произво- дить над множествами. При этом достаточно часто бывает необходимо опре- делить количество элементов множества, определяемого теми или иными признаками. О том, как это сделать, будем говорить ниже.
892943801604.1.
Задача
Опрос, проведённый среди 125 девочек, показал, что 78 из них оформ- ляют свой альбом с песнями, стихами и изречениями. Сколько опрошенных девочек не оформляют такой альбом?
Решение
В этом случае множество опрошенных девочек делится на два подмноже- ства: оформляющих и не оформляющих альбом.
Ответ на вопрос, конечно же, получить очень просто. Для этого от общего количества опрошенных девочек нужно отнять число оформляющих альбом. Тогда получим, что не оформляют альбом 125 – 78 = 47 девочек.
Упражнение 1
В 5В классе 18 учеников носят очки и 15 не носят очков. Сколько уча- щихся в 5В классе?
В селе Ак-Суу живут 1827 семей. 769 из них имеют корову. Сколько семей не имеют коровы?
В результате исследования обнаружено, что в лесу проживают 835 зверей. Среди них 238 сильных. Сколько несильных зверей в этом лесу?
Опрос, проведённый среди мальчиков, показал, что 478 из них игра- ют в футбол, а 143 не играют в футбол. Сколько мальчиков было опрошено?
892942801604.2
Задача
Подводя итоги октября, Винни-Пух отметил, что он каждый день навещал своих друзей. При этом у него было 20 удачных дней, когда его угощали варе- ньем, 15 счастливых дней, когда ему давали мёд, и 7 очень счастливых дней,
когда он ел и мёд, и варенье. Определите, сколько было дней, когда Винни- Пух ел у друзей или мёд, или варенье?
Сложив удачные и счастливые дни Винни-Пуха, получим: 20 + 15 = 35 дней. Но, как известно, в октя- бре 31 день. Дело в том, что в некоторые дни он ел и мёд, и варенье, и эти 7 дней посчитались дваж- ды: один раз как «медовые» дни и второй раз – как дни, когда он ел варенье. Поэтому правильный от- вет: (20 + 15) – 7 = 28 дней. Другими словами, мы
объединяем «медовые» дни (М) и дни, когда он ел варенье (В).
А как уже было сказано ранее, при объединении мно- жеств повторяющиеся элементы записываются только один раз.
Символически, на математическом языке, это записывается следующим образом: с(М»В) = с(М) + с(В) – с(МÆВ).
Количество элементов объединения двух множеств равно сумме коли- чества элементов каждого множества минус количество элементов пере- сечения этих множеств.

Это правило можно проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.

Решение
Задачи на определение количества элементов множества, которое раз- бивается по двум признакам (например, мёд и варенье), удобно решать и иллюстрировать с помощью таблицы:
М («медовые» дни)
М (дни без мёдa) В (дни с вареньем) 7 20

В (дни без варенья) 15 31
Справа и внизу указаны общие данные по варенью и мёду, 31 – количе- ство дней в октябре.
Мы внесли данные в таблицу из условия задачи. Теперь начнем её заполнять.
Во 2-й строке данные по варенью: всего 20 дней, а 7 дней были ещё и «ме- довыми». Понятно, что с вареньем, но без мёда было 20 – 7 = 13 дней.
В 4-й строке общие данные: в октябре всего 31 день, из них 15 дней «ме- довых». Тогда дней без мёда: 31 – 15 = 16.
Также по столбцам:
Во 2-м столбце данные по мёду: 15 дней октября Винни ел мёд у друзей, а в 7 из этих дней ещё и варенье. Следовательно, с мёдом, но без варенья было 15 – 7 = 8 дней.
В 4-м столбце опять же общие данные: в октябре 31 день, из них 20 дней было с вареньем. Тогда дней без варенья: 31 – 20 = 11.
Внесём эти данные в таблицу:
М
М В 7 13 20

В 8 11
15 16 31
Осталось нанести последний штрих – заполнить последнюю клетку.
Число дней, когда Винни-Пух чувствовал себя несчастным: ему не дали ни мёда, ни варенья – можно найти из 3-й строки: 11 – 8 = 3 дня.
Этот результат можно проверить по 3-му столбцу: 16 – 13 = 3.
М («медовые» дни)
М (дни без мёдa) В (дни с вареньем) 7 13 20

В (дни без варенья) 8 3 11
15 16 31
Сложив дни, в которые были или мёд, или варенье, получим тот же ответ: 8 + 7 + 13 = 28 дней. Следовательно, несчастных дней было 31 – 28 = 3.
Упражнение 2
Из 34 пятиклассников 10 поют, 27 танцуют, 7 умеют и то, и другое. Сколько пятиклассников не умеют ни петь, ни танцевать?
На птичьем дворе 9 петушков, каждый из них или крикливый, или драчливый. Крикливых петушков 7, драчливых – 6. Сколько среди них и крикливых, и драчливых одновременно?
3854362517779В деревне Кара Кужур живут 70 семей. 50 из них имеют коров, а 35 – яков. 30 семей имеют и коров, и яков. Сколько семей не имеют ни ко- ров, ни яков?
Бабушка испекла 27 булочек и каждую украсила или орешками, или изюмом. Орешками украшено 15 булочек, изюмом –
17. Сколько булочек украшено как орешка- ми, так и изюмом?
Составьте и решите упражнение по типу упражнения 2.2, используя Ваш класс.
Составьте и решите упражнение по типу упражнения 2.4, используя Ваш населённый пункт.
748943801484.3
Задача
Обследование зверей показало, что 10 из них быстро бегают, 17 – далеко прыгают; семеро быстро бегают и далеко прыгают, а пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько зверей было обследовано?
Решение
Эту задачу тоже будем решать с помощью таблицы.
Бегают быстро Не бегают быстро Далеко прыгают 7 17
Не прыгают далеко 5 10 Справа и внизу таблицы указаны общие данные, внутри – отношение к двум признакам.
Заполним 1-ю строку и 1-й столбец.
Бегают быстро Не бегают быстро Далеко прыгают 7 10 17
Не прыгают далеко 3 5 10 Теперь используем полученные числа, для того чтобы начать заполнять последнюю строку и последний столбец.
Бегают быстро Не бегают быстро Далеко прыгают 7 10 17
Не прыгают далеко 3 5 8
10 15 По последней строке найдём ответ: 10 + 15 = 25 – и проверим его по по- следнему столбцу: было обследовано 17 + 8 = 25 зверей.
Упражнение 3
В 5Б классе 17 детей занимаются спортом, 12 – музыкой, 5 занимаются и спортом, и музыкой, а 6 не занимаются ни тем, ни другим. Сколько учеников в 5Б классе?
В деревне Сары-Булак 47 семей имеют яблони, 25 – груши. И яблони, и груши имеют 20 семей, а 13 семей не имеют ни яблонь, ни груш. Сколько семей в деревне Сары-Булак?
Составьте и решите упражнение по типу упражнения 3.1, используя Ваш класс.
Составьте и решите упражнение по типу упражнения 3.2, используя Ваш населённый пункт.
892942801604.4
Задача
Диктант написали 23 учащихся. Двое получили «2», пятеро – «3», четве- ро – «5». При этом, одна девочка получила «2», одна – «5». Три мальчика получили «3», шестеро – «4». Сколько мальчиков и сколько девочек писали диктант?
Решение
Решение задачи начнём с внесения известных чисел в таблицу.
«2» «3» «4» «5» Девочки 1 1 Мальчики 3 6 2 5 4 23
Изучение таблицы позволяет из последней строки определить количество получивших «4»: 23 – 2 – 5 – 4 = 12.
«2» «3» «4» «5» Девочки 1 1 Мальчики 3 6 2 5 12 4 23
После этого заполним столбцы, соответствующие «2», «3», «4», «5».
«2» «3» «4» «5» Девочки 1 2 6 1 Мальчики 1 3 6 3 2 5 12 4 23
Теперь, сложив числа в строках, соответствующие количеству девочек и мальчиков, получим ответ: 1 + 2 + 6 + 1 = 10; 1 + 3 + 6 + 3 = 13.
«2» «3» «4» «5» Девочки 1 2 6 1 10
Мальчики 1 3 6 3 13
2 5 12 4 23
Выполнив проверку по последнему столбцу: 10 + 13 = 23, убедимся в том, что верным является ответ: диктант написали 10 девочек и 13 мальчиков.
Упражнение 4
Контрольную работу по математике написали 14 мальчиков и 14 дево- чек. Пятеро из них получили «3», семеро – «5», остальные – «4». При этом, семь девочек получили «4», три мальчика получили «3». Сколько мальчиков получили «5»? Сколько девочек получили «3»?
Отвечая на вопрос об отношении к каше, 17 человек сказали, что каша им нравится, остальные сказали, что не любят кашу. Когда этих же людей спросили об отношении к мороженому, 16 человек сказали, что любят мороженое, 8 – что не любят, а 6 сказали, что очень любят. При
этом девять сказали «люблю» и про кашу, и про мороженое; трое ска- зали «не люблю» и про кашу, и про мороженое. Сколько опрошенных сказали «очень люблю» про мороженое и «не люблю» про кашу?
Составьте и решите упражнения по типу упражнения 4.1, используя Ваш класс.

В 25 магазинах Узгена продают продовольственные товары, а в 37 магазинах не продают. Сколько магазинов в Узгене обследовано?
Опрос, проведённый среди 25 мальчиков, показал, что 17-ти из них нравятся девочки с косичками. Скольким мальчикам не нравятся де- вочки с косичками?
В результате исследования обнаружено, что в лесу 30 красивых зве- рей, 23 умных, а и умных, и красивых – 1. Сколько обнаружено зверей, не обладающих ни одним из этих признаков, если всего исследовано 60 зверей?
Из 40 пятиклассников 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько пятиклассников умеют плавать и играть в шахматы?
Опрос, проведённый среди 23 девочек и 25 мальчиков на предмет любви к «ужастикам», показал, что среди них 36 любят ужастики, а 8 мальчиков их не любят. Сколько девочек любит ужастики?
Из 42 пятиклассников 25 занимаются музыкой, 35 – спортом, 22 – и музыкой, и спортом. Сколько пятиклассников занимаются музыкой и не занимаются спортом?
Из 27 пятиклассников на прошлой неделе 15 получали «5» по матема- тике, 20 – по литературе. 12 пятиклассников получили «5» и по мате- матике, и по литературе. Сколько пятиклассников не получили «5» ни по одному из указанных предметов?
Опрос, проведённый среди 25 девочек, показал, что 10 из них любят мультики, 6 – и мультики, и ужастики. Сколько девочек любят ужасти- ки, если известно, что семеро не любят и мультики, и ужастики?
В деревне Кок-Жар обследовано 210 семей. 70 из них имеют корову, а 35 не имеют овец. 20 семей не имеют ни коровы, ни овец. Сколько обследованных семей имеют и корову, и овец?
В 5Б классе учатся 20 человек с карими глазами и 25 человек с чёрны- ми волосами. Чёрные волосы и карие глаза имеют 18 человек, а пяте- ро не обладают этими признаками. Сколько учащихся в 5Б классе?
В многоэтажном доме во всех квартирах есть или кошка, или собака. В 30 квартирах живут собаки, в 60 – кошки, в 26 – и кошки, и собаки. Сколько квартир в этом доме?
В 5В классе 15 учащихся занимаются шах- матами, 10 – танцами, 7 – и шахматами, и танцами. Пятеро не занимаются ни тем, ни другим. Сколько учащихся в 5В классе?
На Иссык-Куль приехали 100 туристов. Из них 10 не знали ни русского, ни английского языков, 80 знали русский язык, 73 – англий- ский. Сколько туристов знали и русский, и ан- глийский языки?
На родительское собрание в 5А классе пришли родители всех 28 учащихся. При этом пришли мамы 18 учащихся и папы 14 учеников. У скольких учащихся пришли и папа, и мама?
На дворе 15 щенков, каждый из них или шумный, или кусачий. Кусачих щенков – 10, шумных – 9. Сколько среди них и шумных, и кусачих одновременно?
На вопросы об отношении к футболу и боксу ответили 33 мальчика. На вопрос о футболе шестеро сказали «очень люблю», «не люблю» сказали семеро, остальные ответили «люблю». Когда этих же маль- чиков спрашивали об отношении к боксу, они отвечали только «лю- блю» или «не люблю». При этом 14 сказали «люблю» и про футбол, и про бокс; 4 сказали «не люблю» и про футбол, и про бокс; 4 сказали
«очень люблю» про футбол и «люблю» про бокс. Сколько мальчиков сказали «не люблю» про бокс?
§ 5.Элементы геометрии. Углы и их измерение.
Площадь прямоугольника
896368801615.1
Математики говорят, что прямая линия не имеет ни начала, ни конца, ни толщины.
Через точки А и В проведем прямую линию:
Рисунок 1.
Часть прямой, лежащая по одну сторону от точки на ней, называется
лучом.

На рисунке 1 можно увидеть 4 луча: вправо от точки А; влево от точки А; вправо от точки В; влево от точки В.
Два луча, выходящих из одной и той же точки, называемой вершиной, образуют угол.

Рисунок 2.
Точка пересечения двух прямых определяет 4 луча. Если эти лучи об- разуют 4 одинаковых угла, то прямые называются перпендикулярными, а каждый из этих углов называется прямым.

Рисунок 3.
На рисунке 3 мы видим четыре прямых угла: угол KOL; угол LOM; угол
MON; угол NOK.
Углы измеряются в градусах: прямой угол равен девяноста градусам (90˚). Соответственно, четыре прямых угла дают триста шестьдесят гра- дусов: 90˚ • 4 = 360˚. Градусная мера измерения идёт с древних времен – люди тогда считали, что в году 360 дней.

Если на рисунке 3 убрать луч ON, то получится угол MOK.

Рисунок 4.
Такие углы называются развёрнутыми. Угол MOK можно считать объеди- нением углов MON и NOK. Поэтому он равен: 90˚ + 90˚ = 180˚.
Для обозначения угла используется знак F. Так, вместо того чтобы пи- сать угол MON, достаточно написать F MON.

Возьмём развернутый угол POR

Рисунок 5. и разобьём его на два угла лучом OS:
Рисунок 6.
В итоге мы получим F POS и F SOR. Такие углы называют смежными.
Должно быть понятно, что их сумма равна 180˚.
Задача
Если угол EGF равен 55˚, то чему равен смежный с ним угол FGH?
Решение
Сумма смежных углов равна 180˚. Поэтому F FGH равен: 180˚ – 55˚ = 125˚.
Упражнение 1. Зная, что F EGF и F FGH смежные, определите величину
F EGF, если F FGH равен:
1.a) 10˚
2.a) 110˚
b) 80˚ b) 90˚
c) 140˚ c) 144˚
d) 128˚ d) 28˚
Примечание
Для точного построения, а также измерения углов используется транспортир. О том, как пользоваться этим инструментом, может расска- зать Ваш учитель или старшие.
896367801605.2
Что произойдёт, если уколоть бегемота вершиной F SOR?
Рисунок 7.
Толстокожий бегемот, скорее всего, не заме- тит укол. Такие углы, которые больше, чем прямой угол, называют тупыми.
Рисунок 8.
А вот вершиной угла POS, который меньше прямого, бегемота лучше не колоть. Угол острый, и бегемот может обидеться.
Углы, которые больше, чем прямой угол, называют тупыми, а которые меньше, чем прямой, – острыми.

Упражнение 2
Угол АВС острый, если он равен (укажите пункты):
a) 15˚ b) 83˚
c) 147˚ d) 158˚
e) 40˚ f) 80˚
g) 14˚ h) 128˚
Угол DEF тупой, если он равен (укажите пункты):
a) 152˚ b) 63˚
c) 47˚ d) 108˚
e) 120˚ f) 66˚
g) 124˚ h) 28˚
752368211055.3
Задача
Вставьте вместо прочерка слово 1) острый; 2) развернутый; 3) тупой – и выберите один из приведённых ответов.
Если ________ угол разделить на 2 угла, то получится:
два острых угла
два тупых угла
один острый и один тупой углы
два прямых угла
один прямой и один острый
или а, или с
или с, или d
или а, или с, или е
Решение
Разделив острый угол на 2, получим 2 острых угла – если угол меньше 90˚, то его часть тоже меньше 90˚. Например, 44˚ = 40˚ + 4˚. Следовательно, выбираем ответ а.
Разделим 180˚ на два слагаемых. Если разделить пополам, то получим 2 угла по 90˚ – два прямых угла. Получается ответ d. Ответив таким обра- зом, мы ошибёмся, потому что делить пополам необязательно. Если один из углов будет больше 90˚ – тупой, то второй будет меньше 90˚ – острый. Например, 180˚ = 140˚ + 40˚. Следовательно, выбираем ответ g.
Разделим тупой угол на 2 угла. Оказывается, при этом могут быть 3 разных случая:
Получатся два острых угла. Например, 150˚ = 80˚ + 70˚.
Получатся один острый и один тупой углы. Например, 150˚ = 20˚ + 130˚. Получатся один острый и один прямой углы. Например, 150˚ = 60˚ + 90˚.
Следовательно, правильный ответ h.
Упражнение 3
Вставьте вместо прочерка число 1) 140; 2) 78; 3) 180 – и выберите один из приведённых ответов.
Если угол величиной ____ градусов разделить на 2 угла, то получится:
два острых угла
два тупых угла
один острый и один тупой углы
два прямых угла
один прямой и один острый
или а, или с
или с, или d
или а, или с, или е
Каждый ответ снабдите соответствующим примером.
Используя условия задания 1, рассмотрите числа: 1) 902) 1083) 82
896368801605.4
Задача
Углы а = 85˚ и b = 63˚ имеют общую вершину и общий луч. Сколько граду- сов в объединении этих углов? А в пересечении?
Решение
2297302590840Полезно начать с чертежа. При этом необязательно точно отмерять углы: достаточно сделать примерный эскиз.
Рисунок 9.
Согласно этому рисунку, угол а – это F АОВ, b – угол BOC. Их объединени- ем будет угол АОС. Он содержит 85˚ + 63˚ = 148˚.
Пересечением углов а и b будет луч ОВ. Он содержит 0˚.
Не стоит торопиться и считать, что решение задачи закончено. Дело в том, что возможно и другое взаимное расположение углов а и b:
Рисунок 10.
В этом случае угол а – это F АОВ, а угол b – F АОD.
Соответственно, их объединение: F АОВ » F АОD = F АОВ = 85˚, а пересе- чение: F АОВ Æ F АОD = F АОD = 63˚.
Упражнение 4
Углы а = 45˚ и b = 30˚ имеют общую вершину и общий луч. Сколько градусов в объединении этих углов? А в пересечении?
Углы а = 60˚ и b = 45˚ имеют общую вершину и общий луч. Сколько градусов в объединении этих углов? А в пересечении?
752367819385.5
Задача
Углы c = 75˚ и d = 43˚ имеют общую вершину. Сколько градусов в объеди- нении этих углов, если в пересечении 33˚? Определите, сколько градусов в соответствующих разностях.
Решение
Как уже говорилось, полезно начать с чертежа.

3656088-1207377Рисунок 11.
Здесь угол с – это F АОС; угол d – F BОD, а их пересечение – F ВОС. Объединением будет угол АОD, который содержит 75˚ + 43˚ – 33˚ = 85˚.
При этом разность 43˚ – 33˚ – это число градусов в разности между углом
BОD и F АОС: F BОD \ F АОС = 43˚ – 33˚ = 10˚.
Противоположная разность F АОС \ F BОD = 75˚ – 33˚ = 42˚.
Упражнение 5
Углы c = 125˚ и d = 40˚ имеют общую вершину. Сколько градусов в пе- ресечении этих углов, если в объединении 133˚? Определите, сколько градусов в соответствующих разностях.
Углы c = 75˚ и d = 130˚ имеют общую вершину. Сколько градусов в объ- единении этих углов, если в пересечении 45˚? Определите, сколько градусов в соответствующих разностях.
896368801605.6
Задача
Пересечение углов e и f , имеющих общую вершину, содержит 15˚, а раз- ность e и f содержит 65˚. Сколько градусов содержат углы e и f?
Решение
Начинаем с чертежа.
3035261612012
Рисунок 12.
Здесь угол e – это F АОВ; угол f – F СОD, а их пересечение – F СОВ, а раз- ность e и f – это F АОС.
Поэтому угол е равен 65˚ + 15˚ = 80˚.
3132632874952С углом f и сложнее, и проще. В условиях задачи недостаёт информации для того, чтобы однозначно определить величину f. Поэтому можно ответить: недостаточно информации; а можно ответить более точно: угол может со- держать любое количество градусов не меньшее, чем 15˚. Для иллюстрации приведём в пример ещё один рисунок, соответствующий условиям задачи.
Рисунок 13.
Упражнение 6
Пересечение углов e и f, имеющих общую вершину, содержит 50˚, раз- ность e и f содержит 16˚, а разность f и e – 25˚. Сколько градусов содер- жат углы e и f?
Пересечение углов e и f, имеющих общую вершину, содержит 56˚, а разность f и e содержит 98˚. Сколько градусов содержат углы e и f?
896368679565.7
Так как прямой угол содержит 90˚, сумма углов прямоугольника равна 90˚ + 90˚ + 90˚ + 90˚ = 360˚.
котороговсеуглыпрямые,называется
у
Четырёхугольник,
прямоугольником.

Примечание
1809280105910244953301059102Говоря об углах многоугольников, о числе градусов, которые содержат эти углы, мы имеем в виду углы, образованные лучами, частью которых являют- ся соответствующие стороны многоугольника.
Рисунок 14.
Стороны прямоугольника – основание и высота. Также используются названия длина и ширина.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Сумма длин сторон многоугольника называется периметром. В част- ности, периметр прямоугольника равен: P = a + b + a + b = 2a + 2b = 2 (a + b).
Площадь прямоугольника есть произведение основания и высоты или, другими словами, длины и ширины: S = ah, где а – длина основания, h – высота.

Задача
Основание прямоугольника равно 5 см, высота на 2 см больше основания. Определите периметр и площадь.
Решение
Высота прямоугольника равна 5 см + 2 см = 7 см.
Поэтому периметр: 5 см + 7 см + 5 см + 7 см = 24 см; площадь: 5 см • 7 см = 35 квадратных сантиметров.
Упражнение 7
Основание прямоугольника равно 8 см, высота в два раза больше ос- нования. Определите периметр и площадь.
Основание прямоугольника равно 14 м, высота на 5 м меньше основа- ния. Определите периметр и площадь.
752368801605.8
Задача
Какой длины забор понадобится для того, чтобы оградить прямоугольный участок, площадь которого равна 4800 кв. м, а ширина – 60 метров?
Решение
Разделив площадь на ширину, найдём длину участка: 4800 : 60 = 80 метров.
Следовательно, периметр участка и, соответственно, длина забора равна
P = 2 • 60 + 2 • 80 = 280 м.
Упражнение 8
Основание прямоугольника равно 82 см, площадь – 3034 кв. см. Определите периметр.
Основаниепрямоугольникаравно14 м,площадь–3024 кв. м. Определите периметр.
Основание прямоугольника равно a м, высота – h м. Определите периметр и площадь, зная, что
1.a) a = 32, h = 2b) a = 16, h = 4c) a = 8, h = 8.
Сравните результаты.
2.a) a = 18, h = 2b) a = 15, h = 5c) a = 10, h = 10.
Сравните результаты.
Подведите итоги наблюдений, сделанных в пунктах 1 и 2, и убедитесь в свойствах квадрата:
Среди прямоугольников с одинаковой площадью квадрат имеет наи- меньший периметр.
Среди прямоугольников с одинаковым периметром квадрат имеет наи- большую площадь.
896368661905.9
Задача
Из прямоугольника, высота которого равна 4 см, основание – 8 см, выреза- ли прямоугольник со сторонами 2 см и 1 см. Определите площадь и периметр полученной фигуры.
Решение
Так как площадь большого прямоугольника – 4 см • 8 см = 32 кв. см, а пло- щадь малого – 2 см • 1 см = 2 кв. см, площадь полученной фигуры – 32 кв. см
– 2 кв. см = 30 кв. см.
Рисунок 15.
С периметром сложнее, так как его величина зависит от того, в каком месте вырезан малый прямоугольник. Возможны 4 различные ситуации (рисунок 15):
Малый прямоугольник вырезан из угла большого. В этом случае пери- метр равен периметру большого прямоугольника – мысленно передвиньте AB на место CD; BC на место AD. Поэтому периметр P = 2 • 4 см + 2 • 8 см = 24 см.
Малый прямоугольник вырезан на стороне большого так, что периметр равен периметру большого прямоугольника плюс две боковые стороны ма- лого – мысленно передвиньте AB на место CD. Поэтому периметр P = 2 • 4 с м + 2 • 8 см + 2 • 1 см = 26 см.
Малый прямоугольник вырезан на стороне большого так, что периметр равен периметру большого прямоугольника плюс два основания малого – мысленно передвиньте BC на место AD. Поэтому периметр P = 2 • 4 см + 2 • 8 см + 2 • 2 см = 28 см.
Малый прямоугольник вырезан внутри большого. В этом случае пери- метр равен периметру большого прямоугольника плюс периметр малого: P
= 2 • 4 см + 2 • 8 см + 2 • 2 см + 2 • 1 см = 30 см.
Упражнение 9
Основание прямоугольника равно 14 м, высота – 6 м. Из него вырезан прямоугольник со сторонами 2 м и 6 м. Определите площадь и пери- метр полученной фигуры.
Основание прямоугольника равно 24 см, высота – 4 см. Из него выре- зан квадрат со стороной 2 см. Определите площадь и периметр полу- ченной фигуры.

Угол а = 6˚. Сколько градусов будет в этом угле, если на него посмо- треть в бинокль с десятикратным увеличением?
Зная, что F EGF и F FGH смежные, определите величину F EGF, если
F FGH равен:
a) 107˚b) 83˚c) 14˚d) 158˚
Ответьте ДА, НЕТ или НЕТ ОДНОЗНАЧНОГО ОТВЕТА на вопросы. Объясните свой ответ.
Угол 47˚ – острый.
Угол 77˚ – тупой.
Объединение смежных углов равно 140˚.
Если прямой угол разделить на 2 угла, то получится два острых угла.
Если объединить два острых угла, то получится тупой угол.
Пересечение углов с общей вершиной всегда больше их разности.
Разделив развернутый угол на два, можно получить два прямых угла.
Если тупой угол разделить на 2 угла, то получатся тупой и острый углы.
Разделив тупой угол на два, можно получить два острых угла.
Три луча, имеющие общую вершину, образуют смежные углы, если два из них образуют прямую.
Углы а = 53˚ и b = 37˚ имеют общую вершину и общий луч. Сколько градусов в объединении этих углов? А в пересечении?
Углы c = 152˚ и d = 64˚ имеют общую вершину. Сколько градусов в пе- ресечении этих углов, если в объединении 173˚? Определите, сколько градусов в соответствующих разностях.
Углы c = 68˚ и d = 77˚ имеют общую вершину. Сколько градусов в объ- единении этих углов, если в пересечении 55˚? Определите, сколько градусов в соответствующих разностях.
Пересечение углов e и f, имеющих общую вершину, содержит 29˚, раз- ность e и f содержит 61˚, а разность f и e – 15˚. Сколько градусов содер- жат углы e и f?
Основание прямоугольника равно 84 см, высота в четыре раза мень- ше основания. Определите периметр и площадь прямоугольника.
Высота прямоугольника равна 4 м и на 5 м меньше основания. Определите периметр и площадь.
Высота прямоугольника равна 22 см, площадь – 1034 кв. см. Определите периметр.
Основание прямоугольника равно 4 м, периметр – 18 м. Определите площадь.
Основание прямоугольника равно 40 м, высота – 16 м. Из него вырезан прямоугольник со сторонами 22 м и 6 м. Определите площадь и пери- метр полученной фигуры.
Шоколадка «Чёрный квадрат» выпускается в виде квадрата со сторо- ной 12 см. Чёрный шоколад в её середине окаймлён рамкой из белого шоколада шириной 1 см. Один квадратный сантиметр этой шоколад- ки как белого, так и черного цвета весит 1 г. Каков вес шоколадки? Сколько граммов чёрного шоколада имеется в одной шоколадке? Сколько белого?
Для того чтобы разнообразить ассортимент, вместе с «Чёрным ква- дратом» (смотри предыдущую задачу) кондитерская фабрика реши- ла выпускать шоколадку «Чёрное в белом» в виде прямоугольника со сторонами 18 см и 8 см. В этой шоколадке черный шоколад также окаймлён рамкой из белого шоколада шириной 1 см. Каков вес шо- коладки? Какую из шоколадок, «Чёрный квадрат» или «Чёрное в бе- лом», должен выбрать Азамат, если он предпочитает белый шоколад?
§ 6.Натуральные числа
Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она
удивительна.
Пьер Симон Лаплас (1749–1827), французский астроном, математик и физик
Числа 1, 2, 3, …, употребляемые при счете, называются натуральными.
Множество натуральных чисел обозначается символом N.

7521101563606.1
Для записи натуральных чисел мы используем позиционную десятичную систему, называемую арабской. В ней используются десять значков, которые называются цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Весомость каждой цифры определяется местом. Если читать (как это при- нято у арабов) запись натурального числа справа налево, то первая цифра означает число единиц, вторая – десятков, третья – сотен и т. д.
Например: 29872 = 2 + 7 • 10 + 8 • 100 + 9 • 1000 + 2 • 10000.
В случаях, когда для условной записи арабских чисел используются бук- вы, этот факт выделяется чертой сверху. Например: abcd = 1549, если a = 1; b = 5; с = 4; d = 9; anana = 75757, если a = 7; n = 5.

Нужно помнить, что запись числа 312 в виде cd, где с = 3; d = 12, недопу- стима, потому что, в данном случае, каждая буква означает цифру, а число 12 – не цифра.
Упражнение 1

Запишите и прочитайте число xy, зная, что у = 1; х = 2.

Запишите и прочитайте число a3a2a1a0, зная, что a3 = 3; a2 = 2; a1 = 7;
a0 = 0.

Запишите и прочитайте число abad, зная, что a = 7; b = 2; d = 4.

Можно ли записать число 34278 в виде abcd, предположив, что a = 3;
b = 42; c = 7; d = 8?
Если от числа 55, записанного двумя пятёрками, отнять одну пятёрку, то получится 5 – одна пятёрка. Прокомментируйте это высказывание.

Запишите и прочитайте число ab, зная, что a = 9; b = 2.

Запишите и прочитайте число x3x2x1x0, зная, что х3 = 5; х2 = 6; х1 = 4; х0 = 1.

Запишите и прочитайте число xyyx, зная, что у = 8; х = 7.
896111801606.2
Если при записи натурального числа использованы две цифры, то это двузначное число, если три цифры – трёхзначное …
Если при записи натурального числа на первое место поставлен нуль или несколько нулей, то они не учитываются.
Так, 0317 – трёхзначное число, 0044 – двузначное число.

Упражнение 2
Перечислите все двузначные числа, которые можно получить, исполь- зуя цифры 5 и 7.
Перечислите все двухзначные числа, которые можно получить, ис- пользуя по одному разу цифры 4 и 8.
Перечислите все трёхзначные числа, которые можно получить, ис- пользуя по одному разу цифры 1, 3 и 9.
Перечислите все трёхзначные числа, которые можно получить, ис- пользуя по одному разу цифры 0, 2 и 6.
5.Дан ряд чисел: 517, 811, 4435, 1197, 315, 7110, 5672, 689, 4325, 457.
Верно ли утверждение:
Самое маленькое число в этом ряду 457.
В этом ряду количество трёхзначных чисел равно количеству четырёхзначных.
В этом ряду есть число тысяча девяносто семь.
В этом ряду есть число, равное 5 + 2 • 10 + 3 • 100 + 4 • 1000.
Верно ли утверждение (ответ проиллюстрируйте примерами):
Сумма двузначных чисел может быть двузначным числом.
Произведение двузначных чисел может быть двузначным числом.
Сумма цифр 7 и 3 есть цифра 10.
Перечислите все двузначные числа, которые можно получить, исполь- зуя цифры 2 и 4.
Перечислите все двухзначные числа, которые можно получить, ис- пользуя цифры 0 и 8.
Перечислите все трёхзначные числа, которые можно получить, ис- пользуя по одному разу цифры 5, 7 и 9.
Перечислите все трёхзначные числа, которые можно получить, ис- пользуя по одному разу цифры 0, 3 и 6.
11. Дан ряд чисел: 5217, 811, 2012, 1197, 515, 7110, 5672, 689, 4325, 457.
Верно ли утверждение:
Самое маленькое число в этом ряду 457.
В этом ряду количество трёхзначных чисел равно количеству четырёхзначных.
В этом ряду есть число две тысячи двенадцать.
В этом ряду есть число, равное 5 + 2 • 10 + 1 • 100 + 7 • 1000.
Верно ли утверждение (ответ проиллюстрируйте примерами):
Сумма двухзначных чисел может быть трёхзначным числом.
Произведение двухзначных чисел – всегда трёхзначное число.
Если от цифры 9 отнять цифры 7 и 2, то получится цифра 0.
752110801606.3
Задача
В ниже приведённых числах каждая звёздочка заменяет какую-нибудь цифру. Можно ли сравнить эти числа?
a) 5** и 2** b) 51* и *40
c) 99* и *5* d) 1*8* и 9**
e) *6** и *51 f) *101* и *9*
Решение
Левое число больше, так как наименьшее из таких чисел – это 500, а наибольшее из чисел, которые могут стоять справа, – 299.
Эти числа сравнить невозможно, так как большим может оказаться как число слева, например, 510 > 440, так и число справа, например, 510 < 640.
Левое число больше, так как наименьшее из таких чисел – это 990, а наибольшее из чисел, которые могут стоять справа, – 959.
Левое число больше, так как любое четырёхзначное число больше лю- бого трёхзначного.
Эти числа сравнить невозможно, так как если первую звёздочку слева заменить на нуль, а первую звёздочку справа на 7, то число справа будет больше. Если же первая звёздочка слева не нуль, то левое число больше.
Левое число больше, так как слева стоит пятизначное или четырёхзнач- ное число, а справа двухзначное или трёхзначное.
Упражнение 3
В ниже привёденных числах каждая звёздочка заменяет какую-нибудь цифру. Можно ли сравнить эти числа?
a) *4*и 2** b) 1*1* и *40
c) 90* и *5* d) *1*и 92*
e) *6** и *591 f) 101* и **99*
В ниже приведённых числах каждая звёздочка заменяет какую-нибудь цифру. Можно ли сравнить эти числа?
a) 1*4* и 9** b) **1* и 9*4
c) *00 и 9*5 d) *5* и 92*
e) *6** и 5*91 f) *611* и *59*
896110211056.4
Задача
Определим количество натуральных чисел, имеющих 7 единиц, 5 или 9 десятков, которые
больше 100 и меньше 260;
больше 100 и меньше 400;
больше 1000 и меньше 5000;
больше 10 и меньше 9070.
Решение
Ответ очень прост – условиям удовлетворяют только три числа: 157, 197 и 257.
Ответ «шесть» можно найти так же, как и в предыдущем пункте – пере- числить все натуральные числа, удовлетворяющие условиям: 157, 197, 257, 297, 357, 397.
Если у Вас есть достаточное количество времени, то можно перечис- лить все возможные числа. Но это достаточно скучное занятие. Гораздо луч- ше чуть-чуть подумать. В каждой полной сотне только два числа удовлет- воряют условиям. (Проверьте, вернувшись к предыдущему пункту.) Так как в тысяче 10 сотен, а в пяти тысячах 50 сотен, в рассматриваемых пределах 50 – 10 = 40 сотен. Соответственно, в этих пределах 40 • 2 = 80 чисел, удов- летворяющих условиям.
От нуля до 9000 имеется 90 полных сотен. (То, что левой границей множества является не нуль, а десять, в данном случае не важно – первое подходящее число – 57.) Поэтому от 10 до 9000 имеется 90 • 2 = 180 чисел, удовлетворяющих условиям. Кроме них, есть ещё число 9057. В итоге имеем 181 «нужное» число.
Упражнение 4
Сколько натуральных чисел имеют 3 или 5 единиц; 5 десятков; 9 или 7 сотен:
больше 2000 и меньше 3000
больше 1000 и меньше 9000
больше 1000 и меньше 50000
Определите количество натуральных чисел, имеющих 6 единиц, 5 де- сятков, 9 сотен, которые:
больше 1000 и меньше 3000
больше 1000 и меньше 9000
больше 1000 и меньше 90000
752110801606.5
Задача
Отвечая на вопрос «Когда твой день рожде- ния?», Знайка сказал, что он родился в марте, а сум- ма цифр дня его рождения равна 11. Определите день рождения Знайки.
Находившийся в той же компании Незнайка сказал, что он тоже родился в марте, а сумма цифр дня его рождения равна 4. Можно ли опреде- лить день рождения Незнайки?
Решение

Обозначим искомое число xy. Тогда, х + y = 11.
Решим это уравнение методом подбора: х не может быть больше 3 (х – это число десятков, а в марте 31 день), поэтому решения вида x = 4; y = 7 не вер- ны; решение x = 1; y = 10 неверно, потому что 10 – не цифра.
Следовательно, уравнение имеет 2 решения: a) x = 2; y = 9 b) x = 3; y = 8.
Ответ b) означает, что Знайка родился 38 марта, что невозможно. Отсюда вывод: Знайка родился 29 марта.
Теперь x + y = 4. В этом случае, уравнение имеет 4 решения: a) x = 0, y = 4 c) x = 2, y = 2
b) x = 1, y = 3 d) x = 3, y = 1
Итак, мы не можем однозначно определить день рождения Незнайки.
Он родился или 4 марта, или 13 марта, или 22 марта, или 31 марта.
Упражнение 5
Отвечая на вопрос «Сколько тебе лет?», пятиклассник Марат сказал, что сумма цифр его возраста равна 2. Сколько лет Марату?
Отвечая на вопрос «Сколько тебе лет?», студент Калыс также отве- тил, что сумма цифр его возраста равна 2. Сколько лет Калысу?
Отвечая на вопрос «Когда твой день рождения?», Вова сказал, что он родился во второй половине апреля, а сумма цифр дня его рождения равна 4. Определите день рождения Вовы.
Отвечая на вопрос «Когда твой день рождения?», Айсулуу сказала, что она родилась в августе, а сумма цифр дня её рождения равна 8. Можно ли определить день рождения Айсулуу?
Отвечая на вопрос «Сколько тебе лет?», пятиклассница Чолпон сказа- ла, что сумма цифр её возраста равна 3. Сколько лет Чолпон?
Отвечая на вопрос «Сколько тебе лет?», дедушка Бекболот отве- тил, что сумма цифр его возраста равна 17. Сколько лет дедушке Бекболоту?
Отвечая на вопрос «Когда твой день рождения?», Витя сказал, что он родился в конце мая, а сумма цифр дня его рождения равна 10. Определите день рождения Вити.
Отвечая на вопрос «Когда твой день рождения?», Таня сказала, что она родилась в декабре, а сумма цифр дня её рождения равна 7. Можно ли определить день рождения Тани?
896110801606.6
Задача
Отвечая на вопрос «Сколько Вам лет?», Марина Юрьевна ответит: «Если от моего возраста отнять возраст моей правнучки, то получится 81, причём её возраст записывается теми же двумя цифрами, что и мой». Сколько лет Марине Юрьевне в этот момент?
Решение
Так как разность равна 81, возраст прабабушки будет больше. Если он ра- вен 82 или 83, или 84, … или 89, то, переставив цифры, получим или 28, или 38, или … 98. В этих случаях разность не может быть равна 81.
Следующий возможный вариант – 90 лет. Переставив цифры, получим 09. Согласно правилам чтения чисел, 09 так же, как и 009, 0009 и так далее – это число 9. Соответствующая разность 90 – 09 = 81. Итак, Марине Юрьевне
90 лет, правнучке – 9 лет.
Для того чтобы закончить решение, нужно убедиться в том, что других ре- шений нет – что числа 91, 92, 93 … 99 не удовлетворяют условиям.
Упражнение 6
Отвечая на вопрос «Сколько Вам лет?», бабушка Калича ответит:
«Если от моего возраста отнять возраст моего правнука, то получится 72, причём его возраст записывается теми же двумя цифрами, что и мой». Сколько лет бабушке Каличе в этот момент?
Выберите правильный ответ:
81
80
83
91
верны ответы b и d
все предыдущие ответы неверны
4232693-461621Отвечая на вопрос «Сколько Вам лет?», ба- бушка Кульнаар ответит: «Если от моего возраста отнять возраст моего правну- ка, то получится 99, причём его возраст записывается теми же цифрами, что и мой». Сколько лет бабушке Кульнаар в этот момент?
Выберите правильный ответ:
a) 100
b) 110
c) 120
d) 130
верны все предыдущие ответы
все предыдущие ответы неверны
752110211056.7
В младших классах, как правило, запрещают использовать пальцы при счёте. Видимо, есть какие-то основания поступать так, но это не соответству- ет истории развития математики. Ведь десятичная система стала основной, потому что при счете люди использовали пальцы. Как говорил знаменитый математик Н. Н. Лузин: «Преимущества десятичной системы не математиче- ские, а зоологические. Если бы у нас на руках были не десять, а восемь паль- цев, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».
Яркой иллюстрацией того, что пальцы человека породили десятичную си- стему, служит следующая любопытная иллюстрация таблицы умножения.
Для того чтобы умножать на 9, положите руки перед собой. Теперь, сги- бая один палец, получите результат умножения номера этого пальца, если считать слева направо, на 9. Результатом будет число, количество десят- ков которого равно количеству пальцев, лежащих левее согнутого пальца,
а количество единиц будет равно количеству пальцев, лежащих правее со- гнутого пальца.
Так, если согнуть средний палец левой руки – 3-й по счету, то левее будут 2 пальца, правее – 7. Итак, мы видим результат 3 • 9 = 27.
Если же согнуть средний палец правой руки – 8-й по счету, то левее будут 7 пальцев, правее – 2. В результате имеем: 8 • 9 = 72.
Стоит отметить, что человечество не сразу пришло к позиционной систе- ме исчисления. Во многих древних системах знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи числа знаки можно было располагать в любом порядке, значение записанного числа при этом не менялось. Такие системы называются непозиционными, и ими пользова- лись древние египтяне, греки, славяне и многие другие народы.
Одна из этих систем до сих пор широко использует- ся – это так называемые римские цифры. В этой си- стеме единица обозначается I. Для того чтобы на- писать число три, мы пишем три такие палочки:
III. Число пять обозначается V, число десять – X, пятьдесят – L, сто – С, пятьсот – D, тысяча – М. Поэтому запись XXXVII означает число тридцать семь; MDCCCXVIII – тысяча восемьсот восемнад- цать. Понятно, что это довольно громоздкая си- стема. Числа, записанные в такой форме, сложно перемножать и делить. В наше время их, как прави- ло, используют для нумерации: Вы, возможно, видели
надписи вида «XX век», очень часто места на пьедестале почёта для победителей спортивных состязаний обозначены римскими чис- лами. При этом при записи римскими цифрами все же используются элемен- ты позиционного исчисления:
знаки, обозначающие большие числа, пишутся раньше;
подряд один знак ставится не более трёх раз;
один раз знак, выражающий меньшее число, может быть написан раньше – это означает, что его значение должно быть вычтено: IV – это четыре; XIX – это девятнадцать; СССXCVII – это триста девяно- сто семь.
Упражнение 7
Запишите числа, используя арабскую систему:
II
VIII
IX
XII
XXVIII
LXI
CXCV
Запишите числа, используя римские цифры:
7
9
18
62
e) 141
f) 99
g) 273
Верно ли равенство? a) 77 – 7 = 7
b) XX – X = X
Запишите числа, используя арабскую систему:
III
VII
X
XI
XXIV
CLX
CXLV
Запишите числа, используя римские цифры:
6
14
17
73
e) 151
95
g) 327
Верно ли равенство? a) 999 – 99 = 9
b) CCC – CC = C
Запишите возраст членов Вашей семьи римскими цифрами.

Что за цифра-акробат: на голову встанет – на три больше станет?
Цифра вроде буквы О – Это нуль иль ничего. Единица не в почёте –
Меньше нет числа при счёте. Если ж мы им подсобим, Рядом, слева от нуля Единицу примостим –
Вместе больше станут весить, Потому что это … .
Если взять два натуральных числа: 56 и 0, то их произведение будет больше, чем их сумма. Найдите две ошибки в этом высказывании.
Возраст бабушки равен максимальному двузначному числу, записан- ному разными цифрами, возраст дедушки – минимальному трёхзнач- ному числу, записанному разными цифрами. Сколько лет бабушке и дедушке?
Запишите наименьшее и наибольшее пятизначные числа.
Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наи- большее двузначное число, чтобы получить наибольшее трёхзначное число?
Из числа 567123489 вычеркните 3 цифры так, чтобы получившееся число было максимально возможным (наибольшим).
Из числа 567123489 вычеркните 4 цифры так, чтобы получившееся число было минимально возможным (наименьшим).
Из числа 567894213 вычеркните 5 цифр так, чтобы получившееся чис- ло было максимально возможным (наибольшим).
Из числа 56712834915 вычеркните 6 цифр так, чтобы получившееся число было минимально возможным (наименьшим).
Сколько существует двузначных натуральных чисел, в записи которых цифра 7 использована хотя бы 1 раз?
Сколько существует трёхзначных натуральных чисел вида, в записи которых цифра 7 использована хотя бы 1 раз?
Вова терпеливо выписал все четырёхзначные числа, цифры которых идут в убывающем порядке. Чему равна разность между самым боль- шим и самым маленьким из этих чисел?
Отвечая на вопрос «Сколько Вам лет?», бабушка Майрам ответила:
«Если от моего возраста отнять возраст моего правнука, то получится 90, причём его возраст записывается теми же цифрами, что и мой». Сколько лет бабушке Майрам в этот момент?
Выберите правильный ответ:
a) 101
b) 102
c) 103
d) 104
верны все предыдущие ответы
все предыдущие ответы неверны
Отвечая на вопрос «Сколько Вам лет?», бабушка Аген ответила: «Если от моего возраста отнять возраст моего праправнука, то получится 81, причём его возраст записывается теми же тремя цифрами, что и мой». Сколько лет бабушке Аген в этот момент?
В харчевню пришли 11 человек и потребовали подать им рыбы. «К со- жалению, у меня всего три небольшие рыбы, но если вы хотите, я могу подать на стол одиннадцать», – сказал хозяин. Гости заинтересо- вались этим и даже согласились уплатить деньги вперёд. Как хозяин харчевни выполнил своё обещание?
Как сделать из двух спичек десять?
Как сделать из трёх спичек шесть? А четыре?
Как сделать из четырёх спичек семь? А двенадцать?
Незнайка из спичек составил числовое равенство, а Знайка решил подшутить над ним и переставил одну спичку. Вот что в итоге получи- лось: VI – IV = XI. Каким было исходное равенство?
§ 7.Скорость, время, работа
Что такое ФОРМУЛЫ и УРАВНЕНИЯ? Ответ. Формулы и уравнения – это шпаргалки.
Они подсказывают на контрольных, как надо решать задачи.
Г. Остер, российский писатель
752106801607.1
Задача
Михаэль Шумахер2 едет со скоростью 90 км/ час. (Вы, конечно, это знаете, но на всякий слу- чай напомним, что обозначение км/час означает километров в час.) Шумахер, конечно, может ехать гораздо быстрее, но не на соревнованиях,
а в обычной жизни он соблюдает правила. Сколько километров он проедет за:
a) 2 часа;b) 4 часа;c) 5 часов.
Решение
За 2 часа Шумахер проедет 90 • 2 = 180 км; за 4 часа он проедет
90 • 4 = 360 км; за 5 часов он проедет 90 • 5 = 450 километров.
Вышеприведённое решение можно обобщить, написав формулу S = 90t. Здесь S – расстояние, которое М. Шумахер проедет за время t со скоростью 90 км/час.
Подставляя в эту формулу значения времени, мы можем узнавать, сколь- ко километров проехал М. Шумахер за означенное время.
Так, если t = 3, то S = 90 • 3 = 270. Эта запись означает, что за 3 часа Михаэль Шумахер проедет 270 километров.

Михаэль Шумахер – выдающийся автогонщик, многократный чемпион мира в классе
«Формула-1».
Упражнение 1
Автобус едет со скоростью 70 км/час. Сколько километров он проедет за:
3 часа
4 часа
8 часов
17 часов
Спортсмен бежит со скоростью 320 м/мин. Сколько метров он пробе- жит за:
3 мин
14 мин
28 мин
33 мин
896106211057.2
Задача
Маша решила совершить двухчасовую поездку на велосипеде. Сколько километров она проедет, если будет двигаться со скоростью:
10 км/часb) 15 км/часc) 21 км/час
Решение
Все ответы можно получить, используя формулу S = v2.
Здесь S – длина пути, который проедет Маша за 2 часа, если будет дви- гаться со скоростью v.
Так, в случае а S = 10 • 2 = 20 км; в случае b S = 15 • 2 = 30 км; в случае c S = 21 • 2 = 42 км.
Упражнение 2
Паша решил совершить 30-минутную прогулку на лыжах. Сколько ме- тров он пройдёт, если будет двигаться со скоростью:
150 м/мин
125 м/мин
171 м/мин
143 м/мин
Оксана решила совершить 15-минутную поедку на автомобиле. Сколько метров она проедет, если будет двигаться со скоростью:
1150 м/мин
925 м/мин
1671 м/мин
1330 м/мин
752106661787.3
Задача
Сатымкул Джуманазаров3, готовясь к очередным соревнованиям, в пер- вый день бегал 2 часа со скоростью 17 км/час, во второй – 3 часа со ско- ростью 14 км/час, в третий – 4 часа со скоростью 12 км/час. Сколько всего километров пробежал Сатымкул за три дня?
Решение
Для того чтобы узнать расстояние, которое каждый день пробегал Сатымкул Джуманазаров, обобщим результаты 1-го и 2-го примеров и на- пишем формулу S = vt. Тогда результат первого дня: 17 • 2 = 34 км, второго: 14 • 3 = 42 км, третьего: 12 • 4 = 48 км. Итак, за 3 дня Джуманазаров пробежал
34 + 42 + 48 = 124 км.
Упражнение 3
Санжар в первый день ехал 4 часа со скоростью 77 км/час, во второй –
38519983793213 часа со скоростью 84 км/час. Сколько всего километров проехал Санжар за два дня?
Майкл Фелпс4, готовясь к очередным сорев- нованиям, в первый день плавал 4 часа со средней скоростью 70 м/мин, во второй –
3 часа со средней скоростью 84 м/мин, в третий – 5 часов со средней скоростью 62 м/мин. Сколько всего метров проплыл Майкл за три дня?
752106801607.4
Довольно часто приходится рассматривать и обрат-
ные задачи – задачи, в которых по известному расстояниюнужно найти скорость или время.
Задача
Самолет пролетел 2511 км за 3 часа. С какой скоростью летел самолёт?

Сатымкул Джуманазаров – выдающийся кыргызский спортсмен. Является един- ственным представителем стран бывшего Советского Союза, ставшим призером олимпийских игр в марафонском беге.
Майкл Фелпс – самый титулованный пловец, многократный чемпион мира и Олим- пийских игр.
Бегун пробежал 3000 м со средней скоростью 375 м/мин. Сколько вре- мени он затратил?
Решение
Подставив данные задачи в формулу S = vt, получим: 2511 = v3. Отсюда получаем, что скорость самолёта была v = 2311 : 3 = 837 км/час.
Примечание
Может оказаться, что какое-то время самолёт летел быстрее, чем 837 км/ час, какое-то время – медленнее. Для того чтобы подчеркнуть этот факт, го- ворят, что 837 км/час – это средняя скорость самолёта.
Из формулы S = vt, получим: 3000 = 375t. Тогда t = 8 мин.
Обратными к формуле (+) являются формула V = S : t, позволяющая определить скорость по расстоянию S, пройденному за время t;
а также формула t = S : v, по которой можно найти время, потраченное на то, чтобы со скоростью v преодолеть расстояние S.
(+)
Формула
S = v • t
определяет расстояние, пройденное за время t при скорости v.

Упражнение 4. Заполните таблицы.
1.
S 90 км 512 м 1236 км 327 м
v 16 м/сек 77 км/час 3 см/сек 3 м/мин
t 6 часов 8 часов 12 часов 37 сек 2.
S 790 м 5121 км 1260 м 3280 км
v 9 км/час 7 м/сек 23 м/сек 40 км/мин
t 5 часов 18 сек 12 мин 17 сек 8961061473437.5
Задача
Мурат едет на велосипеде из Балыкчи в Каракол. Первую часть пути он проехал за три часа со скоростью 17 км/час; вторую – за четыре часа. В ре- зультате он оказался на расстоянии 109 км от Каракола. С какой скоростью он проехал вторую часть пути? Расстояние от Балыкчи до Каракола – 220 км.
Решение
Для того чтобы найти ответ, во-первых, определим длину первой части пути: 17 • 3 = 51 км; затем – длину второй части: 220 – 109 – 51 = 60 км. Итак, скорость Мурата на второй части пути была равна 60 : 4 = 15 км/час.
Упражнение 5
Саша решил пробежать от Кара-Балты до Бишкека. Первую часть пути он пробежал за четыре часа со скоростью 9 км/час; вторую – за два часа. В результате он оказался на расстоянии 4 км от Бишкека. С ка- кой скоростью он пробежал вторую часть пути? Расстояние от Кара- Балты до Бишкека – 60 км.
Санжар едет на автомобиле к родственникам в Ош. Первые 130 км пути он проехал за два часа, вторую часть – с той же скоростью за 1 час, оставшуюся часть пути – за три часа. С какой скоростью он проехал последнюю часть пути, если вся дорога составила 420 км?
Составьте и решите задачи на определение скорости, используя расстояние от Вашего населенного пункта до соседних.
752106217407.6
Практически все, что мы обсуждали, рассматривая связь времени, скоро- сти и расстояния, имеет место и во многих других ситуациях.
Так, это имеет место, когда мы говорим о работе, производительности труда и времени. Дело в том, что производительность труда – это скорость, с которой работают.
определяет oбъём выполненной работы A за время t при производи- тельности труда P.
Обратными к формуле (++) являются формула P = А : t, позволяющая определить производительность труда по oбъёму работы А, выполненной за время t; а также формула t = А : Р, по которой можно найти время, потра- ченное на выполнение oбъёма работы А при производительности труда P.
(++)
A = P • t
Формула

Упражнение 6
Рабочий изготавливает 12 деталей в час. Сколько деталей он изгото- вит за:
2 часа?b) 4 часа?c) 5 часов?
Тракторист отработал 8 часов. Сколько гектаров (га) земли он вспа- хал, если производительность его труда:
8 га/час?b) 11 га/час? c) 17 га/час?
Экскаватор роет 7 метров канавы в час. Сколько метров он выроет за:
12 часов?b) 23 часа?c) 35 часов?
Машинистка проработала 6 часов. Сколько страниц текста она напе- чатала, если производительность её труда:
15 стр/час?b) 21 стр/час?c) 37 стр/час?
Составьте и решите две задачи, используя данные из таблицы.
Работа Производительность 80 юбок/час 6 самолётов/месяц
Время 16 часов 1 год
8961061473437.7
Задача
Асан может изготовить 3 табуретки за 2 дня. Сколько времени ему понадо- бится для того, чтобы изготовить 15 табуреток?
Решение
В этой задаче 15 табуреток – объём работы А, 3 табуретки за 2 дня – про- изводительность труда P.
Тогда, по формуле (++):15 = 3t.
Отсюда получим, что t = 5. Так как t – это период времени, равный двум дням, Асану для изготовления 15 табуреток понадобится 5 раз по 2 дня, то есть 10 дней.
Упражнение 7
Тракторист вспахал четверть поля за 3 дня. За сколько дней он вспа- шет 2 таких поля?
Три швеи сшили шесть платьев за 6 дней. Сколько платьев сошьют шесть швей за 3 дня?
Комбайн скосил половину поля за 2 дня. За сколько дней он скосит 3 таких поля?
Четыре пятиклассника съели четыре пирожка за четыре минуты. Сколько пирожков съедят восемь пятиклассников за 8 минут?
Составьте и решите четыре задачи, используя данные из таблицы.
Работа 90
брюк 156 лепёшек 123 тракто- ра 325 тонн
Производительность 6 лепёшек/ мин 25 т/час
Время 5 часов 41 час 7521061455657.8
Задача
Гульнара должна проверить 47 тетрадей с домашними заданиями. Первую пачку тетрадей она проверила за 1 час со скоростью 2 тетради за 5 минут; вторую – за полчаса. После этого ей осталось проверить 5 тетрадей. Сколько тетрадей за 5 минут проверяла Гульнара при работе со второй пачкой?
Решение
Так как в одном часе 60 минут, для проверки первой пачки тетрадей Гульнара использовала 60 : 5 = 12 пятиминуток. Следовательно, в первой пачке было 12 • 2 = 24 тетради.
Поэтому во второй пачке было 47 – 24 – 5 = 18 тетрадей.
В половине часа 30 : 5 = 6 пятиминуток. Отсюда получаем, что при провер- ке второй пачки Гульнара тратила 5 минут на 18 : 6 = 3 тетради.
Упражнение 8
Комбайнёр должен скосить 97 га пшеницы. В 1-й день он косил 7 часов со скоростью 5 га/час. Во второй день он косил 6 часов – и после это- го ему осталось скосить 26 га. С какой скоростью работал комбайнёр во второй день?
Гульниссо должна решить 33 задачи. В 1-й день она за три часа реши- ла 12 задач. Во 2-й день она с той же производительностью занима- лась задачами четыре часа. Сколько задач ей осталось решить после этого?
Тракторист должен вспахать 76 га. В 1-й день он пахал 7 часов со ско- ростью 7 га/час. Во второй день он закончил работу за 3 часа. С какой скоростью работал тракторист во второй день?
Анара должна придумать 24 задачи. В 1-й день она за шесть часов придумала 8 задач. Во 2-й день она придумала 12 задач. Сколько времени она истратила на задачи в третий день, если она закончила
работу, придумывая задачи с той же производительностью, что и в первый день?
896106801607.9
Задача
Темир стрижёт шерсть 12-ти овец в день. Сколько овец в день стриг Бакыт, если известно, что он за 8 дней состриг шерсть со стольких овец, со скольких Темир состриг за 10 дней?
Решение
Ответ на вопрос легко получить, если сообразить, что за 2 дня Темир ост- риг 2 • 12 = 24 овцы. Следовательно, в течение последующих 8 дней Бакыт обработал на 24 овцы больше. То есть он стриг на 24 : 8 = 3 овцы в день больше, и поэтому ответ: 12 + 3 = 15 овец.
Эту задачу можно решить и по-другому.
За десять дней Темир состриг шерсть со 12 • 10 = 120 овец. Поэтому, обо- значив через x количество овец, шерсть с которых ежедневно состригал Бакыт, получаем уравнение 8x = 120. Отсюда: x = 15.
Упражнение 9
Эльмира стрижёт шерсть с 9-ти баранов в день. После того как Эльмира состригла шерсть с 27 баранов, к стрижке баранов приступила Зарина. Через 9 дней работы Зарины обнаружилось, что Зарина обрабо- тала на 18 баранов меньше, чем Эльмира. Сколько
баранов в день стригла Зарина?
Энвер пропалывает 5 метров картошки в минуту. Через 7 минут после Энвера к работе приступила Люба. После того как Люба проработала 33 минуты, выяснилось, что Энвер прополол на 101 метр больше. Сколько метров картошки в минуту пропалывала Люба?

Двигаясь равномерно, Олег преодолел 798 м от дома до школы за 7 минут. Его соседка Оля тоже двигалась равномерно и добралась до школы за 57 минут. На сколько метров в минуту быстрее стремитель- ный бег в школу Олега, чем тихий и размеренный шаг Оли?
Общее расстояние, которое Салтанат и Назгуль прошли за 8 часов, равно 30000 м. Определите среднюю скорость Салтанат, зная, что средняя скорость Назгуль – 1950 м/час.
От Сашиного дома до школы 1500 м. До начала занятий осталось 30 минут. С какой скоростью должен двигаться Саша, придумывая ува- жительную причину, чтобы прийти в школу после первого урока – кон- трольной по математике? Продолжительность урока – 45 минут.
Досаалы приехал из Оша в Бишкек за 9 часов. Первые два часа он двигался со скоростью 75 км/час, скорость в последующие 4 часа была меньше на 8 км/час, а остаток пути он преодолел со скоростью 85 км/час. Сколько километров проехал Досаалы?
Канай проехал 302 км от Бишкека до Таласа за 4 часа. Первые два часа он двигался со скоростью 80 км/час. С какой скоростью он прое- хал остаток пути?
За сколько часов Чолпон проехала 908 км от Бишкека до Баткена? Известно, что первые 10 часов она проехала со скоростью 71 км/час, а остаток пути она преодолела со скоростью 66 км/час.
Расстояние от домика Тигры до домика Иа – 616 м. Тигра проходит это расстояние за 7 минут, а Иа – за 8 минут. На сколько метров в минуту скорость Тигры больше скорости Иа?
Парикмахерская за час обслуживает 27 клиентов. Сколько клиентов будет обслужено:
за 3 часа?b) за 4 часа?c) за 8 часов?
Какова производительность труда рабочего, который за 8 часов изготовил:
520 кирпичей?b) 1264 кирпича?c) 1712 кирпичей?
Сколько часов работала бригада швей, которая сшила 2814 сорочек, если их производительность:
7 сорочек в час?b) 6 сорочек в час?c) 67 сорочек в час?
Три толстяка обедали 3 часа. За это время первый съел 21 вареник, второй съедал 7 вареников в час. Сколько вареников в час съедал тре- тий толстяк, если он съел столько, сколько первый и второй вместе?

Попробуйте решить предложенные задачи. Сверьте полученные ответы с ответами в конце раздела. Если какие-то задачи совсем не желают под- даваться Вашим усилиям даже после нескольких попыток, воспользуйтесь указаниями, приведенными в конце книги.
На пляж бежали девочки:
одна впереди двоих,
одна посреди двоих,
одна позади двоих.
Сколько девчонок бежали на пляж?
Длина прямоугольника – 4 метра, ширина – 2 метра. Чему равны пери- метр и площадь этого прямоугольника? Чему будут равны периметр и площадь, если и длина, и ширина уменьшатся в два раза?
В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Чему равен их общий рост, если средний рост девочки – 152 сантиметра, мальчика – 150 сантиметров?
Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лили- ями, удваивается. За сколько недель пруд зарастёт на четверть, если он полностью зарастает за 8 недель?
Бакыт, Батыр и Темир пригнали на пастбище 7 коров. Определите, сколько коров пригнал Батыр, зная, что Бакыт пригнал меньше всех, а Темир – больше всех.
Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причём каждому из них досталось по целому яйцу. Как это могло случиться?
В семье четверо сыновей, и у каждого есть сестра. Сколько детей в этой семье?
Айсулуу написала на экране компьютера решение упражнения на сло- жение чисел. Через некоторое время к компьютеру подошла Айпери и стёрла все плюсики. В результате исходная запись стала следующей: 54321 = 60. Восстановите исходную запись.
Три курицы за три дня снесут три яйца. Сколько яиц снесут шесть ку- риц за шесть дней? А четыре курицы за девять дней?
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу: первый из Джалал- Абада со скоростью 20 км/час, второй из Оша со скоростью 15 км/час. Который из велосипедистов будет ближе к Ошу в момент их встречи? Расстояние между Джалал-Абадом и Ошом – 100 км.
После соревнований по бегу Айгерим сказала, что Жаныбек прибежал пятым, а Алымбек сказал, что Жаныбек был шестым с конца. Сколько человек состязались в беге?
К началу учебного года Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф получили подарок со сладостями. В подарке было 300 г карамели, шокола- да на 120 г меньше, а мармелада на 340 г больше, чем шоколада. Сколько граммов сладостей получили поросята?
Для того чтобы выкупить свою корову, кот Матроскин должен сдать 960 литров молока. В первый месяц он сдал шестую часть от всего
требуемого объёма молока, во второй – пятую часть от оставшегося объёма. Сколько молока сдал Матроскин за 2 месяца?
Допишите недостающую букву.
А В Г 1 3 4 6
В 1564 году родился Галилео Галилей, великий учёный, первый чело- век, исследовавший звёздное небо с помощью телескопа. В 1934 году родился Юрий Гагарин, первый космонавт. Сколько лет разделяет эти две даты?
2304961146840
Ответы к задачам на внимание, логику и сообразительность
1. 3. 2. Периметр – 12 метров. Площадь – 8 квадратных метров. После умень- шения периметр – 6 м, площадь – 2 квадратных метра. 3. 3770 см. 4. 6. 5. 2 ко- ровы. 6. За завтраком были дед, отец и сын. 7. 5 детей. 8. 60 = 54 + 3 + 2 + 1.
12; 12. 10. Они будут на одинаковом расстоянии. 11. 10. 12. 1000 г. 13. 320 л.
14. Е. 15. 370 лет.
Если задачи у Вас получились – замечательно. Если не получились, поду- майте ещё. Если опять не получается – воспользуйтесь указаниями, приве- дёнными в конце книги.
§ 8.Порядок действий, скобки
Учитель. 20 человек за 8 часов скосили целое поле. За сколько часов его скосят 50 человек? Ученик. Если 20 человек скосили поле, то 50 человекам там нечего косить.
895854801618.1
Задача
Винни-Пух купил 5 горшочков мёда по цене 174 сома за каждый. Сколько денег осталось у Винни, если у него была тысяча сомов?
Собираясь после уроков решить эту задачу, Знайка написал на доске со- ответствующее числовое выражение:
1000 – 174 • 5 =
В этот момент его позвали, и Знайка вышел из класса.
Через некоторое время в этот класс заглянул Незнайка и дописал свой вариант решения: он произвёл вычитание: 1000 – 174 = 826, а затем умножил результат на пять: 826 • 5 = 4130.
Решение
Так как мы, в отличие от Незнайки, знаем условие задачи, то для нас оче- видна абсурдность полученного решения – у Винни-Пуха была тысяча со- мов, он совершил покупку, и в итоге у него оказалось 4130 сомов!
Конечно, дело в том, что Незнайка нарушил правило, которое гласит: умножение и деление должны выполняться раньше, чем сложение и вычитание.
Ошибку Незнайки исправил вернувшийся Знайка: 1000 – 174 • 5 = 1000 – 8 70 = 130 сомов. Столько денег осталось у Винни-Пуха.
При вычислениях умножение и деление выполняются раньше, чем сло- жение и вычитание.
Сложение и вычитание выполняются в том порядке, в котором они запи- саны: 15 – 7 + 4 = 8 + 4 = 12, но никак не 15 – 7 + 4 = 15 – 11 = 4.
То же можно сказать и об умножении и делении: 512 : 4 • 2 = 128 • 2 = 256,
но никак не 512 : 4 • 2 = 512 : 8 = 64.

Упражнение 1
1. Вычислите. a) 2 + 8 • 5
b) 3 • 51 – 8
c) 13 • 15 – 74
d) 135 – 7 • 4
e) 103 • 11 – 27 • 4 f) 34 • 50 + 17 • 4
g) 315 – 7 • 14 + 102
h) 5123 – 44 – 19 • 8
i) 19 • 25 + 714 – 3 • 75
j) 44 • 17 – 21 • 4 • 5 – 7 • 4
2. Вычислите. a) 21 + 8 : 2
b) 3 • 5 – 8
c) 143 : 11 + 7
d) 13 • 5 – 47
e) 99 • 11 – 7 • 41 g) 315 : 3 • 4 + 12
h) 512 – 129 • 8 : 3
f) 34 : 2 + 7 • 14
i) 19 • 5 + 72 : 3 • 5
j) 4 • 17 – 21 • 4 : 7 – 7 • 6
8.2 751853-380519Задача
Отправляясь на бал в королевский дворец, мачеха, помимо других зада- ний, велела Золушке выполнить ещё 3 упражнения, с которыми не справи- лись её дочери:
1) 27923567819 + 92345682135 – 92345682133 =
2) 92356781329 – 75534562135 + 75534562131 =
3) 923 • 56781329 – 923 • 56781327 =
Увидев эти упражнения, Золушка совсем пала ду- хом, но с помощью феи, которая научила её пользо- ваться «волшебными» скобками, легко справилась
с заданием.
Мы вернёмся к этому примеру после перечисле- ния свойств скобок.
Скобки – это математический знак, указывающий на то, что действия, заключённые в скобки, выполняются в первую очередь:
2 + 8 • 5 = 2 + 40 = 42, но (2 + 8) • 5 = 10 • 5 = 50;
105 – 5 • 14 + 1 = 105 – 78 + 1 = 28, но (105 – 5) • (14 + 1) = 100 • 15 = 1500.
Записывая левую скобку, мы «открываем» скобки, записывая правую –
«закрываем» скобки.
Если сразу перед скобкой или после скобки стоят число или буква, или другая скобка, то между ними подразумевается знак умножения:
(21 + 8) • 15 = (21 + 8) 15; (9 – 7) • (14 + 1) = (9 – 7)(14 + 1).

Упражнение 2
1. Вычислите. a) (2 + 8) 5
b) 3 (51 – 18)
c) 13 (15 – 7)
d) (35 – 7) 4
e) 10 (11 – 7) 4 f) 3 (40 + 17) 4
g) (31 – 7)(14 + 12)
h) (53 – 44) 9 + 8
i) 2 (25 + 14) – 35
j) 4 (17 – 2)(45 – 37) + 24
2. Вычислите. a) (12 – 8) 7
b) (34 + 16) 4
c) 3 (25 – 7)
d) 8 (35 + 17)
e) 12 (11 – 6) 7 f) 31 (40 + 7) 4
g) (13 + 7)(41 – 14)
h) (53 – 42)(9 – 7)
i) 212 – 2 (25 + 4) – 35
j) (141 – 7) – 2 • 45 – (17 + 24)
8.3 Произведение нескольких чисел и букв называется одночленом. Например: 15, а, 2х, сх, 3bc, 15t – одночлены.
Сумма или разность одночленов называется многочленом. Понятно, что сумма или разность многочленов также будет многочленом.
Например: 1 – 5х; 2а + 3; 2х – 6 + сх; 7x – 2ху + 33 – 12uvw – многочлены.

Из множества М, элементами которого являются одночлены и многоч- лены, выпишите все одночлены.
895854-1719163М = {2; 2x + 8; 5f – 12; 4ac; 4 : a – c; 4 + a + c; 2y; 17 – s – t; 101a}
Заполните таблицу, использовав 3 первых столбца как образец.
Одночлен 123 ас 3ху 77 15т 35n 45gf
Числовая часть 123 – 3 34 2678 Буквенная часть – ас ху – с – Из множества М, элементами которого являются одночлены и многоч- лены, выпишите все одночлены.
М = {12 – x5 + t; 5f; 12; 24 + ac; 9rp; 41c; 2y – 7; 517st}
Заполните таблицу.
Одночлен 2453 35хуz 1675т 935stn Числовая часть 77 49 234 2678 –
Буквенная часть – kl mn fс – klm
751860211058.4
Когда мы заключаем в скобки многочлен, то
если перед одночленом, с которого начинается наш многочлен, стоит знак «+» или нет никакого знака, то все знаки «+» и «–» внутри многоч- лена остаются неизменными:
19 – 24 : 2 + 714 – 3 • 75 = (19 – 24 : 2 + 714 – 3 • 75);
19 – 2 • 25 + 72 : 4 – 3 • 75 = (19 – 2 • 25) + (72 : 4 – 3 • 75);
19 – 2 • 25 + 71 : 4х – 3 • 75 = (19 – 2 • 25 + 71 : 4х) – 3 • 75;
если перед одночленом, с которого начинается наш многочлен, стоит знак «–», то внутри многочлена все знаки «+» меняются на знак «–», и наоборот:
19 – 24 : 2 + 714 – 3 • 75 = 19 – (24 : 2 – 714 + 3 • 75);
19 – 2а – 25 + 7 : с + 14 – 3 • 75 = 19 – 2а – (25 – 7 : с – 14 + 3 • 75).

Упражнение 4
Верны ли равенства?
a) 12 + 99 – 77 = 12 + (99 – 77)
b) 133 – 27a + 86 = 133 – (27a + 86)
c) 4 : x + 54 – 52 – y = 4 : x + (54 – 52 + y)
d) 10c – 31a – 7 = 10c – (31a + 7)
В числовое выражение 5 • 12 – 6 : 3 добавьте скобки так, чтобы резуль- тат был равен:
a) 10b) 18c) 50
В числовое выражение 7 • 9 + 12 : 3 – 2 добавьте скобки так, чтобы результат был равен:
a) 23b) 75c) 89
В числовое выражение 270 + 120 + 390 : 3 • 5 добавьте скобки так, что- бы результат был равен:
a) 1120b) 416c) 1300
Верны ли равенства?
a) 12х + 19 – 7с – у = 12х + (19 – 7с) + у
b) 33 – 7u + 8v = 33 – (7u – 8v)
c) 41b – 5 : d – 12 + n = 41b – (5 : d + 12 + n)
d) c + 3а – 7 – m = (с + 3a) – (7 + m)
В числовое выражение 1500 : 25 – 10 • 2 добавьте скобки так, чтобы результат был равен:
a) 300b) 200c) 100
В числовое выражение 79 – 12 • 3 + 42 : 6 добавьте скобки так, чтобы результат был равен:
a) 66b) 208c) 36
В числовое выражение 60 • 5 + 12 – 9 : 3 добавьте скобки так, чтобы результат был равен:
a) 301b) 1017c) 101
895854801608.5
Если одночлены, образующие многочлен, имеют общий множитель, то его можно вынести за скобки и записать перед или сразу после скобок:
19 • 25+3 • 25 = (19 + 3) 25 = 22 • 25 = 550;
12 • 75 – 3 • 75 = (12 – 3) 75 = 9 • 75 = 675;
19 – 30 • 15 – 3 • 15 + 32 • 15 = 19 – 15 (30 + 3 – 32) = 19 – 15 = 4;
9х + 30х – 5 = (9 + 30)х – 5 = 39х – 5;
19a + 19d – 17 = 19 (a + d) – 17;
15a – 3у – 12a – 32у = 15a – 12a – 3у – 32у = (15 – 12)a – (3 + 32)у = 3a – 35у.

Упражнение 5
Вынесите общий множитель.
a) 30x – 30y
b) 6х – 5х + 46
c) 7c + 3c – 5c – 4 d) 21t + 8t – 6t
e) 15y + 9 + 9х – 8y + 5х – 6
Вынесите общий множитель.
30x – 3х
b) 16х – 5 + 4х
c) 17c + 3 – 5c – 4c d) 21t + 8t – 29s
e) 91х + 15 + 9y – 8 – 51х – 6y
895854211058.6
Задача
Требуется вычислить значение числового выражения:
999 • 998 – 998 • 997 + 997 • 996 – 996 • 995 + 995 • 994 – 994 • 993 + 9
93 • 992 – 992 • 991.
Решение
Для этого расставим скобки:
(999 • 998 – 998 • 997) + (997 • 996 – 996 • 99) 5 +
+ (995 • 994 – 994 • 993) + (993 • 992 – 992 • 991)
и вынесем общий множитель из каждой скобки:
998 (999 – 997) + 996 (997 – 995) + 994 (995 – 993) + 992 (993 – 991).
Так как выражение внутри каждой скобки равно двум, получим 998 • 2 + 996 • 2 + 994 • 2 + 992 • 2.
Еще раз вынесем общий множитель: 2 (998 + 996 + 994 + 992) – и затем получим ответ: 2 • 3980 = 7960.
Упражнение 6
Вычислите значение числового выражения. a) 30 • 15 – 3 • 15 + 27 • 5
b) 56 • 13 – 56 • 7 + 4 • 6
c) 24 • 67 + 53 • 24 – 50 • 24
d) 214 • 77 + 86 • 84 – 86 • 7
e) 9 • 8 • 7 – 8 • 7 • 6 + 7 • 6 • 5 – 6 • 5 • 4 + 5 • 4 • 3 – 4 • 3 • 2
Вычислите значение числового выражения.
a) 30 • 15 – 30 • 5 – 299d) 86 • 77 – 86 • 4 – 86 • 13
b) 6 • 63 + 54 • 63 – 3 • 60e) 99 • 98 + 98 • 97 – 97 • 96 – 96 • 99
c) 24 • 67 + 67 • 6 – 30 • 24
751853801608.7
Возвращаемся к Золушке (к пункту 8.2) и видим, что «очень трудные» упражнения становятся совсем простыми, если воспользоваться скобками:
1) 27923567819 + 92345682135 – 92345682133 =
= 27923567819 + (92345682135 – 92345682133) =
= 27923567819 + 2 = 27923567821.
2) 92356781329 – 75534562135 + 75534562131 =
= 92356781329 – (75534562135 – 75534562131) =
= 92356781329 – 4 = 92356781325.
3) 923 • 56781329 – 923 • 56781327 = 923 (56781329 – 56781327) = 923 •
2 = 1846.
Упражнение 7
Выполните действия, используя скобки.
a) 912 + 789 – 779
b) 5613 – 287 + 286
c) 4767 + 5124 – 5024
d) 77210 – 31657 + 31607
e) 252 • 1234 – 250 • 1234
f) 252 • 1234 – 252 • 234
g) 250 • 1234 + 250 • 766
h) 52 • 1234 + 48 • 1234
Выполните действия, используя скобки.
a) 7791 + 893 – 890
b) 6133 – 877 + 867
c) 2465 + 1247 – 247
d) 23170 – 16574 + 16174
e) 1232 • 134 – 1232 • 131
f) 252 • 11234 – 250 • 11234
g) 120 • 345 + 120 • 155
h) 5248 • 24 + 5248 • 76
895854211058.8
Иногда могут использоваться несколько скобок. В этих случаях вычис- ления начинаются с самых внутренних скобок:
(3 – (15 – 13)) • 5 – 4 = (3 – 2) • 5 – 4 = 1 • 5 – 4 = 5 – 4 = 1;
(25 – 3 (2 + (15 – 13))) = (25 – 3 (2 + 2)) = (25 – 3 • 4) = 13.
В таких ситуациях для того, чтобы не путаться, удобно использовать не только круглые (…), но и квадратные […], и фигурные {…} скобки. В ма- тематике все эти скобки равноправны, и не стоит говорить, что какие-то из них главнее.
Во всех случаях вычисления начинаются с самых внутренних скобок: 3 + [7 – (9 – 7)] • 2 = 3 + [7 – 2] • 2 = 3 + 5 • 2 = 13;
{25 – 3[2 + (15 – 13)]} = {25 – 3[2 + 2]} = {25 – 3 • 4} = 13.
Стоит отметить, что нужно соблюдать порядок расстановки скобок.
Записи вида [3 – (х – 13]) • 5 – 2, в которых непонятно, круглые скобки внутри квадратных или наоборот, недопустимы.

Упражнение 8
Вычислите.
a) 25 + 2[12 – 3 (11 – 7)]
b) [15 – 4 (12 – 9)] + 40
c) 51 – 7 [(15 – 7) 2 – 9]
d) [59 – 4 (13 – 9]) – 40

e) 3[2 + 5 (71 – 5)] – 129
f) 7 – {[5 – 2 (15 – 13]) + 9} + 3
g) [29 – 3 (4 – 1)] – (12 + 2)
h) 27 – {[5 – 2 (15 – 13)] + 9} + 3
Вычислите.
a) (25 + 2) [14 – 3 (11 – 7)]
b) 2[(15 – 4) 2 – 9] – 4
c) (11 – 3) 2 – [(5 + 7) 2 – 9]
d) [9 – 4 (13 – 11)]7 – 4

e) [2 + 5 (71 – 5)]5 – 1) 2
f) 7 + 2 {[15 – 2 (5 – 1]) + 9} – 39
g) [9 – 3 (4 – 1] – 12) + 2
h) 17 – {[(5 – 2)(15 – 13) – 1]2 + 5} + 3
751853801618.9
Мы рассмотрели ситуации, в которых скобки «появляются». Оказывается, что очень часто приходится проделывать обратную операцию – «убирать» скобки. В этом случае на математическом языке говорят: раскрывать скобки.
При раскрытии скобок
если перед или сразу после скобок стоит одночлен, то все одночлены внутри скобок нужно умножить на него:
(19 + x) 25 = 19 • 25 + 25x; 3a (x – 7) = 3ax – 21a;
если перед скобками стоит знак «+» или нет никакого знака, то все знаки
«+» и «–» перед одночленами внутри скобок остаются неизменными: (91 + x) + 2c = 91 + x + 2c; 3 + a(x – 5) = 3 + ax – 5a;
если перед скобками стоит знак «–», то внутри многочлена все знаки
«+» меняются на знак «–», и наоборот:
3 – (15 – x) a – (3 + c) y = 3 – 15a + xa – 3y – cy.
Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Процесс суммирования или вычитания подобных членов называется
приведением подобных членов.

Упражнение 9
Раскройте все скобки и приведите подобные члены.
a) 9 (a – 12)
b) 13 + 2 (7 – x)
c) 7u – 6 (2 + c)
d) 121 – (3 + y) 17
e) 25 + 2[12 – 3 (х – 7)]
f) [5 – 4 (х – 9)] – 40
g) {[25х – 3 (1 – y)] – z}
h) {2[5t + 2 (15 – 3c)] – k} + 3
i) [2х – (4 – y]) – z
j) {21 – [5t – 2 (5 – 3c)}] + 3
Раскройте все скобки и приведите подобные члены.
a) 2 (7 – a)
b) 5х + 3 + 2 (7 – x)
c) 7 – 3 (2 + c)
d) 21y – (3 + y) 17
e) 2х + 25 + 3 (х – 7)
f) [(15 – 4х) 2 – 9]2 – 40
g) 3[25 – х – 3 (1 – y)] – 6
h) {2[5t + 2 (15 – 3c] – k)}7 + 3
i) (2х – [4 – y]) 5 – z
j) 3 – {2[11 – 2 (5 – 3c)] – 5t}
895854661788.10
Задача
Выразить число 8 при помощи четырёх одинаковых цифр, знаков арифме- тических действий и скобок.
Решение
Вариантов много. Вот некоторые из них:
8 = 2 + 2 + 2 + 2
8 = 8 + (8 – 8) : 8
8 = (4 + 4) : 4 • 4
8 = 3 • 3 – 3 : 3
8 = 2 • 2 + 2 • 2
8 = 6 + (6 + 6) : 6
8 = 4 + 4 + 4 – 4
8 = 4 • 4 – 4 – 4
8 = 33 : 3 – 3
Упражнение 10
Выразите число 10 при помощи четырёх одинаковых цифр, знаков арифметических действий и скобок.
Выразите число 12 при помощи знаков арифметических действий и скобок:
пяти двоек;
пяти троек;
пяти пятнадцаток…
Выразите число 11 при помощи пяти одинаковых цифр, знаков ариф- метических действий и скобок.
Выразите число 13 при помощи шести одинаковых цифр, знаков ариф- метических действий и скобок.
895854801488.11
Задача
Алтынбек упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Айсулуу стёрла все знаки арифметических действий и скобки. Вот что полу- чилось в итоге:
12 = 3
123 = 4
1234 = 5
12345 = 6
123456 = 7
1234567 = 8
12345678 = 9
123456789 = 10
Восстановим исходную запись.
Решение
Решение этой задачи может выглядеть следующим образом:
1 + 2 = 3;
12 : 3 = 4;
(1 + 2) : 3 + 4 = 5;
12 : 3 : 4 + 5 = 6;
1 + 2 + 34 – 5 • 6 = 7;
1 • 2 + 3 + 45 – 6 • 7 = 8;
12 • 3 – 4 • 5 – 6 + 7 – 8 = 9;
(1 + 2) 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 = 10.
Стоит отметить, что предложенный вариант решения далеко не един- ственный. Например,
(1 + 2) 3 – 4 = 5;
1 + 2 • 3 + 4 – 5 = 6;
[(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 = 7;
1 + [(23 + 4 • 5) + 6] : 7 = 8;
1 • 2 + 3 + 4 + 56 – 7 • 8 = 9;
(1 + 2) : 3 + 4 + 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 10.
Более того, несколько интересных вариантов получится, если увидеть, что в последнем равенстве действия возможны и справа. Тогда
123 – 4 – 5 – 6 • 7 – 8 • 9 = 1 • 0 или
12 • 3 : (4 + 5) + 6 + 7 – 8 – 9 = 1 • 0 или
1 + 2 + 3 + 4 + 56 – 7 • 8 – 9 = 1 + 0.
Упражнение 11
Тынчбек упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Тамара случайно стёрла все знаки арифметических действий и скоб- ки. Вот что получилось в итоге:
123 = 9
1234 = 10
12345 = 11
123456 = 12
1234567 = 13
12345678 = 14
123456789 = 15
Восстановите исходную запись.
Педро упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Анара случайно стёрла все знаки арифметических действий и скобки. Вот что получилось в итоге:
123 = 4
123 = 45
123 = 456
123 = 4567
123 = 45678
123 = 456789
Восстановите исходную запись.
Вы, наверное, слышали, что, когда хитроумный Одиссей возвращался домой после Троянской войны, он с товарищами прошел через ряд трудных испытаний. Нам в руки попался старинный документ, в кото- ром повествуется об одном из неизвестных для широкой публики эпи- зодов. Они попали на волшебный остров Акадия. Акадики заявили, что их остров сможет покинуть только тот, кто с помощью знаков арифме- тических действий и скобок превратит запись 1234 = 56789 в верное
равенство. Остальные останутся на острове навечно. Акадики дума- ли, что задача имеет только одно решение, и собирались отпустить только одного. А как Вы думаете, сколько человек из команды Одиссея смогут покинуть остров?
Чолпон упражнялась в арифметике. Но, когда она ненадолго вышла, Онола стёрла все знаки арифметических действий и скобки. Вот что получилось в итоге:
123 = 1
1234 = 1
12345 = 1
123456 = 1
1234567 = 1
12345678 = 1
123456789 = 1
Восстановите исходную запись.
Алибек упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Ирина, для того чтобы он поработал ещё, стёрла все знаки арифмети- ческих действий и скобки. Вот что получилось в итоге:
1 = 23456789
12 = 3456789
123 = 456789
1234 = 56789
12345 = 6789
123456 = 789
1234567 = 89
12345678 = 9
Восстановите исходную запись.
Решите задание 11.5, заменив в условиях запись 1234 = 56789 на 9876 = 54321.
ИГРА
Задания, выполненные в пунктах 8.10 и 8.11, могут послужить основой для увлекательной игры.
Класс делится на 2 или 3 команды. После этого выбирается число. Для этого приглашаем по игроку из каждой команды, и они «выбрасывают на пальцах» каждый свою цифру: от 1 до 5. Сумма даёт «базовое» число. Далее с помощью нескольких базовых чисел, арифметических действий и скобок нужно выразить «игровое» число. Выбор этого числа также можно осуществлять путём «выбрасывания пальцев».
Пусть базовое число 7, а игровое число 9. 1-я команда имеет 1 минуту для того, чтобы написать свой вариант. Скажем, она написала 77 : 7 – (7 +
7) : 7 + 7 : 7 = 9, используя 6 базовых чисел.
После этого 2-я команда имеет 1 минуту, для того чтобы написать свой вариант. Если она не предложила свой вариант, то ход переходит к сле- дующей команде. Предположим, 2-я команда написала 7 + 7 : 7 + 7 : 7 = 9.
Ход переходит к следующей команде и так далее.

При этом 3 первых варианта каждая команда может написать, исполь- зуя любое количество базовых чисел, а начиная с четвёртого можно ис- пользовать не более семи базовых чисел.
После того как команды исчерпают все свои варианты, подсчитывают- ся очки. Каждая команда получает столько очков, сколько вариантов она предложила.
После процесса «выбрасывания пальцев» игра продолжается. Только теперь команда, которая была первой, вступает в игру последней.
Сыграв несколько раундов, можно подвести итоги игры.


Вычислите.
a) 153 – 7 • 15 + 2102
b) 513 – 4 : 4 + 11 • 8
Вычислите.

c) 9 • 45 – 74 + 3 • 17
d) 23 • 27 – 31 • 4 : 2 + 7 • 6
a) (32 + 18) 4
b) 13 (21 – 8)
c) 18 (15 – 7) : 4
d) 56 : (35 – 7) 4
e) 10 (11 – 7) – 4
f) 3 + (40 + 16) : 14
Из множества S, элементами которого являются одночлены и многоч- лены, выпишите все одночлены.
S = {21; 2 – х; 5v; 14ad; 4a17; a + 3 : c; 5r; 72s – 3t}
Выполните действие, использовав скобки.
a) 152 + 893 – 793
b) 6143 – 147 + 137
c) 760 + 51 • 24 – 50 • 24
d) 772 : 4 – 740 : 4 + 3160
e) 562 • 234 – 560 • 234
f) 252 • 34 + 252 • 66
В числовое выражение 20 + 12 • 5 + 39 : 3 добавьте скобки так, чтобы результат был равен: a) 53; b) 236.
Вынесите общий множитель за скобки.
a) 12a – 12b
b) 16х – 5х + 44
c) 7d + 5d – 4
e) 7х – y + 3х – 6 + 5y + 2 d) 21t + 8t – 16s – 13s
Вычислите значение числового выражения. a) 33 • 21 – 33 • 15 + 27 • 6
b) 6 • 132 – 6 • 127 + 6 • 195
c) 9 • 8 • 7 – 9 • 7 • 5 + 8 • 7 • 6 – 8 • 6 • 4 + 6 • 5 • 3 – 6 • 3 • 2
Вычислите.
a) 5 + 12[22 – 2 (11 – 9)]
b) [15 – (4 • 12 – 39)] + 4

с) (9 – 3 (4 – 1)) 369 + 2
d) 37 – {[7 – 2 (15 – 12)] + 9}3
Раскройте скобки и приведите подобные члены.
a) 12 + 5 (a – 2)
b) 13 + 2 (7 – x)
c) 7c – 6 (5 + c)
d) 21y – (5 + y) 7
e) 25х + 2[9 – 3 (2х – 5)] f) {[5 – 4 (х – 9)] – х}3 – 4
Шайлоо упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Атыра стёрла все знаки арифметических действий и скобки. Вот что получилось в итоге:
3 = 21
4 = 321
5 = 4321
6 = 54321
7 = 654321
8 = 7654321
9 = 87654321
10 = 987654321
Восстановите исходную запись.
Талгат упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Анара стёрла все знаки арифметических действий и скобки. Вот что получилось в итоге:
1 = 234
1 = 2345
1 = 23456
1 = 234567
1 = 2345678
1 = 23456789
Восстановите исходную запись.
Самар упражнялся в арифметике. Но, когда он ненадолго вышел, Рустам стёр все знаки арифметических действий и скобки. Вот что получилось в итоге:
12 = 345
12 = 3456
12 = 34567
12 = 345678
12 = 3456789
Восстановите исходную запись.
§ 9.Целые числа
– Скажи, Лёвчик, сколько мама заплатила за 2 килограмма яблок,
если килограмм стоит 2 рубля?
– Не знаю. Мама всегда торгуется.
750684801609.1
Эльмира велела маленькому сыну решить задачу:
Температура воздуха в полдень была равна 3°. После этого в течение каждого часа она уменьшалась на 1°. Какой была температура в 7 вечера?
Начав решать эту задачу, Тёма нашел, какой была температура через час:3° – 1° = 2°;
затем через 2 часа:2° – 1° = 1°;
через 3 часа:1° – 1° = 0°;
через 4 часа:0° – 1° = …
В этот момент он задумался, посидел некоторое вре- мя, а потом закричал: «Мама! Ты дала неправильную задачу. Здесь от меньшего числа нужно отнимать большее!» «Ничего страшного, – сказала Эльмира, – переставь числа местами и вычти. А для того что-
бы показать, что уменьшаемое меньше вычитае- мого, перед ответом поставь знак минус. Вот так: 0° – 1° = – (1° – 0°) = – 1°». «Понятно, – сказал Тёма, но очень скоро он опять закричал: «А как от минуса отнять минус?» «Ну, это совсем просто, – ответила
Эльмира. – Достаточно поставить скобки и вынести ми- нус из скобок. Вот так: – 1° – 1° = – (1° + 1°) = – 2°». «Ура-а!
Я понял!» – прокричал Тёма и довольно быстро закончил решать задачу.
В шесть вечера температура была – 2° – 1° = – (2° + 1°) = – 3°, а в семь ве- чера: – 3° – 1° = – (3° + 1°) = – 4°.
Если от натурального числа вычесть большее, то результатом будет от- рицательное число.
Для того чтобы от меньшего положительного числа вычесть большее, нужно переставить их местами, вычесть и перед результатом поставить знак минус.
Например: 18 – 19 = – (19 – 18) = – 1.

Для того чтобы от отрицательного числа отнять положительное число, нужно поставить скобки и вынести минус, в скобках выполнить сложение.
Например: – 1812 – 1941 = – (1941 + 1812) = – 3753.
Для того чтобы к отрицательному числу прибавить положительное число, нужно поставить скобки и вынести минус, в скобках выполнить вычитание.
Например:
– 18 + 4 = – (18 – 4) = – 14; – 8 + 14 = – (8 – 14) = – [– (14 – 8)] = 6.

Упражнение 1
Выполните действие.
a) 9 – 12
b) – 13 – 27
c) 47 – 62
d) – 210 – 317
e) 252 – 1234
f) – 384 – 15476
g) – 19 + 12
h) – 13 + 27
i) – 47 + 62
8946841062810Выполните действие.
a) – 9 – 12 d) 210 – 317 g) – 91 + 20
b) 13 – 27 e) – 252 – 1234 h) – 123 + 77
c) – 47 – 62
9.2 f) 384 – 15476 i) – 72 + 99
Разность натуральных чисел может быть
натуральным числом: 21 – 7 = 14;
равна нулю: 21 – 21 = 0;
отрицательным числом: 21 – 33 = – 12.
Все эти числа являются целыми.
Целыми числами называются числа, которые могут быть представле- ны в виде разности натуральных чисел.
Из определения целых чисел следует, что множество целых чисел содержит:
подмножество натуральных чисел;
подмножество чисел, противоположных (по знаку) натуральным чис- лам – множество отрицательных целых чисел;
число нуль.

Упражнение 2. Какое число является противоположным по знаку числу:
1.a) 5 b) – 10 c) – 1235 d) 21451
2.a) – 51 b) 210 c) 123 d) – 451
Использование целых чисел помогает более полно, чем при использова- нии только натуральных чисел, описывать окружающую действительность.
Например, Гульмира проверила дневники своих детей и обнаружила, что Джамиля в прошлом месяце получила 15 пятерок, в этом – 16; Жылдыз в про- шлом месяце получила 10 пятерок, в этом – 14; Керим в прошлом месяце получил 11 пятерок, в этом – 4.
Вычислив разности: 16 – 15 = 1; 14 – 10 = 4; 4 – 11 = – 7, Гульмира понимает, что ей нужно подбодрить Джамилю, похвалить Жылдыз и серьёзно погово- рить с Керимом.
750684801489.3
Числовая ось
Возьмём горизонтальную прямую линию и отметим на ней отрезок OA. Левый конец отрезка обозначим цифрой 0 и назовём началом координат, правый – цифрой 1. Запись А(1) следует читать: точка А имеет координату 1.

В результате получили числовую ось. Каждой точке числовой оси сопо- ставляется число, и наоборот, каждому числу сопоставляется точка на чис- ловой оси.
Например, отложив вправо от точки 0 два отрезка OA, получим точку B, выражающую число 2; пять отрезков – точку C, выражающую число 5.


Отрезки, отложенные влево от начала координат, выражают отрицатель- ные числа. Так, отложив влево от точки 0 четыре отрезка OA, получим точку D, выражающую число – 4. Числа 2, 5, – 4 называются координатами точек B, C, D, соответственно. Этот факт записывают следующим образом: B (2), C (5), D (– 4).
Использование числовой оси проясняет многие математические вопросы. Так, совершенно простой становится задача сравнения чисел: чем правее находится число, тем оно больше. Пять больше трёх, два больше нуля, один больше минус единицы, минус единица больше минус четырёх и т. д.
Упражнение 3. Изобразите на числовой оси и сравните числа:
1.– 3; 1; 2; – 1; 5.
2.4; 6; – 2; – 5; 0.
894684661909.4
Точки, выражающие числа 4 и – 4, находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Для того чтобы подчеркнуть этот факт, математи- ки говорят, что числа 4 и – 4 имеют одинаковое абсолютное значение (модуль).
Значение модуля числа – расстояние от начала координат до точки, выражающей это число. Таким образом, абсолютное значение, модуль как числа 4, так и числа – 4 равен четырем. Символически это записывают так:
|4| = 4; |– 4| = 4.

Упражнение 4. Изобразите на числовой оси и сравните по абсолютной величине числа:
1.3; – 1; 2; 1; 5; – 3.
2.4; – 7; – 2; 2; – 3. 8946841436609.5
Разность чисел 5 и 3 равна 2 – длине отрезка между точками, выражаю- щими эти числа; разность чисел 5 и – 3 равна 5 – (– 3) = 8 – и это тоже длина отрезка между соответствующими точками.
Эти равенства являются частными случаями следующего явления: длина отрезка числовой оси равна разности координаты точки, являющейся пра- вым концом отрезка, и координаты точки, являющейся левым концом отрезка. Итак, если точка А имеет координату а, точка В – координату b, то длина от- резка АВ равна b – a. Символически это записывается так: |АВ| = b – a = |a – b|.
Длина отрезка АВ не зависит от направления измерения: от А к В или от В
к А. Поэтому справедливо равенство |a – b| = |b – a|.
Запись С(2) означает, что точка С на числовой оси имеет координату 2; запись Т(– 7) – что точка Т имеет координату – 7.
Упражнение 5
Найдите длину отрезка, определяемого точками.
a) A (7) и N (– 2)
b) T (2) и O (0)
c) N (– 2) и I (2)
d) N (– 2) и A (7)
e) U (– 7) и N (– 2)
Найдите длину отрезка, определяемого точками.
a) A (7) и L (3)
b) M (4) и A (7)
c) M (4) и B (– 5)
d) E (– 3) и T (2)
750684211069.6
С каждым отрицательным числом можно сопоставить положительное, которое записывается теми же значками, только без знака минус: – 1 и 1;
– 15 и 15; – 12097 и 12097. Такое положительное число называется моду- лем, или абсолютным значением исходного числа.
Модуль (абсолютное значение) положительного числа – это само число. Положительные и отрицательные числа, имеющие одинаковый модуль, называются противоположными.
Модуль числа нуль равен нулю.
Модуль числа обозначается вертикальными палочками. Например, мо- дуль числа – 15, записывается так: |– 15|.
Тогда из сказанного: |– 15| = 15, |15| = 15, |– 76515| = 76515, |1005| = 1005,
|0| = 0.

Упражнение 6
1.Вычислите. a) |21 – 185| c) |– 115 – 74| e) |103 + 11 – 274|
b) |501 – 87| d) |– 135 + 74| f) |34 + 50+17 (– 4)|
2.Вычислите. a) |– 21 – 18| c) |11 • 5 – 74| e) |13 + 11 – 74|
b) |5 • 11 – 27| d) |– 13 • 5 + 43| f) |34 • 5+70 (– 4)|
750684211059.7
4011447152741Задача
Айжан едет со скоростью 56 км/час. Через 2 часа следом за ней со скоростью 88 км/час отпра- вился Азат. На сколько километров больше прое- дет Айжан, когда Азат находится в пути:
1 час?b) 3 часа?c) 5 часов?
Решение
За 2 часа Айжан проедет 56 • 2 = 112 км. Поэтому если обозначить через t время, которое находится в пути Азат, то за это время Азат проедет 88t километров, а Айжан 112 + 56t км, а разница d между расстояниями, преодо- ленными Айжан и Азатом d = (112 + 56t) – 88t.
Поэтому через 1 час после выезда Азата Айжан проедет на d = (112 + 56 • 1) – 88 • 1 = 168 – 88 = 80 км больше.
Через 3 часа Айжан проедет на d = (112 + 56 • 3) – 88 • 3 = 280 – 264 = 16 к м больше.
Через 5 часов Айжан проедет на d = (112 + 56 • 5) – 88 • 5 = 392 – 440 = – 4
8 км больше.
В последнем случае получился непонятный результат: – 48 километров. Разве так бывает? Оказывается, бывает. Знак минус говорит нам, что име- ет место обратное. Величина d в нашей задаче показывает, на сколько ки- лометров больше проехала Айжан по сравнению с Азатом. Через час по- сле выезда Азата Айжан проехала на 80 км больше, через 3 часа – на 16 км больше. Через 5 часов после выезда Азат проедет больше, чем Айжан, – он к тому времени обгонит Айжан. А так как величина d показывает, на сколько км Айжан опережает Азата, то через 5 часов она станет отрицательной, так как в это время уже Азат опережает Айжан.
Упражнение 7
Из первого крана со скоростью 25 л в минуту на- полняют первый бассейн, из второго крана со ско- ростью 40 л в минуту наполняют второй бассейн. В начальный момент в первом бассейне имелось 200 литров воды, второй был сухим. На сколько ли- тров будет больше воды в первом бассейне через:
a) 5 мин? b) 10 мин?c) 15 мин?d) 1 час?
На складе А 190 кг муки, на складе В – 520 кг. Каждый час на склад А привозят 70 кг муки, на склад В привозят 50 кг. На сколько кг муки будет больше на складе В через:
2 часа?b) 10 часов?c) 15 часов?d) 19 часов?
750684661789.8
Задача
Алтымыш едет в Каракол. Он сообщил, что после того, как он проехал три часа со скоростью 67 км/час, ему осталось проехать 74 км. На каком рас- стоянии от Балыкчи находился Алтымыш в начальный момент времени? Расстояние от Балыкчи до Каракола – 220 км.
Решение
Для того чтобы найти ответ, от 220 км нужно отнять оставшееся расстоя- ние и расстояние, покрытое за три часа: 220 – 74 – 67 • 3 = 146 – 201 = – 55 к м.
На первый взгляд, получился странный ответ – отрицательное число. Возможно, мы ошиблись в вычислениях или неправильно рассуждаем. Вроде бы всё правильно.
Может Алтымыш дал нам неправильные сведения? Обратившись к нему за разъяснениями, мы узнаем, что в начальный момент ему надо было ещё доехать до Балыкчи. Таким образом, отрицательное число, которое по- лучилось в процессе решения, указывает на то, что в начальный момент Алтымышу нужно было проехать 55 км для того, чтобы доехать до Балыкчи!
Упражнение 8
Андабек проехал 3 часа со скоростью 68 км/час, и после этого ему до Оша осталось 15 км. На каком расстоянии от Жалал-Абада нахо- дился Андабек в начальный момент времени? Расстояние от Жалал- Абада до Оша 100 км.
Николай едет в Кара-Балту. После того как он проехал два часа со скоростью 78 км/час, ему осталось проехать 45 км. На каком рас- стоянии от Кемина находился Николай в начальный момент времени? Расстояние от Кемина до Кара-Балты 160 км.
750684801609.9
Задача
Азамат решил стать миллионером. После того как он в течение 7 лет по- лучал ежегодную прибыль, равную 160 тысячам сомов, ему до желанной цели осталось 80 тысяч. Каким было финансовое положение Азамата в на- чальный момент времени?
Решение
В одном миллионе тысяча тысяч. Следовательно, через 7 лет у Азамата было 1000 – 80 = 920 тысяч сомов, а заработал он за это время 160 • 7 = 1120 тысяч. Таким образом, у Азамата в начальный момент времени было 920 – 1120 = – 200 тысяч.
Отрицательное число, в данном случае, говорит нам, что в в начальный момент времени Азамат был должен 200 тысяч сомов.
Упражнение 9
Бегимай сделала покупки на сумму $235, $72 и $1989 и расплатилась по карточке. Сколько долларов она должна, если до совершения поку- пок на карточке было $1437?
Назгуль сделала покупки на сумму $268, $372 и $1987 и расплатилась по карточке. Сколько долларов она должна, если до совершения поку- пок на карточке было $2143?
894684801609.10
При работе с отрицательными числами бывает полезно использовать модуль и тот факт, что отрицательное число является произведением соответствующего положительного числа и минус единицы. Например:
– 33 = (– 1) 33.
Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и перед суммой ставят их общий знак.
Например:
51 + 17 = 68; – 15 – 71 = (– 15) + (– 71) = – 86.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. Например:
– 51 + 17 = – (51 – 17) = 34; 15 – 71 = 15 + (– 71) = – (71 – 15) = – 56.
Знаки (+) и (–) при выполнении умножения и деления ставятся в соот- ветствии со следующими образцами:
(+)(+) = (+) 3 • 2 = 6;6 : 2 = 3;
(–)(–) = (+) (– 3)(– 2) = 6;(– 6) : (– 2) = 3;
(-)(+) = (–)(– 3) 2 = – 6;(– 6) : 2 = – 3;
(+)(–) = (–) 3 (– 2) = – 6;6 : (– 2) = – 3

Расстановку знаков при выполнении умножения и деления легко запом- нить с помощью следующих высказываний:
(+)(+) = (+) Друг моего друга – мой друг. (–)(–) = (+) Враг моего врага – мой друг.
(–)(+) = (–) Враг моего друга – мой враг.
(+)(–) = (–) Друг моего врага – мой враг.

Упражнение 10
1. Вычислите. a) 2 – 85
b) 51 – 87
c) – 15 – 74
d) – 135 – 74
e) 103 + 11 – 274 f) 34 – 50 + 17 – 4
g) 15 – 7 • (– 14) – 102
h) 53 – 44 – 19 • 8
i) (– 19) • 25 + (– 7)( – 14) – (– 3) • 75
j) 24 • 17 – 21 • 4 + 7 (– 4)
2. Вычислите. a) – 12 – 57
b) 11 – 817
c) 51 – 74
d) – 13 – 174
e) – 13 + 11 – 24 f) 4 – 15 + 17 – 14
g) 12 • 5 – 7 • 11 – 102
h) 5 • (3 – 14) – 9 • 8
i) 9 • (– 5) – (– 7) 4 – (– 3) • (– 7)
j) 241 + (– 2) 14 + 7 • (– 4)
9.11 750685-380518Задача
Эркин взял число 5, вычел из него 12, результат умножил на минус 9.
Сколько у него получилось?
Для того чтобы решить эту задачу, Эрмек записал соответствующие дей- ствия и вычислил: 5 – 12 • – 9 = 63. Но при проверке задания учительни- ца отметила этот пример как нерешённый. Эрмек возмутился: «Как это так! У Нурдина такой же ответ, и ему Вы зачли эту задачу». Согласны ли Вы с Эрмеком?
Решение
Ответ, конечно, правильный, но запись совершенно неправильная.
Во-первых, в математических записях не положено писать два зна- ка арифметических действий подряд. Поэтому, число – 9 должно быть в скобках.
Во-вторых, имеет место более грубая ошибка – пропуще- на скобка, выделяющая первое действие: 5 – 12. Согласно пра- вилу, если выполнять действия так, как их записал Эрмек, то
вначале нужно умножить 12 на – 9, а затем результат отнять от пяти: 5 – 12 • – 9 = 5 – (– 108) = 113.
Правильная запись решения задачи: (5 – 12) • (– 9) = – 7 • (– 9) = 63.
Упражнение 11
Правильно запишите и вычислите.
Разность чисел:
Сумму чисел:
Произведение чисел:
Частное от деления:
1) – 13 и – 28
1) – 51 и 87
1) – 15 и – 4
1) – 105 на – 7
2) – 37 и 82
2) 17 и – 72
2) – 11 и 17
2) 152 на – 4
Правильно запишите и вычислите.
Разность чисел:
Сумму чисел:
Произведение чисел:
Частное от деления:
1) 37 и – 82
1) – 112 и 79
1) 5 и – 42
1) – 136 на – 17
2) – 7 и – 42
2) 173 и – 28
2) – 8 и – 71
2) 520 на – 26
894684217409.12
Использование отрицательных чисел даёт очень простой и эффектив- ный инструмент для сравнения чисел.
Почти все знают, что 7 больше, чем 5, а их разность: 7 – 5 = 2 положи- тельна. Семь, конечно, равно семи, и их разность: 7 – 7 = 0.
Число 5 меньше 7, а их разность отрицательна: 5 – 7 = – 2.
Оказывается, этот механизм можно использовать для сравнения любых чисел:
если разность положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого;
если разность равна нулю, то уменьшаемое равно вычитаемому;
если разность отрицательна, то уменьшаемое меньше вычитаемого.

Задача
Сравните числа:
a) – 37 и 8b) – 51 и 0
c) 15 и 4d) – 15 и – 4
Решение
Разность – 37 – 8 = – (37 + 8) = – 45 отрицательна. То есть уменьшаемое (– 37) меньше числа 8 – вычитаемого.
Этот результат является частным случаем утверждения: любое отрица- тельное число меньше любого положительного числа.
Разность – 51 – 0 = – 51 отрицательна. Этот результат также являет- ся частным случаем утверждения: любое отрицательное число меньше нуля.
Разность 15 – 4 = 11 положительна. Наше вычисление подтверждает общеизвестный факт: пятнадцать больше четырёх.
Разность – 15 – (– 4) = – 15 + 4 = – 11 отрицательна, то есть минус пятнад- цать меньше, чем минус четыре.
Сопоставив этот результат с результатом пункта с), можем прийти к сле- дующему заключению: если одно положительное число больше другого, то для соответствующих отрицательных чисел справедлив противопо- ложный результат.
Упражнение 12
Какое число больше?
a) 912 или – 779
b) 5613 или 286
c) 0 или – 5024
d) 77210 или 0
e) – 34 или – 27234
f) – 2534 или – 252234
g) – 2501234 или – 2501766
h) – 52231234 или – 48234
Какое число больше?
1 или – 79
b) 613 или 2862
c) – 102 или – 0
d) 0 или 120
e) – 6634 или – 9234
f) – 2534 или 254
g) – 92501734 или – 92501736
h) 2231234 или 2231233
750684210929.13
Задача
Сайкал ведёт учёт яйценоскости своих кур. Из её за- писей, относящихся к разным периодам времени, сле- дует, что:
Пеструшка снесла 27 яиц, Чернушка – на 6 яиц больше, а Хохлатка – в три раза меньше, чем Пеструшка и Чернушка вместе взятые;
Пеструшка снесла 42 яйца, Чернушка – на 5 яиц меньше, а Хохлатка – в два раза меньше, чем Пеструшка и Чернушка вместе взятые;
с) Пеструшка снесла 27 яиц, Чернушка – в два раза больше, чем Пеструшка, а Хохлатка – на 57 яиц меньше, чем Чернушка.
Сколько яиц снесла Хохлатка в каждый период времени?
Решение
Чернушка снесла 27 + 6 = 33 яйца, а Пеструшка и Чернушка вместе взя- тые: 27 + 33 = 60. Следовательно, Хохлатка снесла 60:3 = 20 яиц.
Чернушка снесла 42 – 5 = 37 яиц, а Пеструшка и Чернушка вместе взятые: 42 + 37 = 79. Следовательно, Хохлатка снесла 79 : 2 = … . Но 79 на 2 не делится. Поэтому в такой формулировке задача не имеет решения. Видимо, в записи Сайкал вкралась ошибка.
Чернушка снесла 27 • 2 = 54 яйца, а Хохлатка снесла 54 – 57 = – 3 яйца. Конечно, количество яиц не может быть отрицательным. По всей видимости, ошибка есть и в этих записях.
Упражнение 13
Сайнаш продаёт компьютеры.
За первый месяц она продала 46 компьютеров, во второй – на 9 меньше, а в третий – в три раза меньше общего количества за два первых месяца.
За первый месяц она продала 54 компьютера, во второй – на 9 больше, а в третий – половину от общего количества за два первых месяца.
с) За первый месяц она продала 24 компьютера, во второй – в два раза больше, а в третий – на 30 меньше половины от общего количе- ства за два первых месяца.
Сколько компьютеров продала Сайнаш за третий месяц?
Мирбек изготавливает столы.
За первую неделю он изготовил 6 столов, за вторую – на 3 больше, а в третью – в три раза меньше общего количества за две первые недели.
За первую неделю он изготовил 4 стола, за вторую – на 1 больше, а в третью – в два раза меньше общего количества за две первые недели.
с) За первую неделю он изготовил 2 стола, за вторую – в два раза больше, а в третью – на 7 меньше общего количества за две первые недели.
Сколько столов изготовил Мирбек за третью неделю?
894684801609.14
Задача
Вставьте недостающие числа в волшебную таблицу.
75 67
53 33
11 Решение
Для начала обозначим недостающие числа буквами.
75 a 67
b 53 33
c 11 d
Затем, выбрав сначала число 75, потом 11 и произнося соответствую- щие заклинания «сим-салабим» и «ахалай-махалай», получим тройку чисел с суммой: 75 + 11 + 33 = 119.
Сумма 75 + 53 + d = 119 позволяет найти значение числа d: 128 + d = 119, и отсюда d = 119 – 128 = – 9.
Сумма с + 53 + 67 = 119 определяет значение с: с + 120 = 119, и отсюда с = 119 – 120 = – 1.
Сумма b + 11 + 67 = 119 определяет значение b: b + 78 = 119, и отсюда
b = 119 – 78 = 41.
Значение числа а можно найти из равенства a + b + d = 119, использовав ранее найденные значения b и d: а + 41 + (– 9) = 119. Тогда a + 32 = 119, и от- сюда а = 119 – 32 = 87.
Итак, получилось, что волшебная таблица имеет вид:
75 87 67
41 53 33
– 1 11 – 9
Упражнение 14. Вставьте недостающие числа в волшебные таблицы.
5
85 53 67
92 52 – 13 28 49 – 15
a)b)
15
7 53 6
9 8 49 – 5
– 13 17
a)b)

Температура воздуха с a˚ понизилась на d˚. Определите новую темпе- ратуру, зная, что:
a) a = 2, d = 7 b) a = 12, d = 6 c) a = 2, d = 7 d) a = 3, d = 5 e) a = 4, d = 6
f) a = 5, d = 7 g) a = – 2, d = 7
h) a = – 13, d = 5 i) a = – 14, d = 2 j) a = – 15, d = 11
Руслан, у которого было а сомов, истратил d сомов. Сколько сомов он теперь должен, если:
a) a = 210, d = 770 b) a = 812,d = 3260 c) a = 34,d = 70
d) a = 53, d = 65 e) a = 214, d = 620
f) a = 95, d = 173 g) a = 452, d = 747 h) a = 813,d = 1005
i) a = 5614, d = 11002 j) a = 2315, d = 6711
Вычислите произведение всех целых чисел от – 50 до 50.
Вычислите разность между наибольшим двузначным натуральным числом и противоположным к нему числом.
Вычислите сумму всех целых чисел от – 500 до 502.
Правильно запишите и вычислите: «Эльдияр взял число 15, прибавил к нему 25, результат умножил на минус 5 и от произведения отнял 15. Сколько у него получилось?»
Правильно запишите и вычислите: «Бегайым взяла число минус 51, прибавила к нему 26, результат умножила на 4 и к произведению при- бавила 145. Сколько у неё получилось?»
У Жениша 3 отары овец.
В первой отаре у него 162 овцы, во второй – на 33 больше, а в тре- тьей – в три раза меньше, чем в первых двух отарах вместе.
В первой отаре у него 142 овцы, во второй – на 34 меньше, а в тре- тьей – в четыре раза меньше, чем в первых двух отарах вместе.
с) В первой отаре у него 133 овцы, во второй – на 77 меньше, а в тре- тьей – на 57 овец меньше, чем во второй отаре.
Сколько овец в третьей отаре?
Запишите в строку три целых числа, таких, что сумма двух соседних чисел всегда положительна, а общая сумма отрицательна.
Запишите в строку пять целых чисел, таких, что сумма двух соседних чисел всегда отрицательна, а общая сумма положительна.
Вставьте недостающие числа в волшебные таблицы.
3 5
53 67
85
11 52 – 7
– 13 5
b)
§ 10.Задачи на составление уравнений
Учитель. Скажи, Ваня, если бы твоя мама положила в подвал полсотни яблок вчера и полсотни сегодня, сколько бы их
было?
Ученик. Девяносто, а может, и меньше.
Учитель. Как это так?
Ученик. А я бы за два дня съел десяток, а может, и больше.
7569738016010.1
Для того чтобы с помощью математики разобраться в проблемах окру- жающего нас мира, нужно суметь перевести изучаемую проблему на язык математики – язык математических символов, уравнений, неравенств…
После этого решается математическая проблема – уравнение, неравенство…
Оказывается, что очень большой круг проблем, касающихся самых раз- личных сторон окружающей нас жизни, можно решить, используя алгебраи- ческие уравнения. Об этом мы будем говорить в течение всего этого учебно- го года.
Предметом особой гордости для нас может быть тот факт, что громадный вклад в развитие алгебры внесли учёные нашего региона.
Так, само слово алгебра произошло от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб ал-Джебр и ал-Мукабала», написанного в 9-м веке. Эта книга, переведённая на латинский язык в 12-м веке, долгое время была ос- новным пособием по математике в европейских странах. Также можно от- метить, что самое популярное обозначение неизвестной х имеет свои корни в трудах среднеазиатских математиков.
Равенство, содержащеенеизвестныечисла, обозначенныебуквами, называют уравнением. Например: 5х = 36 + 4x; 15х – у + 5 = 3 (5 + 2у) – 4z. Значения неизвестных, которые превращают уравнение в число- вое равенство, называются корнями уравнения. Например, число 36 является корнем уравнения 5х = 36 + 4x, потому что 5 • 36 = 36 + 4 • 36.
Процесс нахождения корней уравнения называется решением уравнения.
В результате решения уравнения находят корень уравнения или пока- зывают, что корней нет.

Задача
Является ли число 7 корнем уравнения:
a) 4x = 28
b) 3x – 6 = 14
c) 5x – 7 = 33 – x
d) 99 – 5x = 36 + 4х
e) 2 (а – 7) + 6 = 20 – 2а
f) 15 (у – 6) + 5 = 3 (5 + 2у) – 4у
Решение
Подставим в уравнение вместо x число 7 и получим верное равенство 4 • 7 = 28. Следовательно, число 7 является корнем уравнения 4x = 28.
Заменив x на число 7, получим 3 • 7 – 6 = 14. Но это неверно, потому что выражение в левой части равно 15. Следовательно, число 7 не является корнем уравнения 3x – 6 = 14.
Подставив значение x в уравнение, получим 5 • 7 – 7 = 33 – 7. Это невер- но, так как 28 не равно 26. Итак, число 7 корнем не является.
Выражение 99 – 5 • 7 = 36 + 4 • 7 является справедливым, потому что и слева, и справа получается 64. То есть число 7 является корнем.
Число 7 является корнем, потому что и слева, и справа в выражении 2 (7 – 7) + 6 = 20 – 2 • 7 получается 6.
Подставив значение x в уравнение 15 (у – 6) + 5 = 3 (5 + 2у) – 4у, получим 15 (7 – 6) + 5 = 3 (5 + 2 • 7) – 4 • 7. Левая часть этого выражения равна 15 • 1 + 5 = 20, а правая: 3 (5+14) – 28 = 57 – 28 = 29.
В том, что число 7 корнем не является, можно убедиться немного иначе. Сначала раскроем скобки: 15у – 90 + 5 = 15 + 6у – 4у; потом приведём подоб- ные члены: 15y – 85 = 15 + 2y.
А теперь подставим значение y: 15 • 7 – 85 = 15 + 2 • 7 – и получим выра- жение 105 – 85 = 15 + 14, которое является неверным.
Упражнение 1
Является ли число 8 корнем уравнения:
a) 14x = 78
b) 5x – 16 = 24
c) 15x – 77 = 43 – x
d) 29 – 3x = 36 – 4х
e) 3 (b – 7) + 6 = 33 – 3b
f) 5 (z + 6) + 2z = 2 (5z + 2) – 4
Является ли число 9 корнем уравнения:
a) 7x = 68
b) 5x + 6 = 51
c) 3x – 21 = 33 – 2x
d) 29 – x = 56 – 4х
e) 12 (c – 7) + 6 = 12 + 2c
f) 5 (y – 6) + 39 = 3 (15 – y) + 4у
7569722109310.2
Значение корня не меняется, если в процессе решения
перенести с противоположным знаком одночлен из одной части уравне- ния в другую;
разделить все одночлены уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Задача
Решить уравнения.
4x = 8
b) 3x – 6 = 0
c) 5x + 7 = – 23 d) 5x = 180 – 4х

e) 15x – 2 = 27x + 22
f) 51 – 2x + 4x = 121 – 3x + 10 g) 2 (x – 17) = 20 – 7x
h) 15 (x – 8) – 2х – 15 = 3 (5+2x) + 4x
Решение
Для того чтобы решить уравнение, нужно собрать неизвестные в одну сторону уравнения, числа – в другую. При этом используются приведение подобных членов и перенос одночленов из одной части уравнения в дру- гую. Затем остается разделить уравнение на коэффициент при неизвест- ной и получить решение.

Разделим обе части уравнения 4х = 8 на 4 и получим ответ: х = 2.
Перенесём число 6 в правую часть уравнения: 3х – 6 = 0. При этом, так как в левой части это число имело знак минус, вправо оно перейдёт с плю- сом. В итоге получим уравнение 3х = 6. Разделив полученное уравнение на 3, получим х = 2.
Собираем числа в правой части уравнения 5х + 7 = – 23. При этом число 7 перейдёт со знаком минус: 5х = – 23 – 7. Разделив полученное уравнение 5х = – 30 на 5, получим решение х = – 6.
В уравнении 5х = 180 – 4х перенесём одночлен 4х в левую часть и полу- чим уравнение 5х + 4х = 180. Разделив полученное уравнение 9х = 180 на 9, получим х = 20.
Соберём неизвестные уравнения 15x – 2 = 27x + 22 в левой части, чис- ла – в правой: 15x – 27x = 22 + 2 и получим уравнение – 12x = 24.
Разделив его на – 12, получим решение: x = – 2.
Соберём неизвестные уравнения 51 – 2x + 4x = 121 – 3x + 10 в левой части, числа – в правой: – 2x + 4x + 3x = 121 + 10 – 51. Тогда x(– 2 + 4 + 3) = 80, и отсюда: 5x = 80. Разделив на 5, получим, что x = 16.
В уравнении 2 (x – 17) = 20 – 7x раскроем скобки: 2x – 34 = 20 – 7x и пере- несём 34 вправо со знаком плюс, а 7x влево со знаком плюс: 2x + 7x =20 + 34. Отсюда 9x = 54, и, следовательно, x = 6.
В уравнении 15 (x – 8) – 2x – 15 = 3 (5 + 2x) + 4x раскроем скобки:
15x – 120 – 2x – 15 = 15 + 6x + 4x, затем приведём подобные члены: 13x – 135 = 15 + 10x. Перенесём 135 вправо со знаком плюс, а 10x влево со знаком минус и получим 13x – 10x = 15 + 135. Отсюда 3x = 150. Разделив полученное уравнение на 3, получим решение: x = 50.
Упражнение 2
Решить уравнения. a) 14x = – 42
b) 2x – 16 = 0
c) 8x – 17 = 23
d) 5x = 210 + 12х
Решить уравнения. a) 14 + x = 2
b) 2х + x – 16 = 2
c) 8 – 17х = 25
d) 5 – x = 20 + 2х

e) 5x + 21 = 3x + 25
f) 17 – 3x + 7x = 31 – 2x + 10 g) 2x – 12 = 2 (10 – 7x)
h) 5x – 12 – 2 (х – 1) = 3 (5 – 2x) + 4x
e) x + 21 = 3 – 5x
f) 17х – 3 + x = 12 – 2x + 5 g) 2 (x – 12) = 210 – 7x
h) (5x – 1) 2 – 2х – 3 = 35 – 3 (2x + 4)
7569736617810.3
Умение решать уравнения, подобные уравнениям в задаче 2 и упражне- нии 2, является очень важным, так как с помощью таких уравнений можно описать многие проблемы из окружающей нас жизни. В связи с этим по- является ещё более важная задача: научиться переводить такие пробле- мы на язык уравнений. А для того чтобы научиться, нужно тренироваться. Во-первых, посмотреть и понять, как это делается, изучив предложенные решения задач. Во-вторых, решить самим упражнения. И в-третьих, попро- бовать самим сочинить такие задачи.
Решение задачи начинается с внимательного прочтения. Нужно понять, что дано и что требуется найти. После этого составить уравнение, обозна- чив буквой неизвестную величину. Как правило, при введении обозначе- ний полезно опираться на поставленный вопрос. Решив полученное урав- нение, нужно ясно себе представить, что означает найденный корень, и проверить его правильность, используя текст исходной задачи.

Задача
Анара купила картошки на 32 сома, морковки – на 15 сомов и лука – на 23 сома. Сколько денег было у Анары, если после этих покупок у неё осталось 130 сомов?
Решение
Обозначим через х искомое число – исходное количество денег – и полу- чим уравнение: х – 32 – 15 – 23 = 130. Приведём подобные члены: х – 70 = 130, перенесём число 70 в правую часть со знаком плюс: х = 130 + 70 и получим ответ: х = 200.
Итак, мы выяснили, что у Анары было 200 сомов. Этот ответ согласуется с условиями задачи: после того, как она купила картошки на 32 сома, мор- ковки на 15 сомов и лука на 23 сома, у неё осталось 200 – 32 – 15 – 23 = 130 сомов.
Упражнение 3
Замира купила калькулятор за 250 сомов, общую тетрадь за 32 сома и 2 ручки по цене 15 сомов. Сколько денег было у Замиры, если после этих покупок у неё осталось 688 сомов?
Галя купила аспирин за 65 сомов и анальгин за 215 сомов. Сколько денег было у Гали, если после этих покупок у неё осталось 220 сомов?
9009736617810.4
Задача
Эркингуль купила 3 кг картошки по цене 12 сомов и 2 кг морковки. По какой цене она купила морковь, если у неё было 100 сомов, а после этих покупок
у неё осталось 32 сома?
Решение
В этом случае неизвестной величиной является цена моркови. Давайте обозначим её буквой р. Тогда из условий задачи получаем 100 – 3 • 12 – 2р = 32.
Приведём подобные члены: 64 – 2р = 32, перенесём число 64 в правую часть со знаком минус: – 2р = 32 – 64,
вычтем: – 2р = – 32 и, разделив на – 2, получим ответ: р = 16.
Мы определили, что Эркингуль купила морковь по цене 16 сом/кг. Этот ответ можно проверить, подставив в уравнение 16 вместо р.
Действительно, 100 – 3 • 12 – 2 • 16 = 32 сома.
Упражнение 4
Сабира купила 5 кг муки по цене 32 сома, 2 литра растительного масла по цене 108 сомов и несколько кг печенья по цене 55 сом/кг. Сколько кг печенья она купила, если у неё было 1000 сомов, а после этих по- купок у неё осталось 459 сомов?
Аген продала 5 кг малины по цене 82 сома и 4 литра молока. По какой цене она продала молоко, если у неё было 700 сомов, а после этих продаж у неё стало 1190 сомов?
Составьте и решите задачи, используя данные о покупках, которые совершили Вы и члены Вашей семьи.
9009732109310.5
Задача
Асан и Улан имеют 1532 сома. Сколько сомов имеет Асан, если Улан име- ет на 188 сомов меньше?
Решение
Если через x обозначить количество денег Асана, то x – 188 – это коли- чество денег Улана. Эти величины связывает уравнение x + (x – 188) = 1532.
Соберём вместе иксы и числа – приведём подобные члены: 2x = 1720. Разделив обе части уравнения на 2, получим, что Асан имеет 860 сомов.
Упражнение 5
Аня и Маня вместе собрали 215 вёдер картошки, причём Маня собра- ла на 17 вёдер меньше. Сколько вёдер картошки собрала Маня?
Жантай и Ильдар в течение первой четверти получили 153 замечания от учителей. Сколько замечаний получил Жантай, если Ильдар полу- чил на 19 замечаний больше?
7569738016010.6
Задача
Ирина Александровна, Лина Владимировна и Елена Эриковна име- ют 7 ручек. При этом, у Елены Эриковны на две ручки меньше, чем у Лины Владимировны, и на одну ручку больше, чем у Ирины Александровны. Сколько ручек у каждой?
Решение
В данной задаче мы легко найдём все ответы, если определим количе- ство ручек у Елены Эриковны.
Поэтому, давайте обозначим через x количество ручек у Елены Эриковны. Тогда x + 2 – количество ручек у Лины Владимировны, x – 1 – количество ручек у Ирины Александровны. Воспользовавшись этими обозначениями, из текста задачи имеем уравнение x + (x + 2) + (x – 1) = 7. Раскроем скобки и при- ведём подобные члены: 3x + 1 = 7. Поэтому 3x = 6, и затем x = 2. Итак, мы уз- нали, что у Елены Эриковны 2 ручки. Следовательно, у Лины Владимировны 4 ручки, а у Ирины Александровны 1 ручка.
Упражнение 6
Мурат, Таалай и Ислам имеют 8215 сомов, причём Мурат имеет на 2317 сомов больше, чем Таалай, а Таалай на 312 сомов больше, чем Ислам. Сколько денег у Таалая?
На вопрос о том, сколько у них альчиков, Алмаз ответил, что у него на 35 больше, чем у Улана, и на 24 меньше, чем у Улара, а всего у них на троих 100 альчиков. Сколько альчиков у Алмаза?
9009736617810.7
Задача
Карлсон, посетив Малыша в третий раз, съел на три конфеты больше, чем в первый раз, а во второй раз – в два раза больше, чем в первый раз. Сколько кон- фет съел Карлсон во второй раз, если за три раза
он съел 19 конфет?
Решение
В условии задачи количество конфет, съеден- ных во второй и в третий разы, определяется коли- чеством конфет, съеденных в первый раз. Поэтому че- рез x удобно обозначить количество конфет, съеденных
в первый раз. Тогда 2x – это количество конфет, съеденных во второй раз, а x + 3 – количество конфет, съеденных в третий раз.
В результате имеем уравнение: x + 2x + (x + 3) = 19. Раскрыв скобки и при- ведя подобные члены, получим 4x = 16. Отсюда x = 4.
Следовательно, в первый раз Карлсон съел 4 конфеты; во второй раз: 2 • 4 = 8 конфет; в третий: 4 + 3 = 7 конфет.
Упражнение 7
Нурдин, Эрмек и Эркин имеют 8212 сомов, причём Нурдин имеет на 2017 сомов больше, чем Эрмек, а Эркин – в два раза меньше денег, чем Эрмек. Сколько денег у Нурдина?
Готовясь к ответственным соревнованиям, Татьяна Колпакова5 за день провела 3 тренировки и совершила 224 прыжка, причём на основной тренировке – в 4 раза больше, чем утром, а вечером – в 2 раза мень- ше, чем на основной тренировке. Сколько прыжков было совершено вечером?
9009738016010.8
Задача
На нижней полке книг в два раза больше, чем на верхней. Если с ниж- ней полки переставить на верхнюю 7 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на каждой из полок?

Татьяна Колпакова – выдающаяся кыргызстанская спортсменка, чемпионка Олим- пийских игр 1980 года по прыжкам в длину.
Решение
Обозначив через x количество книг на верхней полке, получим, что книг на нижней полке 2x. После перестановки на верхней полке будет x + 7, на ниж- ней полке 2x – 7 книг.
Так как книг станет поровну, получаем уравнение: x + 7 = 2x – 7. Перенесём число 7 вправо со знаком минус, одночлен 2x – влево со знаком минус и по- лучим: x – 2x = – 7 – 7. Тогда – x = – 14, и, разделив на – 1, получим x = 14. Итак, на верхней полке 14 книг, а на нижней полке 2 • 14 = 28 книг.
Проверяем: если с нижней полки переставить 7 книг на верхнюю, то на нижней останется 28 – 7 = 21 книга, а на верхней также будет 14 + 7 = 21 книга.
Упражнение 8
В корзине в 4 раза меньше яблок, чем в ящике. Если из ящика пере- ложить в корзину 15 яблок, то яблок в корзине и ящике будет поровну. Сколько яблок в ящике?
На первый хлебозавод завезли в три раза больше пшеницы, чем на второй. Если бы 25 тонн пшеницы вместо первого хлебозавода отвезли на второй, то пшеницы было бы завезено поровну. Сколько пшеницы завезли на первый хлебозавод?
7569738016010.9
Задача
Летели галки, сели на палки:
по две сядут – одна палка лишняя, по одной сядут – одна галка лишняя.
Сколько было палок, сколько – галок?
Решение
Обозначим через х количество палок. Тогда из ус- ловия «по две сядут – одна палка лишняя» следу- ет, что галок было 2 (х – 1).
Из условия «по одной сядут – одна гал- ка лишняя» следует, что галок х + 1. Отсюда: 2 (х – 1) = х + 1. Раскрываем скобки: 2х – 2 = х + 1, приводим подобные члены: х = 3. Итак, палок было
3, а галок, соответственно, 4.
Упражнение 9
Летели стрекозы, сели на берёзы: по три сядут – две берёзы лишние,
по две сядут – две стрекозы лишние. Сколько было берёз, сколько стрекоз?
Сергей принёс дочкам тетради. Сначала они решили взять по три, но при этом три тетради оказались лишними. После они решили взять по пять тетрадей, но тогда одной не хватало. Сколько дочек у Сергея?
9009738016010.10
Задача
В корзине было в 3 раза меньше винограда, чем в ящике. Если из корзины переложить 1 кг винограда в ящик, то винограда в ящике будет в четыре раза больше, чем в корзине. Сколько винограда в ящике?
Решение
Обозначив через х количество кг винограда в корзине, получим, что ви- нограда в ящике 3хкг. После перекладывания в корзине будет х – 1, в ящике 3х + 1 кг винограда.
Так как винограда в ящике станет в четыре раза больше, получаем урав- нение: 4 (х – 1) = 3x + 1. Откроем скобки: 4х – 4 = 3х + 1, перенесём число 4 вправо со знаком плюс, одночлен 3х – влево со знаком минус. Получим 4х – 3х = 1 + 4. Тогда х = 5.
Итак, в корзине 5 кг винограда, а в ящике 3 • 5 = 15 кг.
Проверяем: если из корзины переложить 1 кг винограда в ящик, то в кор- зине останется 5 – 1 = 4 кг, а в ящике будет 15 + 1 = 16 кг – в 4 раза больше.
Упражнение 10
В маленькой бочке было в 6 раза меньше бензина, чем в большой. После того как из большой бочки перелили 4 литра бензина в малень- кую, в большой бочке осталось в 4 раза больше, чем в маленькой. Сколько бензина было в большой бочке вначале?
На первый хлебозавод завезли в два раза больше пшеницы, чем на второй. Если бы 25 тонн пшеницы вместо первого хлебозавода от- везли на второй, то пшеницы на втором хлебозаводе было бы в три раза больше, чем на первом. Сколько пшеницы завезли на первый хлебозавод?
Составьте и решите задачи на перестановки, перекладывания… по типу задач пунктов 8–10.
7569732110510.11
Задача
Гульмира раздала конфеты поровну пятерым детям. Когда трое съели по 5 конфет, то увидели, что у них осталось ровно столько, сколько дано двум остальным. Сколько конфет раздала Гульмира?
Решение
Если х – количество конфет, полученных одним ребенком, то 3 (х – 5) – это количество конфет у троих, после того как они съели по 5 конфет. Тогда 3 (х – 5) = 2х. Отсюда: 3х – 15 = 2х, и затем: х = 15. Следовательно, было ро- здано 5 • 15 = 75 конфет.
Упражнение 11
Пятеро мальчиков играют в альчики. В начале игры у всех было оди- наковое количество альчиков. После того как 3 мальчика проигра- ли по два альчика, у них осталось столько альчиков, сколько стало у остальных двоих. Сколько альчиков было у каждого мальчика в на- чале игры?
Семеро рабочих должны изготовить одинаковое количество деталей. Пятеро начали работать чуть раньше, и после того как они изготовили по 6 деталей, им вместе осталось изготовить столько деталей, сколь- ко должны изготовить вместе двое оставшихся. Сколько всего дета- лей должно быть изготовлено?
10.12

Использование уравнений помогает справиться с большим кругом самых разнообразных задач. Следующая задача показывает, как уравнение ис- пользуется для определения количества элементов.
Задача
В классе из 28 учащихся 20 девочек, очкариков – 13, а число мальчи- ков-очкариков в два раза меньше числа девочек, не носящих очки. Сколько мальчиков не носят очков?
Решение
Составим таблицу, обозначив через х количество мальчиков, носящих очки, D – множество девочек, G – множество учащихся, носящих очки. Тогда D – множество мальчиков, G – множество тех, кто не носит очки.
G
G D 2х 20

D х 13 28
На первом шаге можно заполнить 4-ю строку и четвёртый столбец.
G
G D 2х 20

D х 8
13 15 28
Далее, ячейку на пересечении 2-й строки и 2-го столбца можно заполнить 2-мя способами: по строке и по столбцу. По строке: 20 – 2х; по столбцу: 13 – х.
G
G D 20 – 2x и 13 – x 2х 20

D х 8
13 15 28
Следовательно, имеет место уравнение: 20 – 2х = 13 – х. Его решение:
х = 7. Тогда
G
G D 6 2x = 14 20

D x = 7 8
13 15 28
Закончим заполнять таблицу и получим ответ на поставленный вопрос.
G
G D 6 2х = 14 20

D х = 7 1 8
13 15 28
Видимо, это какой-то «математический» класс – только один мальчик не носит очки.
Упражнение 12
Опрос, проведённый среди 40 мальчиков, показал, что 30-ти из них нравятся девочки с косичками, 24-м нравятся отличницы. Скольким мальчикам безразличны оба признака, если их число в 3 раза меньше тех, кому нравятся отличницы с косичками?
Жили у бабуси
Сорок восемь гусей, Сорок белых,
4652411433587Семь весёлых – Гуси у бабуси.
Сколько весёлых белых гусей было у ба- буси, если их в два раза меньше, чем тех гусей, которые не имеют ни одного из этих признаков?
9009736617810.13
Задача
Элеонора утверждает, что в трёх шкафах имеются 158 книг. При этом в первом – на 8 книг меньше, чем во втором, и на 5 книг больше, чем в треть- ем? Сколько книг во втором шкафу?
Решение
Обозначим через х количество книг в первом шкафу.
Тогда х + 8 – это количество книг во втором шкафу, и (х + 8) – 5 – количе- ство книг в третьем шкафу.
В результате имеем уравнение: х + (х + 8) + (х + 8) – 5 = 158. Раскрыв скоб- ки и приведя подобные члены, получим: 3х + 11 = 158. Перенесём 11 в правую часть и получим: 3х = 147. Далее нужно разделить уравнение на 3.
При делении числа 147 на 3 получается не целое, а дробное число. (О дробных числах будем говорить в последующих параграфах.) Но коли- чество книг должно быть целым числом. Следовательно, задача не имеет решения. Видимо, Элеонора где-то ошиблась.
Упражнение 13
Эсен утверждает, что в трёх ящиках имеются 82 банки. При этом в пер- вом ящике банок в 2 раза меньше, чем во втором, и на 5 банок больше, чем в третьем. Сколько банок в третьем ящике?
Альбина утверждает, что в двух букетах имеется 24 цветка. При этом в первом букете на 5 цветков больше. Сколько цветков в каждом букете?
9009728014710.14
Задача
Определите двузначное число, зная, что, убрав цифру 6, стоящую на вто- ром месте, получим ту же цифру, какую можно получить, разделив это число на двенадцать.
Решение
Если обозначить первую цифру через x, то искомое число можно записать как в виде х • 10 + 6, так и в виде 12х.
Приведём в полученном уравнении: х • 10 + 6 = 12х – подобные члены: 6 = 2х – и получим х = 3. Следовательно, искомое число – 36.
Результат можно проверить по условиям задачи: убираем в числе 36 циф- ру 6 – получаем 3; делим 36 на 12 – получаем 3.
Упражнение 14
Определите трёхзначное число, зная, что, убрав цифры 1 и 5, стоящие на первом и третьем местах, получим тот же результат, какой получит- ся в результате деления этого числа на сорок пять.
Определите двузначное число, зная, что, убрав цифру 4, стоящую на первом месте, получим тот же результат, какой получится в резуль- тате деления этого числа на девять.
7569737952510.15
Задача
Если от трёхзначного числа х отнять число, полученное из х путём пере- становки 1-й и 3-й цифр, то получится 792. Найдите х, зная, что сумма цифр, использованных при его записи, равна 19.
Решение

Обозначим искомое число abc.
Тогда х = 100a + 10b + c, и из первого условия: (100a + 10b + c) – (100с + 1 0b + a) = 792.
Сгруппировав, получим (100a – 100с) + (10b – 10b) + (с – a) = 792. Тогда 100 (a – c) + (с – a) = 792.
Поменяв знаки во второй скобке, получим: 100 (a – c) – (а – с) = 792. Тогда 99 (a – c) = 792, и отсюда a – c = 8.
Так как a и c являются цифрами, они могут быть равны только 0, 1, 2… 9.
Поэтому уравнение a – c = 8 имеет только два решения: (9; 1), (8; 0). Теперь воспользуемся условием a + b + c = 19 и, подставив вместо a девять и вместо c – один, получим ответ: х = 991.
Если вместо a подставить восемь и вместо c – ноль, получим, что b = 11.
А так как b является цифрой, такой ответ нам не годится.
Упражнение 15
Если от двузначного числа x отнять число, полученное из х путём пе- рестановки его цифр, то получится 81. Найдите х.
Если от трёхзначного числа х отнять число, полученное из х путём перестановки 1-й и 3-й цифр, то получится 736. Найдите х, зная, что сумма цифр, использованных при его записи, равна 22.
Если от двузначного числа x отнять число, полученное из x путём перестановки его цифр, то получится 45. Найдите х, зная, что сумма цифр, использованных при его записи, равна 9.
Если от трёхзначного числа х отнять число, полученное из х путём перестановки 1-й и 3-й цифр, то получится 693. Найдите х, зная, что сумма цифр, использованных при его записи, равна 18.

Решить уравнения.
a) 2x – 8 = 0f) 5 – 2x + 4x = 21k) 15 (x – 2) = 7 (x – 2) + 16 b) 3x – 8 = 4g) 2 (x – 8) = 20l) 3 (5 + 2x) + 4x = 1455
c) 3x + 8 = xh) 3 (x – 8) = 2х – 4m) 3x – 8 = 5x
d) 5x = 180 – 5х i) 3x – 2 = 14 – 5xn) 5 (x + 2) = 9 (x – 2) + 16 e) 5x – 2 = 3x+2 j) 8 (x + 2) = 5 (x + 2) + 15
В двух кассах стадиона продали 592 билета. Сколько билетов было продано в каждой кассе, если в первой продали на 86 билетов больше?
Беназир и Маша в 1-м полугодии получили 86 «пятёрок». Сколько
«пятёрок» получила Маша, если их у неё меньше на 8?
Марина и Стёпа за неделю провели у компьютера 45 часов. Сколько часов был у компьютера Стёпа, если его время в два раза больше?
Жили у Маруси Сто четыре гуся. Сколько серых, Если белых
Больше на четыре?
В дружине Манаса сорок витязей. Сколько среди них левшей, если их число в три раза меньше, чем других?
После того как Динура купила салфеток на 245 сомов и полотенец на 567 сомов, у неё осталось 392 сома. Сколько сомов было у неё до этих покупок?
После того как Тураш купил 2 флешки по 350 сомов и 3 диска, у него осталось 240 сомов. Сколько стоил один диск, если до этих покупок у него было 985 сомов?
После того как Арстан купил 2 футболки по 550 сомов и несколько пар носков по цене 35 сомов, у него осталось 470 сомов. Сколько пар носков купил Арстан, если до этих покупок у него было 1675 сомов?
Мама хотела дать детям по 5 конфет, но ей не хватило 2-х конфет. Поэтому она раздала детям по 4 конфеты, и 3 конфеты остались лиш- ними. Сколько было детей?6
У Кати, Тони и Асель $1274. При этом у Тони на $70 больше, чем у Кати, а у Асель – на $84 больше, чем у Тони. Сколько долларов у Асель?
Задача из «Всемирной арифметики» И. Ньютона.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти. При этом на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на свитер?
Алмамбет купил себе игрушечный пистолет, Расул – машину, Канай – книгу. Оказалось, что Расул истратил впятеро больше, чем Алмамбет, а Канай – впятеро больше, чем Расул. Все вместе они израсходовали 279 сомов. Сколько стоила каждая покупка?
Айжан купила себе носки, две футболки и платье, заплатив 750 сомов. Сколько стоила каждая покупка, если футболка стоит вчетверо доро- же носков, а платье – вчетверо дороже футболки?
Одного человека спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое бога- че отца, а у всех нас ровно миллион рублей. Вот и узнайте, сколько у меня денег»7.
На доске написано некоторое число. Асель увеличила это число на 77, а Чолпон уменьшила на 3. Результат Асель оказался в 5 раз больше, чем у Чолпон. Какое число было написано на доске?
На доске написано некоторое число. Акылай увеличила это число в 7 раз, а Нургуль увеличила на 3. Результат Акылай оказался в 4 раза больше, чем у Нургуль. Какое число было написано на доске?
Марат утверждает, что первый арбуз в два раза тяжелее, чем второй, и на 3 кг легче, чем третий. Найдите вес каждого арбуза, зная, что вместе они весят 33 кг.
Максим утверждает, что молока в первой фляге в два раза мень- ше, чем во второй, а в третьей на 25 литров меньше, чем во второй. Сколько литров в третьей фляге, если известно, что в трёх флягах 35 литров молока?
Побывав в саду, Тахир обнаружил, что яблонь там в 6 раз больше, чем груш. А Зухра обнаружила, что яблонь там на 30 больше, чем груш. Сколько яблонь в этом саду?
«Три девицы под окном пряли поздно вечерком». Вторая девица спря- ла пряжи в три раза больше, чем первая, а третья на 800 г меньше, чем вторая. Все вместе они спряли 4800 г пряжи. Сколько пряжи спря- ла в этот вечер каждая девица?
В дружине Манаса сорок витязей. Тринадцать из них носят бороду, десять бреют голову. Сколько среди них не носят бороду и не бреют голову, если число тех, кто не носит бороду и бреет голову, в два раза меньше тех, кто носит бороду и не бреет голову?

То же.
Если от двузначного числа х отнять число, полученное из х путём пе- рестановки его цифр, то получится 99. Найдите х.
Если от трёхзначного числа х отнять число, полученное из х путём перестановки 2-й и 3-й цифр, то получится 36. Найдите х, зная, что сумма цифр, использованных при его записи, равна 22.
§ 11.Элементы геометрии. Площадь и объём прямоугольных геометрических фигур
Этот параграф, как следует из его названия, тесно связан с параграфом 5.
9009738016011.1
Отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольника, называется диагональю прямоугольника. Он делит прямоугольник на два одинаковых треугольника. Один из углов этих треугольников прямой, поэ- тому они называются прямоугольными.
Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, назы- ваются катетами. Оставшаяся сторона называется гипотенузой.
44205271890194

Рисунок 1.
Так как прямоугольник делится диагональю на два равных прямоуголь- ных треугольника, площадь прямоугольного треугольника равна половине площади соответствующего прямоугольника: S = ah : 2.
Эту формулу можно произносить следующим образом: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

Задача
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 3 см, гипотенуза – больше на 2 см, а периметр равен 12 см. Определите его площадь.
Решение
Гипотенуза этого треугольника равна 3 см + 2 см = 5 см. Так как периметр есть сумма длин всех сторон, второй катет равен 12 см – 3 см – 5 см = 4 см.
Тогда площадь равна (3 • 4) : 2 = 6 квадратных сантиметров.
Упражнение 1
Катет прямоугольного треугольника равен 5 см, гипотенуза – 13 см, а периметр больше катета в шесть раз. Определите его площадь.
Катет треугольника равен 6 м, гипотенуза – 10 м, а площадь – 24 ква- дратных метра. Определите его периметр.
Катет прямоугольного треугольника равен 20 см, гипотенуза – 25 см, а периметр больше катета в три раза. Определите его площадь.
Катет треугольника равен 10 м, гипотенуза – 26 м, а площадь – 120 ква- дратных метров. Определите его периметр.
7569738016011.2
Задача
В прямоугольнике ABCD, высота которого равна 6 м, основание – 16 м, вы- делили четырёхугольник EBFD со сторонами DE и DF, равными 2 м и 4 м со- ответственно. Определите площадь EBFD.
Решение
Четырехугольник EBFD можно получить, удалив прямоугольные треуголь- ники ABE и FBC из прямоугольника ABCD. Поэтому искомая площадь есть разность соответствующих площадей.
Рисунок 2.
Площадь прямоугольника ABCD: 6 м • 16 м = 96 кв. м; площадь прямоуголь- ного треугольника ABE, так как длина AE = 6 м – 2 м = 4 м, равна (16 • 4) : 2 = 32 кв. метра; площадь прямоугольного треугольника FBC, так как длина FC = 16 м – 4 м = 12 м, равна (6 • 12) : 2 = 36 кв. м.
Следовательно, площадь EBFD = 96 кв. м. – 32 кв. м. – 36 кв. м. = 28 кв. м.
Упражнение 2
В квадрате ABCD, сторона которого равна 8 м, выделили треугольник АСE. Точка Е лежит на стороне AD, длина АE равна 3 м. Определите площадь АСE.
В прямоугольнике ABCD, высота которого равна 4 м, основание – 14 м, выделили четырёхугольник EBFD так, что сторона DE является поло- виной стороны АD, а сторона DF – половиной DC. Определите пло- щадь EBFD.
9009728014811.3
Из того, что прямоугольник делится диагональю на два равных прямоу- гольных треугольника, получаем не только формулу для вычисления площа- ди, но и то, что сумма углов прямоугольного треугольника равна половине суммы углов прямоугольника: 360˚ : 2 = 180˚.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 90˚. Следовательно, сумма двух оставшихся углов равна девяноста градусам: 180˚ – 90˚ = 90˚.
Задача
Один из углов прямоугольного треугольника равен 9˚. Чему равны дру- гие углы?
Один из углов прямоугольного треугольника равен 90˚. Чему равны дру- гие углы?
Квадрат разделили диагональю. Чему равны углы полученных треугольников?
Решение
Так как треугольник прямоугольный, то один из углов равен 90˚. Оставшийся угол равен: 180˚ – 90˚ – 9˚ = 81˚.
Определить другие углы невозможно – не хватает информации.
Получится два одинаковых прямоугольных треугольника с равными ка- тетами. (Нарисуйте.) При этом диагональ разделит соответствующие углы прямоугольника пополам. Следовательно, углы треугольника равны 90˚, 45˚, 45˚.
Упражнение 3
Один из углов прямоугольного треугольника равен 27˚. Чему равны другие углы?
Один из углов прямоугольного треугольника равен 102˚. Чему равны другие углы?
Один из углов прямоугольного треугольника равен 73˚. Чему равны другие углы?
Один из углов прямоугольного треугольника равен 22˚. Чему равны другие углы?
7569738014811.4
Задача
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого на 10˚. Чему равны углы этого треугольника?
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого в пять раз. Чему равны углы этого треугольника?
Решение
Так как треугольник прямоугольный, то его больший угол равен 90˚. Сумма двух оставшихся тоже 90˚. Имеют место 2 варианта:
Если в условиях задачи речь идёт о прямом угле – угле величиной 90˚, то угол, который меньше его на 9˚, равен: 90˚ – 10˚ = 80˚, а третий угол равен 10˚.
Если в условиях задачи речь идёт не о прямом угле, то, обозначив один из оставшихся углов через х, получим, что другой оставшийся угол равен х – 10˚.
Решив полученное уравнение: х + х – 10˚ = 90˚, получим, что х = 50˚. Итак, получилось, что углы треугольника равны 90˚, 50˚ и 50˚ – 10˚ = 40˚.
Как было отмечено в решении пункта 1, имеют место 2 варианта:
Если в условиях задачи речь идёт о прямом угле – угле величиной 90˚, то угол, который меньше его в пять раз, равен: 90˚ : 5 = 18˚, а третий угол ра- вен 90˚ – 18˚ = 72˚.
Если в условиях задачи речь не о прямом угле, то, обозначив один из оставшихся углов через х, получим, что другой оставшийся угол равен 5х.
Решив полученное уравнение: х + 5х = 90˚, получим, что х = 15˚.
Итак, получилось, что углы треугольника равны 90˚, 15˚ и 15˚ • 5 = 75˚.
Упражнение 4
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого на 16˚. Чему равны углы этого треугольника?
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого в два раза. Чему равны углы этого треугольника?
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого на 62˚. Чему равны углы этого треугольника?
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого в девять раз. Чему равны углы этого треугольника?
9009728016011.5
Задача
Одна сторона прямоугольника меньше другой в три раза, а разность длин остальных сторон – 16 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?
Решение
Обозначим длину первой стороны через х. Тогда длина второй стороны равна 3х. Можно задуматься над тем, как обозначить остальные стороны, но, к счастью, этого делать не нужно. Как известно, противоположные сто- роны прямоугольника равны. Поэтому второе условие задачи позволяет на- писать уравнение: 3x – x = 16. Отсюда получаем, что 2x = 16, и затем: х = 8. Итак, мы определили, что ширина прямоугольника равна 8 см, длина – 24 см. Следовательно, его площадь: 8 • 24 = 192 см2, периметр: 8 + 24 + 8 + 24 = 64 см.
Упражнение 5
Одна сторона прямоугольника больше другой в шесть раз, а раз- ность длин остальных сторон – 60 м. Чему равен периметр этого прямоугольника?
Одна сторона прямоугольника больше другой в четыре раза, а раз- ность длин остальных сторон – 21 мм. Чему равна площадь этого прямоугольника?
7569736617811.6
Задача
Периметр четырёхугольника равен 65 см. Первая и вторая стороны рав- ны, третья больше второй в два раза, а четвёртая меньше третьей на 7 см. Определите длины сторон этого четырёхугольника.
Решение
Обозначим длину первой стороны через х. Тогда длина второй стороны тоже х, длина третьей стороны 2х, четвёртой – 2х – 7. Так как периметр – это сумма длин сторон, получаем уравнение: х + х + 2х + 2х – 7 = 65. Приведём подобные члены: 6х – 7 = 65; перенесём 7 в правую часть со знаком плюс и получим уравнение: 6х = 72. Разделив уравнение на 6, получим, что х = 12.
Итак, мы узнали, что длина первой стороны равна 12 см. Тогда и длина второй стороны – 12 см, длина третьей стороны: 2 • 12 = 24 см, четвёртой сто- роны: 24 – 7 = 17 см, а сумма всех длин равна 12 + 12 + 24 + 17 = 65 см.
Упражнение 6
Периметр прямоугольника равен 78 м. Основание короче высоты на 7 м. Определите длину основания.
Периметр треугольника равен 53 см. Первая и вторая стороны рав- ны, третья больше второй на 8 см. Определите длину третьей стороны этого треугольника.
7569738014811.7
Задача
Периметр треугольника равен 17 см. Первая сторона короче второй на 3 см, третья – в два раза длиннее второй. Определите длину третьей сто- роны этого треугольника.
Решение
Обозначим длину первой стороны через x. Тогда длина второй стороны равна x + 3, длина третьей: 2 (x + 3). Тогда x + x + 3 + 2 (x + 3) = 17. Откроем скобки и приведём подобные члены: 4x + 9 = 17; перенесём 9 в правую часть со знаком минус и получим уравнение: 4x = 8. Разделив уравнение на 4, по- лучим, что x = 2.
Итак, мы получили, что длина первой стороны равна 2 см, длина второй стороны: 2 + 3 = 5 см, длина третьей стороны: 2 • 5 = 10 см.
Мы правильно решили уравнение: x + x + 3 + 2 (x + 3) = 17. Но дело в том, что задача неправильная. Не бывает треугольников с такими сторонами!
Для всех многоугольников справедливо условие: длина большей сто- роны многоугольника всегда меньше суммы длин остальных сторон.

Практическое задание
Изготовьте палочки длиной 2 см, 5 см, 7 см и 10 см. Постарайтесь соста- вить треугольник из палочек длиной:
2 см, 5 см и 10 смb) 2 см, 7 см и 10 смc) 5 см, 7 см и 10 см
Упражнение 7
Периметр четырёхугольника равен 12 м. Первая сторона меньше вто- рой на 5 м, третья больше второй в два раза, а четвёртая меньше тре- тьей на 7 м. Определите длины сторон этого четырёхугольника.
Периметр четырёхугольника равен 25 м. Первая сторона равна вто- рой, третья больше второй в два раза, а четвёртая больше третьей на 7 м. Определите длины сторон этого четырёхугольника.
9009748016011.8
Поверхность куба состоит из 6 граней, каждая из которых есть квадрат. Сторона такого квадрата называется ребром куба. Следовательно, если ребро куба равно а, то площадь каждой грани куба а • а. Сумма площадей всех граней куба даёт площадь поверхности куба. Если ребро куба равно а, то площадь поверхности куба равна 6 • а • а.

Задача
Определим площадь поверхности куба с ребром, равным 3 м.
Решение
Каждая грань этого куба имеет площадь 3 • 3 = 9 квадратных метров.
Отсюда получаем ответ: площадь поверхности куба равна 6 • 9 = 54 ква- дратных метров.
Писать полностью каждый раз обозначение «квадратный метр» было бы слишком долго. Поэтому для этих случаев есть договорённости.
Математики называют результат умножения числового или буквенного выражения на себя квадратом этого выражения и обозначают:
а • а = а2;b • b = b2;5 • 5 = 52;7t • 7t = (7t)2 …
Соответственно, запись м2 обозначает квадратный метр, км2 обознача- ет квадратный километр, мм2 обозначает квадратный миллиметр…
Формула для площади поверхности куба с ребром а: S = 6а2.

Упражнение 8
Ребро первого куба равно 10 м, второго – в два раза больше. Прав ли Незнайка, который утверждает, что площадь поверхности второго куба в два раза больше?
Ребро первого куба равно 2 см, второго – в три раза больше. Прав ли Незнайка, который утверждает, что площадь поверхности второго куба в три раза больше?
7569738016011.9
Объём куба есть произведение площади основания на высоту:
а • а • а = а2 • а.
По аналогии с квадратом произведение трёх одинаковых сомножителей называется кубом:
а • а • а = а3;b • b • b = b3; 5 • 5 • 5 = 53;7t • 7t • 7t = (7t)3… Соответственно, запись м3 обозначает кубический метр, км3 обознача-
ет кубический километр, мм3 обозначает кубический миллиметр… Формула для расчета объёма куба с ребром а: V = а3.

Задача
Вася обнаружил, что площадь поверхности и объём куба с ребром, рав- ным 6 м, выражаются одним и тем же числом. На основании этого он делает заключение, что такое равенство имеет место для всех кубов. Правильно ли это?
Вычислив объём куба с ребром 3 м, а также куба, ребро которого в два раза длиннее, Акылай сделала вывод, что объём куба с удвоенным ребром всегда больше объёма исходного куба в 8 раз. Права ли она?
Решение
Площадь поверхности данного куба равна S = 6а2 = 6 • 62 = 6 • 6 • 6 = 2 16 м2.
Объём также равен 216: V = а3 = 63 = 6 • 6 • 6 = 216 м3. Вася проделал вы- числения правильно. Но вывод сделал неправильный. Несложно догадаться, что площадь поверхности и объём куба выражаются одним и тем же числом только в одном случае: когда ребро куба равно 6.
Объём первого куба V = а3 = 33 = 3 • 3 • 3 = 27 м3. Объём второго куба равен 63 = 6 • 6 • 6 = 216 м3. Разделив 216 на 27, получим: 216 : 27 = 8.
Проверим вывод Акылай для других случаев:
если ребро куба 2, то объём 23 = 8, в случае удвоенного ребра: 43 = 64, а их отношение опять восемь: 64 : 8 = 8;
если ребро куба 5, то объём 53 = 125, в случае удвоенного ребра: 103 = 1000, а их отношение снова восемь: 1000 : 8 = 125.
Такие вычисления можно выполнять очень долго, но всё равно проверить все возможные случаи мы не сможем.
Но давайте проверим вывод Акылай, использовав буквенную запись: объ- ём куба с ребром 2а равен (2a)3 = 2а • 2а • 2а = 8а3. Так как объём куба с ре- бром а равен а3, мы вслед за Акылай установили, что при увеличении ребра в два раза объём куба увеличивается в восемь раз.
Упражнение 9
Сумма длин рёбер куба равна 120 см. Чему равен его объём?
Определите объём и сумму длин рёбер куба, ребро которого равно 5 мм.
9009738016011.10
Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоуголь- ник, площадь которого находится по формуле S = ab.
Объём прямоугольного параллелепипеда V равен произведению длины
a, ширины b и высоты h: V = abh.
Объём и площадь основания прямоугольного параллелепипеда связа- ны формулой V = Sh.

Задача
Сколько литров воды вмещает канистра с размерами 20 см, 30 см и 40 см?
Решение
Объём канистры равен 20 • 30 • 25 = 15000 см3.
Один литр – это один кубический дециметр, или сокращенно: 1 л = 1 дм3.

Так как в одном дециметре 10 сантиметров, 1 дм3 = (10 см)3 = 10 см • 10 см
10 см = = 1000 см3. Разделив 15000 на 1000, получим ответ: канистра вме- щает 15 литров.
Практическое задание
Измерьте линейкой длину, ширину и высоту любой прямоугольной ёмкости, имеющейся дома (канистра, аквариум, банка…), и опреде- лите её приблизительную ёмкость в литрах.
Упражнение 10
Прямоугольный бассейн вмещает 240 кубических метров. Определите площадь основания, зная, что высота – 2 метра.
Объём прямоугольной коробки – 5000 кубических сантиметров. Определите высоту, зная, что площадь основания – 250 см2.
7569748016011.11
Задача
У Самоделкина был деревянный прямоугольный параллелепипед с изме- рениями 6 дм, 4 дм, 4 дм. Он распилил его на кубики с ребром 2 дм. Сумеет ли Самоделкин поставить все кубики друг на друга на подставку высотой 1 м, если он это проделывает в помещении, где высота потолков – 3 м?
Решение
Объём параллелепипеда 6 • 4 • 4 = 96 дм3, а кубика 2 • 2 • 2 = 8 дм3. Отсюда следует, что у Самоделкина получится 96 : 8 = 12 кубиков.
Если их поставить друг на друга, то общая высота будет 2 • 12 = 24 дм, или 2 м 4 дм. Итак, Самоделкин не сумеет поставить все кубики друг на друга, так как высота потолков 3 м, а общая высота всех кубиков и подставки 3 м 4 дм.
Упражнение 11
Сколько кубиков с ребром 1 дм можно вырезать из деревянного пря- моугольного параллелепипеда с измерениями 20 см, 50 см, 40 см?
Сколько кубиков с ребром 3 см можно вырезать из деревянного прямо- угольного параллелепипеда с измерениями 6 см, 9 см, 12 см?
9009738016011.12
Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников: основания и верха, а также четырёх боковых граней. Каждая противолежащая друг другу пара этих прямоугольников равна друг другу.
Каркас прямоугольного параллелепипеда состоит из 12 рёбер, четыре из которых представляют длину а, четыре – ширину b и четыре – высоту h прямоугольного параллелепипеда.

Задача
Найдите площадь основания, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длина а = 5 см, ширина b = 2 см и высота h = 7 см.
Решение
Площадь основания аb = 5 • 2 = 10 см2.
Боковая поверхность состоит из двух прямоугольников с размерами 5 см и 7 см, и двух прямоугольников с размерами 2 см и 7 см. Поэтому площадь боковой поверхности равна 2ah + 2bh = 2 • 5 • 7 + 2 • 2 • 7 = 70 + 28 = 98 cм2.
Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 пря- моугольников: основания и верха, который равен основанию, а также боко- вой поверхности. Отсюда следует, что площадь полной поверхности нашего
прямоугольного параллелепипеда будет равна 10 см2 + 10 см2 + 98 см2 = 118
см2.
Упражнение 12
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллеле- пипеда, у которого длина а = 8 дм, ширина b = 10 дм, объём V = 160 л.
Найдите объём, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длина а = 15 м, ширина b = 20 м, высота h = 4 м.
7569738016011.13
Задача
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, у которого ширина
b = 3 м, площадь основания равна 27 м2, площадь полной поверхности – 174 м2.
Решение
Так как площадь основания аb = 27 м2, а ширина b = 3 м, длина а = 27 : 3 = 9 м. Площадь полной поверхности равна 2ab + 2ah + 2bh = 174 м2. Подставиввместоаиbихчисленныезначения,по- лучим уравнение 2 • 9 • 3 + 2 • 9 • h + 2 • 3 • h = 174 м2. Отсюда: 54 + 24h = 174 м2. Перенесём 54 влево и, разделив уравнение
24h = 120 м2 на 24, определим, что h = 5 м.
Итак, объём этого прямоугольного параллелепипеда равен 9 • 3 • 5 = 135 м3.
Упражнение 13
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллеле- пипеда, у которого площадь полной поверхности равна 240 дм2, а пло- щадь основания меньше площади боковой поверхности на 60 дм2.
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, у которого длина а = 6 м, площадь основания равна 24 м2, площадь боковой поверхности – 140 м2.
7569738016011.14
Задача
Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 88 см. Найдите его объём и площадь полной поверхности, зная, что длина а боль- ше ширины b в два раза, а высота h больше длины на 2 см.

Решение
Сумму длин всех рёбер можно определить по формуле 4а + 4b + 4h. Так как для данного прямоугольного параллелепипеда а = 2b, а h = 2b + 2, имеет место уравнение 4 • 2b + 4b + 4 (2b + 2) = 88. Раскрываем скобки, приводим подобные члены: 20b + 8 = 88. Отсюда b = 4.
Мы получили, что ширина данного прямоугольного параллелепипеда рав- на 4 см. Тогда его длина: 4 • 2 = 8 см, а высота 8 + 2 = 10 см.
Отсюда следует, что объём нашего прямоугольного параллелепи- педа V = abh = 4 • 8 • 10 = 320 см3, а площадь полной поверхности равна 2ab + 2ah + 2bh = 2 • 8 • 4 + 2 • 8 • 10 + 2 • 4 • 10 = 304 см2.
Упражнение 14
Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 116 м. Найдите его объём и площадь боковой поверхности, зная, что длина а больше ширины b на 3 м, а высота h больше длины на 2 м.
Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 132 см. Найдите его объём и площадь полной поверхности, зная, что длина а больше ширины b в три раза, а высота h меньше длины в два раза.
9009738014811.15
Задача
Длина первого прямоугольника 30 см, второго – 17 см. Ширина первого прямоугольника на 7 см меньше ширины второго. Найти их площади, зная, что площадь первого прямоугольника на 24 см2 больше площади второго.
Решение
Обозначим через х ширину первого прямоугольника. Тогда ширина второ- го прямоугольника равна х + 7; площадь первого прямоугольника 30х; пло- щадь второго прямоугольника равна 17 (х + 7).
Разность площадей определяет уравнение 30х – 17 (х + 7) = 24.
Раскроем скобки: 30х – 17х – 119 = 24, приведём подобные члены: 13х = 143, и, разделив на 13, получим: х = 11.
Итак,мыполучили,чтоширинапервогопрямоугольника11 см, второго – 18 см.
В правильности нашего ответа убедимся, вычислив разность площадей: 11 • 30 – 18 • 17 = 24 см2.
Упражнение 15
Длина первого прямоугольника равна 45 м, второго – 18 м. Ширина первого прямоугольника на 2 м меньше ширины второго. Найти их пло- щади, зная, что площадь первого прямоугольника в два раза больше площади второго.
Длина первого прямоугольника равна 54 мм, второго – 28 мм. Ширина первого прямоугольника в два раза меньше ширины второго. Найти их площади, зная, что площадь первого прямоугольника на 34 мм2 мень- ше площади второго.

Основание прямоугольника равно 10 м, высота – 14 м. Из него выре- зан прямоугольный треугольник с катетами 8 м, 6 м и гипотенузой 10 м. Определите площадь и периметр полученной фигуры.
Основание прямоугольника равно 12 м, высота – 8 м. Из него выре- зан прямоугольный треугольник с катетами 3 м, 4 м и гипотенузой 5 м. Определите площадь и периметр полученной фигуры.
Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, гипотенуза – 15 см, а периметр больше катета в четыре раза. Определите его площадь.
Катет треугольника равен 16 м, гипотенуза – 20 м, а площадь – 96 ква- дратных метра. Определите его периметр.
В квадрате ABCD, сторона которого равна 72 м, выделили треугольник АВE. Точка Е лежит на середине стороны СD. Определите площадь АBЕ.
В прямоугольнике ABCD, высота которого 14 м, основание – 8 м, выде- лили четырёхугольник EFGH так, что точки E, F, G, H лежат на середи- нах сторон прямоугольника ABCD. Определите площадь EFGH.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 77˚. Чему равны другие углы?
Пересечение двух треугольников является:
треугольником
четырёхугольником
пятиугольником
шестиугольником
Возможны варианты a–c
Возможны варианты a–d
Определить высоту прямоугольного параллелепипеда, объём которо- го равен 7500 м3, площадь основания – 2500 м2.
Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении ребра в три раза?
Дополните таблицу, использовав известные размеры прямоугольного параллелепипеда.
Длина 2 см 6 м Ширина 5 см 3 см 3 см
Высота 4 см 20 см 3 м Площадь основания 30 см2 15 см2
Объём 18 м3 45 см3
Какой будет общая длина ленты, составленной из полосок шириной 2 см, нарезанных из прямоугольного куска материи с размерами 15 см и 40 см?
Дополните таблицу, использовав известные размеры прямоугольного параллелепипеда.
Длина 12 см 6 м Ширина 3 см 30 м 5 см
Высота 2 см 2 м 3 м Площадь основания 15 см2
Объём 18 м3 Площадь боковой поверхно- сти 80 см2
Площадь полной поверхности 376 м2 Найдите площадь верха прямоугольного параллелепипеда, у которо- го площадь полной поверхности равна 450 дм2, а площадь основания меньше площади боковой поверхности в три раза.
Один из углов прямоугольного треугольника больше другого на 64˚. Чему равны углы этого треугольника?
Одна сторона прямоугольника больше другой в пять раз, а разность длин остальных сторон – 16 км. Чему равны площадь и периметр этого прямоугольника?
Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда с шириной 13 м,площадью основания 182 м2, площадью полной по- верхности 472 м2.
Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 84 м. Найдите его объём и площадь боковой поверхности, зная, что длина a больше ширины b на 11 м, а высота h меньше ширины в два раза.
Периметр четырёхугольника 38 мм. Первая сторона меньше второй на 2 мм, третья больше второй в три раза, а четвёртая меньше третьей на 4 мм. Определите длины сторон этого четырёхугольника.
Периметр четырёхугольника 47 м. Первая сторона равна второй, тре- тья меньше второй в два раза, а четвёртая меньше третьей на 7 м. Определите длины сторон этого четырёхугольника.
Периметр треугольника 58 мм. Первая сторона больше второй на 8 мм, третья больше второй в три раза. Определите длины сторон этого треугольника.
Одну из сторон квадрата увеличили на 7 см, а другую увеличили в 2 раза. В результате получился прямоугольник, периметр которого ра- вен 56 см. Найти длину стороны квадрата.
Одну из сторон квадрата уменьшили на 9 см, а другую увеличили в 3 раза. В результате получился прямоугольник, периметр которого ра- вен 38 см. Найти длину стороны квадрата.
Из фанеры требуется сделать ящик для почтовой посылки, имею- щий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 30 см, 20 см и 25 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика? Какова его вместимость? Сколько метров рейки понадобится для из- готовления каркаса ящика?
Длина комнаты равна 7 м, ширина – 4 м, а высота – 3 м. Сколько м2 обо- ев требуется для полной оклейки стен комнаты, если площадь окон и дверей составляет 9 м2? Сколько рулонов обоев надо купить для это- го, если в каждом рулоне 10 м2 обоев?
Стороны треугольника имеют длины, выраженные различными целы- ми числами. Определите длины других сторон, зная, что длина боль- шей стороны равна 5.
§ 12.Выручка, затраты, прибыль, убытки
9009738016012.1
Задача
За право торговать мороженым в театре Карабаса Барабаса Буратино платит 900 сольдо в месяц. Каждую порцию мороженого он покупает на оп- товом рынке по цене 9 сольдо и продаёт в театре по 15 сольдо8.
Чему равна выручка Буратино, продавшего:
5;b) 12;c) 80 порций мороженого?
Чему равны затраты Буратино, если он в течение месяца купил:
25;b) 126;c) 280 порций мороженого?
Чему равна прибыль Буратино, если он в течение месяца купил на оп- товом рынке и продал в театре:
225;b) 260;c) 380 порций мороженого?
Решение
Если Буратино продаст 5 порций мороженого по цене 15 сольдо, то он получит 15 • 5 = 75 сольдо; за 12 порций он получит 15 • 12 = 180 сольдо; за 80 порций – 15 • 80 = 1200 сольдо.
Эти величины: 75 сольдо; 180 сольдо; 1200 сольдо – называют выручкой.
Выручку определяют по формуле R = p • q, где R – величина выручки,
p – цена единицы товара, q – количество реализованного товара.

На покупку 25 порций мороженого Буратино затратил 9 • 25 = 225 соль- до. Кроме того, он отдал Карабасу Барабасу 900 сольдо. Таким образом, об- щие затраты Буратино за месяц равны 225 + 900 = 1125 сольдо.
Если Буратино в течение месяца купил 126 порций мороженого, его общие затраты = 9 • 126 + 900 = 1134 + 900 = 2034 сольдо;
если 280 порций, то 9 • 280 + 900 = 2520 + 900 = 3420 сольдо.
Общие затраты TC определяют по формуле TC = V • q + F, где V • q– пе- ременные затраты, а F – постоянные затраты.
Постоянные затраты – это затраты, дающие возможность заниматься делом. (Для Буратино постоянные затраты – это 900 сольдо в месяц за право торговать мороженым в театре Карабаса Барабаса.)
Величина переменных затрат V • q определяется объёмом деятельно- сти q и V – затратами на единицу товара. (В случае Буратино, V – это 9 сольдо, за которые он покупает порцию мороженого на оптовом рынке.)

Сольдо – старинная итальянская монета.
В случае, когда Буратино в течение месяца купил на оптовом рынке и продал в театре 225 порций мороженого, его выручка = 15 • 225 = 3375 соль- до, общие затраты составят 9 • 225 + 900 = 2025 + 900 = 2925 сольдо.
Следовательно, прибыль Буратино составляет 3375 – 2925 = 450 сольдо.
Прибыль Pf – это разность между выручкой и общими затратами:
Pf = R – TC.

Если Буратино в течение месяца перепродал 260 порций мороженого, его прибыль = 15 • 260 – (9 • 260 + 900) = 3900 – 3240 = 660 сольдо; если 380 пор-
ций, то 15 • 380 – (9 • 380 + 900) = 5700 – 3240 = 1380 сольдо.
Упражнение 1
Синдбад-мореход, который возит шоколад на остров МЫЙАНАК, про- даёт ящик шоколада за 11 дирхемов9. Каждый ящик шоколада он по- купает на материке за 6 дирхемов. Постоянные расходы на каждое плавание (зарплата моряков, еда, налоги султану…) составляют 108 дирхемов.
Чему равна выручка Синдбада-морехода, продавшего
9;b) 12;c) 37 ящиков шоколада?
Чему равны общие затраты на плавание Синбада-морехода, закупившего
17;b) 24;c) 46 ящиков шоколада?
Чему равна прибыль Синдбада-морехода, продавшего на острове все привезённые с собой
29;b) 32;c) 47 ящиков шоколада?
Фирма «Нурбек» решила продавать книгу сказок за 330 сомов. Подготовка книги к изданию (получение права на издание, редактиро- вание, налоги, аренда…) составила 50000 сомов. Расходы на печата- ние и продажу одной книги равны 80 сомов.
Чему равна выручка фирмы, продавшей a) 590;b) 1200;c) 730 книг?
Чему равны общие затраты фирмы на печатание и продажу a) 217;b) 524;c) 646 книг?
Чему равна прибыль фирмы, продавшей все напечатанные a) 290;b) 320;c) 470 книг?
Примечание
При обозначении различных переменных, как правило, используются первые буквы соответствующих английских слов. Если Вы уже изучаете
Дирхем – старинная арабская монета.
английский язык, то Вам будет проще, если ещё нет, то это не страшно, нуж- но просто запомнить.
Так, буква v, обозначающая скорость, это первая буква слова velocity, t – первая буква слова time – время, R – revenue – выручка, p – price – цена, q – quantity – количество, TC – total cost – общие затраты, Pf – profit – прибыль.
9009727952512.2
Задача
В условиях задачи 1 Буратино удалось продать за месяц только 120 пор- ций мороженого. Какова его прибыль в этой ситуации?
Решение
Если Буратино в течение месяца купил на опто- вом рынке и продал в театре 120 порций мороже- ного, его выручка = 15 • 120 = 1800 сольдо, затраты
= 9 • 120 + 900 = 1080 + 900 = 1980 сольдо.
Следовательно,прибыльБуратино 1800 – 1980 = …
«ОЙ! А это не вычисляется!» – очень громко сказал Карабас Барабас, который очень хотел
узнать прибыль Буратино.
Действительно, в этом случае уменьшаемое меньше, чем вычитаемое. Но, в отличие от Карабаса Барабаса, мы умеем выполнять такие действия.
Если уменьшаемое меньше, чем вычитаемое, то нужно переставить их местами и вычесть. Перед полученным результатом поставить знак
«–».
В нашем случае: 1800 – 1980 = – (1980 – 1800) = – 180 сольдо.
Знак минус ставится перед отрицательными числами. Смысл этого зна- ка в случае с Буратино вполне очевиден: полученные в результате минус 180 сольдо указывают на то, что в соответствующем месяце в результате торговли мороженым в театре Карабаса Барабаса Буратино потратил на 180 сольдо больше, чем получил. Другими словами, убытки Буратино составили 180 сольдо.
Упражнение 2
В условиях упражнения 1.1 определите, чему равна прибыль Синдбада- морехода, продавшего на острове все привезённые с собой
a) 19;b) 13;c) 17 ящиков шоколада.
В условиях упражнения 1.2 определите, чему равна прибыль фирмы, продавшей все напечатанные
a) 140;b) 180;c) 170 книг.
7569732109312.3
Задача
Вернёмся ещё раз к задаче 1 и найдём ответы на следующие вопросы: сколько порций мороженого Буратино закупил и продал за месяц, если
он вернул затраченные деньги;
он получил прибыль, равную 54 сольдо;
его убытки составили 12 сольдо?
Решение
Обозначим буквой q количество порций мороженого.
Тогда выручка Буратино будет определяться выражением 15q, затраты – выражением 9q + 900.
Следовательно, прибыль, являющаяся разностью выручки и затрат, опре- деляется выражением 15q – (9q + 900) = 15q – 9q – 900 = 6q – 900.
Если Буратино только вернул свои деньги, то это означает, что его при- быль равна нулю. Поэтому 6q – 900 = 0 и q = 150.
Если прибыль равна 54 сольдо, то 6q – 900 = 54. Отсюда 6q = 954, и
q = 159.
Итак, купив за 9 сольдо и затем продав за 15 сольдо 159 порций мороже- ного, Буратино получил прибыль, равную 54 сольдо.
Убытки Буратино равны 12 сольдо – то есть прибыль отрицательна и равна 12. Поэтому 6q – 900 = – 12, и q = 148. Это означает, что, сумев пере- продать только 148 порций мороженого, Буратино не сумел в полном объёме вернуть деньги, потраченные на право торговли.
Упражнение 3
Султану,вовладенияхкоторогоработает Синдбад-мореход,понадобилисьденьги для покупки украшений для любимой жены. Поэтому он повысил налоги.
В результате постоянные расходы на каждое плавание увеличились до 130 дирхемов. Остальные данные не изменились: Синдбад-мореход каждый ящик шоколада покупает на материке за 6 дирхемов и продаёт на острове МЫЙАНАК за 11 дирхемов.
Сколько ящиков шоколада Синдбад-мореход заку- пил и продал во время очередного плавания, если
он вернул затраченные деньги;
он получил прибыль, равную 40 дирхемам;
его убытки составили 25 дирхемов?
Владелец помещения, в котором работает фирма «Нурбек», повысил арендную плату. В результате подготовка «Азбуки» к изданию (полу- чение права на издание, редактирование, налоги, аренда…) обошлась в 60000 сомов. Расходы на печатание и продажу одной книги равны 90 сомов, а цена книги – 350 сомов.
Сколько «Азбук» напечатала и продала фирма, если
она вернула затраченные деньги;
она получила прибыль, равную 4800 сомам;
её убытки составили 2400 сомов?
9009738016012.4
Задача
Карабас Барабас повысил плату за право торговать мороженым в сво- ем театре. Чему она теперь равна, если общие затраты Буратино, покупаю- щего за месяц на оптовом рынке 180 порций мороженого по цене 9 сольдо, составили
a) 2620 сольдо; b) 2745 сольдо; c) 2970 сольдо.
Решение
a) Обозначим через z плату за право торговать мороженым в театре. Тогда 9 • 180 + z = 2620 сольдо. Отсюда: z = 2620 – 1620 = 1000 сольдо.
Точно так же можно определить, что в случае b) плата за право торговать мороженым в театре равна 1125, а в случае c) – 1350 сольдо.
Упражнение 4
Узнав о покупке украшений для любимой жены, остальные жены сул- тана устроили демонстрацию протеста, в результате чего султан поо- бещал украшения и им, в очередной раз повысив налоги.
Чему равны теперь расходы на каждое плавание, если общие рас- ходы Синдбада-морехода, закупившего 30 ящиков шоколада по цене 6 дирхемов, составили
330 дирхемов;b) 342 дирхема;c) 374 дирхема.
Владелец помещения, в котором работает фирма «Нурбек», ещё раз повысил арендную плату. В результате теперь расходы на печатание и продажу одной книги равны 95 сомов, а общие расходы на подготов- ку к печати, печатание и продажу 200 книг равны
a) 81000 сомов;b) 84000 сомов;c) 87000 сомов. Сколько стоила подготовка книги к изданию?
7569736617812.5
Задача
Плата за право торговать мороженым в цирке – 1200 сомов.
По какой цене продавал мороженое Жунус, если, продав 185 порций моро- женого, купленного на оптовом рынке по цене 8 сомов, он получил прибыль
280 сомов;b) – 90 сомов.
Решение
Общие затраты Жунуса составили 8 • 185 + 1200 = 1480 + 1200 = 2680 сомов.
Поэтому, если обозначить цену буквой р, то прибыль будет равна 185р – 2680.
Тогда в случае a) 185р – 2680 = 280. Прибавим к обеим частям уравнения 2680 и получим: 185р = 2960. Отсюда р = 16 сомов.
Так же получим результат и в случае b): 185р – 2680 = – 90. Прибавим к обеим частям уравнения 2680 и получим:
185р – 2680 + 2680 = – 90 + 2680. Тогда 185р = 2590. Отсюда р = 14 сомов.
3851998146670Упражнение 5
Джек Воробей на острове АРАНА продаёт стеклянные бусы по цене 12 дублонов10. Постоянные расходы на каждое плавание (зарплата моряков, еда, налоги королю…) составляют 128 дублонов. По какой цене
он купил стеклянные бусы на материке, если его прибыль от очередного плавания, во время которого он отвёз и продал 56 сте- клянных бус, составила:
376 дублонов;b) 264 дублона;
c) – 16 дублонов?
Фирма «Нурбек» решила продавать книгу за 270 сомов. Подготовка книги к изданию (получение права на издание, редактирование, нало- ги, аренда…) составила 58200 сомов. Чему равны расходы на печа- тание и продажу одной книги, если прибыль фирмы, продавшей все напечатанные 300 книг, составила
a) 27000 сомов;b) 32400 сомов;c) – 4800 сомов?

Дублон – старинная испанская монета.
9009736617812.6
Задача
Мелис планировал купить 15 кг лука, но ему не хватало 40 сомов. Тогда он купил 12 кг и у него осталось 8 сомов. Сколько денег было у Мелиса?
Решение
Если килограмм лука стоит р сомов, то количество денег у Мелиса из 1-го условия: 15р – 40, а из 2-го условия: 12р + 8.
Из уравнения 15р – 40 = 12р + 8 следует, что 3р = 48, то есть 3 кг лука стоят 48 сомов. Следовательно, килограмм лука стоит 48 : 3 = 16 сом/кг.
Отсюда получаем, что у Мелиса было 15 • 16 – 40 = 200 сомов.
Ответ можно проверить по 2-му условию: 12 • 16 + 8 = 192 + 8 = 200 сомов.
Упражнение 6
Ирина планировала купить 19 кг сахара, но ей не хватало 102 сома. Тогда она купила 17 кг, и у неё осталось 14 сомов. Сколько денег было у Ирины?
Бахтияр хотел купить 9 шоколадок, но ему не хватало 32 сома. Тогда он купил 4, и у него осталось 158 сомов. Сколько денег было у Бахтияра?
9009738014812.7
Задача
Галя купила 3 литра кумыса по цене 60 сомов/литр и 4 лепёшки по цене 12 сомов. Сколько сдачи она должна получить, отдав 500 сомов?
Галя совершила покупки на 3 • 60 + 4 • 12 = 228 сомов. Поэтому сдача
должна быть равна 500 – 228 = 272 сома.
Упражнение 7
Марина купила 9 кг муки, 3 литра кефира и отдала кассиру 1000 со- мов. Сколько денег ей должны вернуть, если мука стоит 42 сом/кг, а кефир – 34 сома за литр?
Дайана купила 3 футболки по цене 340 сомов и 2 пары носков по цене 75 сомов. Сколько сдачи она должна получить, отдав 1500 сомов?
7569736617812.8
Задача
За 5 лепёшек и 2 килограмма сахара Салима заплатила 176 сомов. Какова цена лепёшки, если килограмм сахара стоит 68 сомов?
Решение
Обозначив цену лепёшки за р, получим уравнение: 5p + 2 • 68 = 176.
В этом выражении 5p – это количество денег, которые Салима заплатила за лепёшки, 2 • 68 – за сахар. Вычтем из обеих частей уравнения 2 • 68 = 136 и получим: 5p = 40. Отсюда p = 8. Итак, мы выяснили, что Салима купила лепёшки по 8 сомов.
Упражнение 8
За 7 бананов и 3 килограмма апельсинов Сардар заплатил 360 сомов. Сколько стоил банан, если килограмм апельсинов стоил 85 сомов?
За 2 литра молока и 4 пачки творога Канчайым заплатила 278 сомов. Какова цена литра молока, если пачка творога стоит 52 сома?
7569738014812.9
Задача
За 7 лепёшек, 2 пачки чая и несколько килограммов муки Гульайым запла- тила 244 сома. Сколько муки было куплено, если лепёшка стоит 10 сомов, пачка чая – 45 сомов, килограмм муки – 28 сомов?
Решение
Обозначив количество килограммов муки за q, получим уравнение: 7 • 10 + 2 • 45 + 28q = 244. Отсюда 70 + 90 + 28q = 244. Тогда 28q = 84.
Упражнение 9
Жаркынай купила 5 кг картошки и несколько бутылок растительного масла. Сколько масла было куплено, если килограмм картошки сто- ит 16 сомов, бутылка масла – 85 сомов, всего было заплачено 250 сомов?
За 8 булочек, 2 литра кефира и несколько килограммов фасоли Мунара заплатила 199 сомов. Сколько фасоли было куплено, если бу- лочка стоит 6 сомов, литр кефира – 35 сомов, килограмм фасоли – 27 сомов?
9009736617812.10
Задача
Мээрим, Улан и Вадим продают компьютеры. По итогам сентября их об- щая прибыль составила 18215 сомов. При этом прибыль Мээрим в два раза больше, чем прибыль Вадима, а прибыль Улана на 7313 сомов меньше, чем прибыль Вадима. Какова прибыль Улана?
Решение
Обозначим через v прибыль Вадима, тогда прибыль Мээрим равна 2v, а прибыль Улана v – 7313.
Так как общая прибыль 18215 сомов, получается уравнение: v + 2v + (v – 7313) = 18215. Раскроем скобки и приведём подобные члены: 4v – 7313 = 18215. Отсюда 4v = 25528, и затем v = 6382. Итак, прибыль Вадима составила 6382 сома, а прибыль Улана: v – 7313 = 6382 – 7313 = – 931 сом.
Отрицательный ответ означает, что сентябрь оказался неудачным для Улана: он оказался в убытках.
Упражнение 10
Павел, Бегайым и Жанна в октябре получили прибыль 8214 сомов, причём Павел получил на 2019 сомов больше, чем Бегайым, а Жанна – на 2310 сомов меньше, чем Бегайым. Какую прибыль получил Павел?
Поголовье овец в стадах у Адилета, Карлыгаш и Аскара за год увели- чилось на 510 овец, причём у Аскара в 4 раза больше, чем у Карлыгаш, а у Адилета на 162 овцы меньше, чем у Карлыгаш. На сколько овец выросли стада Карлыгаш и Адилета?

Дуремар торгует пиявками в стране Дураков и продаёт каждую за 9 сольдо. За право выловить одну пиявку в болоте он платит 5 сольдо, а за право торговать пиявками в течение месяца – 200 сольдо.
Чему равна выручка Дуремара, продавшего в течение месяца a) 19;b) 27;c) 87 пиявок?
Чему равны общие затраты Дуремара, продавшего в течение ме- сяца
a) 37;b) 54;c) 68 пиявок?
Чему равна прибыль Дуремара, продавшего в течение месяца a) 59;b) 62;c) 77 пиявок?
Нуждаясь в деньгах для проведения очередного праздника, вла- сти страны Дураков увеличили плату за право торговать пиявками
в течение месяца до 260 сольдо. Сколько пиявок за месяц продал Дуремар, если
он вернул затраченные деньги;
он получил прибыль, равную 24 сольдо;
его убытки составили 12 сольдо?
Решив провести ещё один праздник, власти страны Дураков снова увеличили плату за право торговать пиявками. Чему она теперь рав- на, если общие расходы Дуремара, продавшего 70 пиявок, за каждую из которых он платит 5 сольдо, составили:
a) 650 сольдо;b) 712 сольдо;c) 743 сольдо?
Лиса продаёт сыр по цене 120 рублей за кусочек. За право торговать она платит 400 рублей, а каждый кусочек покупает у Вороны. По ка- кой цене Лиса купила сыр, если её прибыль от продажи 16 кусочков, составила:
a) 32 рубля;b) 288 рублей;c) – 16 рублей?
Саша купила 2 кг картофеля по цене 18 сом/кг и 3 кг моркови по цене 12 сом/кг. Сколько она заплатила?
Маша купила 2 кг пряников по цене 82 сом/кг, 4 кг карамели по цене 185 сом/кг и 3 кг печенья по цене 91 сом/кг. Сколько она заплатила?
За 3 шоколадки и 2 пачки вафель Серик заплатил 176 сомов. Какова цена шоколадки, если пачка вафель стоит 25 сомов?
За 12 тетрадей и 6 блокнотов Зарема заплатила 138 сомов. Какова цена блокнота, если тетрадь стоит 3 сома?
За жвачку и несколько шариков Жантемир заплатил 77 сомов. Сколько шариков он купил, если жвачка стоит 17 сомов, а шарик – 12 сомов?
За 8 тетрадей, 5 блокнотов и несколько ручек Шаршен заплатил 144 сома. Сколько ручек он купил, если цена блокнота 17 сомов, те- традь стоит 3 сома, ручка – 5 сомов?
Коля, Женя и Ира в сентябре получили прибыль 9540 сомов, причём Коля в три раза меньше Иры, а Женя на 3010 сомов меньше, чем Коля. Какую прибыль получил Женя, какую – Ира?
Попробуйте решить задачи. Сверьте полученные ответы с ответа- ми, которые стоят сразу после задач. Если какие-то задачи совсем не желают поддаваться Вашим усилиям даже после нескольких попы- ток, воспользуйтесь указаниями, приведёнными в конце книги.
Крышка стола имеет 4 угла. Один отпилили. Сколько стало углов у стола?
Как изменятся периметр и площадь прямоугольника, если и длина, и ширина увеличатся в два раза?
В классе равное число мальчиков и девочек. Волшебник принёс 108 ирисок, и каждому мальчику досталось по пять ирисок, а каждой де- вочке – по четыре. Но девочки обиделись, и в следующий раз он при- нёс столько ирисок, что каждому мальчику досталось по шесть ири- сок, а каждой девочке – по семь. Сколько ирисок принёс волшебник во второй раз?
В коробке 4 красных и 6 чёрных карандашей. Сколько карандашей не глядя нужно вытащить из коробки, чтобы среди них был хотя бы один чёрный?
У вас есть 9 мячей одинакового размера. 8 из них одинакового веса, а один весит чуть больше остальных. Какое наименьшее количество взвешиваний достаточно использовать для того, чтобы найти мяч, ко- торый тяжелее остальных, используя весы, показывающие баланс? Как это сделать?
За столом сидели члены большой семьи: две мамы с двумя дочками да ещё бабушка с внучкой. Сколько человек было за столом? Известно, что каждая из них находится в одной из указанных родственных свя- зей хотя бы с одним человеком, сидящим за столом.
Варианты ответов:
6
5
4
3
6 или 3
от 3 до 6
Вождь племени мумба-юмба живёт в шестиугольной хижине. В ка- ждом углу этой хижины стоит бюст вождя, напротив каждого бюста – 5 бюстов вождя. Сколько всего бюстов вождя стоит в хижине?
На лесопилке имеются брёвна длиной 5 м и 6 м. Надо напилить 30 чур- баков длиной 1 м. Какие брёвна выгоднее пилить?
Три богатыря: Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович – срубили Змею Горынычу все девять голов. Больше всех срубил Илья Муромец, меньше всех – Алёша Попович. Сколько голов срубил каж- дый из них?
В записи 1234567 поставьте между некоторыми цифрами знаки «+» так, чтобы получилась сумма, равная 100.
Сколько имеется цифр от 6 до 9 включительно?
Винни-Пух в июне съел 342 г мёда, в июле – на 44 г больше, а в авгу- сте – на 236 г меньше, чем в июне и июле вместе. Сколько всего мёда съел Винни за лето?
Муравей проехал на улитке некоторое расстояние за 25 минут. За сколько минут муравей проедет на жуке расстояние в 7 раз боль- шее, если жук двигается в 5 раз быстрее улитки?
Определите, каким образом среднее число связано с крайним, и за- полните свободную клетку.
2 6 13
25 10 3
33 16 55
23 6 13

В 2011 году исполнилось 255 лет великому композитору Моцарту. Через 150 лет после Моцарта родился Абдылас Малдыбаев, выдающийся кыргызский композитор. Определите год рождения А. Малдыбаева.
Ответы к задачам на внимание, логику и сообразительность
Три или пять. 2. Периметр увеличится в два раза, площадь – в четы- ре раза. 3. 156. 4. 5. 5. Два взвешивания. 6. f. 7. 6. 8. Длиной 5 м. 9. Задача имеет три ответа: (6; 2; 1), (5; 3; 1), (4; 3; 2). 10. 1 + 23 + 4 + 5 + 67. 11. Четыре. 12. 1220 г. 13. 35 мин. 14. 14. 15. 1906 год.
§ 13.Задачи на составление уравнений 2
Учительница написала на доске уравнение, вызвала ученика и дала ему задание:
– Найди икс!
– Нашёл! – тут же радостно воскликнул он и показал на «х» пальцем.
7569738014813.1
Задача
Собака погналась за лисицей, находящейся от неё на расстоянии 120 ме- тров. Через сколько времени собака догонит лисицу, если лисица пробегает 320 м в минуту, а собака – 350 м?
Решение
За время t собака пробежит 350t метров, а лиса – 320t метров. Для того чтобы догнать лисицу, собака должна пробежать на 120 м больше.
Следовательно, 350t – 320t = 120.
Отсюда: 30t = 120 и t = 4.
Итак, собака догонит лисицу через 4 минуты.
Упражнение 1
Собака усмотрела в 360 метрах зайца, который пробегает за 2 минуты 1060 м. Спрашивается, за какое время догонит зайца собака, пробега- ющая за 5 минут 2770 м?
Сайкал вышла из дома и пошла на работу со скоростью 70 м/мин. Через 7 минут следом за ней пошёл Асан. Через сколько минут он догонит Сайкал, если идёт со скоростью 84 м/мин?
9009738016013.2
Задача
Два туриста вышли навстречу друг другу: Нара из Бишкека со средней скоростью 2 км/час, Биша из Нарына со средней скоростью 3 км/час. Кто из них будет ближе к Бишкеку через:
4
84
32
48
92
68
g) 108
h) 21
72
53
44 часа
посленачалапутешествия,еслирасстояниемеждуБишкекоми Нарыном – 340 км?
Решение
Конечно, можно мужественно делать вычисления, относящиеся к каждо- му пункту задачи, и отвечать на поставленный вопрос. Но лучше и быстрее поступить по-другому: пусть t – время встречи туристов. Тогда 2t + 3t = 340. Отсюда t = 68. Итак, Биша и Нара встретятся через 68 часов. Понятно, что до этого момента Нара будет ближе к Бишкеку; после встречи к Бишкеку будет ближе Биша.
Упражнение 2
Сания вышла из дома и пошла на встречу с Софией со скоростью 70 м/мин. Через 2 минуты навстречу ей вышла София со скоростью 64 м/мин. Сколько минут до встречи будет идти Сания, если в начале расстояние между ними было равно 1078 м?
Из двух точек, расстояние между которыми 2400 м, навстречу друг другу вышли Аскар и Шааркан. Через сколько минут они встретятся, если Аскар идёт со скоростью 84 м/мин, Шааркан – со скоростью 76 м/ мин?
7569736617813.3
Задача
Скорость собаки на 15 км/час, или в четыре раза больше скорости её хозя- ина. Чему равна скорость собаки?
Решение
Обозначив через v скорость хозяина, получим уравне- ние: v + 15 = 4v. Перенесём v в правую часть и получим: 15 = 3v. Полученное уравнение разделим на три: v = 5. Итак, мы определи- ли, что скорость хозяина – 5 км/час. Тогда скорость собаки равна 20 км/час.
Упражнение 3
Скорость кролика на 36 км/час, или в десять раз больше скорости мыши. Чему равна скорость кролика?
Скорость мотоциклиста на 72 км/час, или в семь раз больше скорости велосипедиста. Чему равна скорость мотоциклиста?
7569738014813.4
Задача
У Дайан 52 тетради в клетку и 40 в линейку. Ежемесячно она тратит 7 те- традей в клетку и 4 в линейку. Через сколько месяцев у Дайан будет одина- ковое количество тетрадей в клетку и в линейку?
Решение
Обозначив через t искомое количество месяцев, получим, что через t ме- сяцев останется 52 – 7t тетрадей в клетку и 40 – 4t тетрадей в линейку.
Поэтому: 52 – 7t = 40 – 4t. Перенесём 4t вправо, 53 влево и получим, что 4t – 7t = 40 – 52. Следовательно, – 3t = – 12. Разделим уравнение на – 3 и по- лучим, что t = 4.
Итак, через 4 месяца у Дайан останется одинаковое количество тетрадей в клетку и в линейку.
Легко определить, что останется по 52 – 7 • 4 = 40 – 4 • 4 = 24 тетради.
Упражнение 4
У Мальчиша-Плохиша было 27 груш и 32 персика. Не желая делить- ся с окружающими, он их спрятал и ежедневно съедал по 3 груши и 4 персика. Но через несколько дней обнаружил, что все оставшиеся
фрукты сгнили. Сколько груш и персиков сгнило, если известно, что их в этот момент было одинаковое количество?
Вася должен изготовить 67 деталей, Федя – 83. Через некоторое вре- мя выяснилось, что Вася должен изготовить на 6 деталей больше. Когда это произошло, если известно, что Вася производит 5 деталей в час, Федя – 7 деталей?
9009738014713.5
Задача
В бассейне М 200 литров воды, в бассейне Н – 1509 литров. В бассейн М поступает 12 литров воды в минуту, из бассейна Н вытекает 5 литров воды в минуту. В каком бассейне будет больше воды через:
4
84
32
48
92
68
g) 108
h) 21
72
53
44 минут
Решение
Мы надеемся, что Вы уже узнаёте задачи. Поэтому не будем предлагать делать вычисления, относящиеся к каждому пункту задачи, а сразу опреде- лим «точку перелома».
Пусть t – время, через которое в бассейнах будет одинаковое количество воды. Тогда 200 + 12t = 1509 – 5t.
Поэтому 17t = 1309 и t = 77. Отсюда ответ: до 77 минуты воды будет боль- ше в бассейне М, после 77 минуты – в бассейне Н.
Упражнение 5
На складе А 706 кг сахара, на складе В – 50 кг. Каждый час со склада А увозят 47 кг сахара, на склад В привозят 35 кг. Через сколько часов на складах будет одинаковое количество сахара?
У Оксаны 4000 сомов, у Мартина – 50000 сомов. Количество сомов у Оксаны ежемесячно увеличивается на 1500, у Мартина уменьшается на 750. Через сколько месяцев у Оксаны будет на 1250 сомов больше?
9009738014713.6
Задача
Айхан однажды написал Павлу: «У нас жарко. Если показание термометра умножить на два и прибавить к результату 30°, то получится температура, при которой вода превращается в пар». Павел ответил: «Удивительно! Если то же самое проделать с показателем нашего термометра, то получится
температура, при которой лёд превращается в воду». Определите, какой была температура воздуха у Айхана и Павла, и найдите их разность.
Решение
Вода закипает – превращается в пар – при температуре 100°. Лёд пре- вращается в воду, и наоборот, вода превращается в лёд при температуре 0°.

Воспользовавшись этими сведениями и обозначив температуру воздуха у Айхана через ta, у Павла – через tn, получим уравнения: 2ta + 30° = 100° и 2tn + 30° = 0°.
Из 1-го уравнения получим, что ta = 35°, из 2-го – что tn = – 15°.
Отсюда следует, что разность температур в местах жительства Айхана и
Павла равна 35° – ( – 15°) = 50°.
Упражнение 6
Самые морозоустойчивые люди, наверное, живут в Якутии. Определите, до скольких градусов опускается там температура зи- мой, зная, что если бы она уменьшилась ещё на 204°, то достигла бы абсолютного минимума?
Абсолютный минимум температур равен минус 273° – это температура, при которой на Земле замерзает всё!

Юля умножила показатель термометра на 2 и, прибавив к результату 21°, получила минус 3°. Какой была температура в этот момент?
7569738014713.7
Задача
На экзамене за каждый правильный ответ дают 3 балла, за неправильный ответ отнимают 2 балла. Незнайка отвечал на 23 вопроса и получил 6 бал- лов. Сколько правильных ответов дал Незнайка?
В следующий раз Незнайка сказал, что отве- чал на 22 вопроса и получил 50 баллов. Сколько правильных ответов дал Незнайка?
Решение
Как правило, мы обозначаем неизвестную ве- личину буквой х. Но это совсем необязательно. Для
обозначений можно использовать любые буквы. Давайте обозначим буквой a число правильных ответов.
Тогда число неправильных ответов: 23 – а, а уравнение: 3а – 2 (23 – a) = – 6. Раскроем скобки: 3а – 46 + 2а = – 6, приведём подобные члены и получим 5а = 40. Отсюда следует, что Незнайка дал правильные ответы только в 8
случаях и ошибся в 23 – 8 = 15 случаях.
Обозначим буквой а число правильных ответов. Тогда число неправиль- ных ответов: 22 – а, а уравнение: 3а – 2 (22 – a) = 50.
Раскроем скобки: 3а – 44 + 2а = 50, приведём подобные члены и получим 5а = 94. Но это уравнение не имеет решения в целых числах, а величина а – число правильных ответов – обязана быть целым числом.
Поэтому делаем вывод: Незнайка опять что-то напутал, и задача с такими условиями решения не имеет.
Упражнение 7
На экзамене за каждый правильный ответ дают 3 балла, за непра- вильный отнимают 2 балла. Знайка отвечал на 25 вопросов и получил 55 баллов. Сколько правильных ответов дал Знайка?
На экзамене за каждый правильный ответ дают a баллов, за непра- вильный ответ отнимают 1 балл. Ученик отвечал на 25 вопросов и дал 4 правильных ответа. Чему равно a, если ученик получил 5 баллов?
На экзамене за каждый правильный ответ дают 5 баллов, за непра- вильный отнимают 3 балла. Незнайка отвечал на 20 вопросов и полу- чил 12 баллов. Сколько правильных ответов дал Незнайка?
На экзамене за каждый правильный ответ дают 8 баллов, за непра- вильный ответ отнимают b баллов. Ученица отвечала на 50 вопросов и дала 18 правильных ответов. Чему равно b, если ученица получила 16 баллов?
9009738016013.8
Задача
У Сапарбека имеются индюки, куры и овцы. При этом кур в два раза боль- ше, чем индюков, а овец на 13 больше, чем кур. Всего насчитано 122 ноги. Сколько кур у Сапарбека?
Решение
Обозначив количество индюков через x, получим, что количество кур рав- но 2x, а овец будет 2x + 13. Приняв во внимание, что у кур и индюков по 2 ноги, а у овец по 4, получим уравнение: 2 • x + 2 • 2x + 4 (2x + 13) = 122.
Раскрыв скобки: 2x + 4x + 8x + 52 = 122 и приведя подобные члены, полу- чим 14x = 70. Отсюда x = 5.
Мы получили, что у Сапарбека 5 индюков и, соответственно, 10 кур.
Упражнение 8
У Шамиля на дворе имеются козы, куры и овцы. При этом кур столько же, сколько овец, а коз на 5 меньше. Всего насчитано 80 ног. Сколько коз у Шамиля?
Асан изготовил столы, стулья и трёхногие табуретки. Стульев было изготовлено в 6 раз больше, чем столов, и на 10 больше, чем табуре- ток. Сколько изготовлено стульев, столов и табуреток, если использо- вано 200 ножек?
7569738016013.9
Задача
На вопрос о том, сколько у них альчиков, Акбар ответил, что у него на 35 больше, чем у Максата, и на 37 меньше, чем у Элдоса, а всего у них троих 101 альчик. Сколько альчиков у Акбара?
Решение
Обозначим через x количество альчиков у Акбара. Тогда x + 37 – ко- личество альчиков у Элдоса, x – 35 – количество альчиков у Максата. Воспользовавшись этими обозначениями, из текста задачи имеем уравне- ние: x + (x + 37) + (x – 35) = 101.
Раскроем скобки и приведём подобные члены: 3x + 2 = 101. Поэтому 3x = 99, и затем x = 33. Итак, мы узнали, что у Акбара 33 альчика.
Вроде бы всё хорошо – решение задачи закончено.
Но если мы определим количество альчиков у остальных мальчиков, то получим, что у Элдоса 33 + 37 = 70 альчиков, а у Максата 33 – 35 = – 2 аль- чика. Этого – отрицательного количества альчиков – конечно же, быть не мо- жет. Отсюда можно сделать вывод: Акбар дал неправильную информацию, и поэтому задача решения не имеет.
Упражнение 9
Кристина сказала, что она, Каным и Женгис вместе съели 37 конфет. При этом Каным съела на 17 конфет меньше, чем Кристина, и на 13 конфет больше, чем Женгис. Сколько конфет съела Каным?
Староста группы Никита подсчитал, что в течение первой четверти Намазбай, Курванжан и Николай получили 53 замечания от учите- лей. Сколько замечаний получил Николай, если он получил в три раза
меньше замечаний, чем Намазбай, и на 17 замечаний больше, чем Курванжан?
9009738014813.10
Задача
За 7 ч по течению реки пароход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Какова собственная скорость парохода, если скорость течения реки 2 км/час?
Решение
Обозначим через v собственную скорость парохода. Тогда скорость паро- хода по течению реки составит v + 2, а против течения: v – 2.
Так как по течению и против течения пароход проходит одинаковое рассто- яние, имеем уравнение: 7 (v + 2) = 11 (v – 2). Раскроем скобки: 7v + 14 = 11v – 22, приведём подобные члены: – 4v = – 36 и, разделив на – 4, получим v = 9.
Итак, собственная скорость парохода равна 9 км/час.
Правильность решения можно проверить, вычислив расстояние, пройден- ное по течению: 7 (9 + 2) = 77 км и против течения: 11 (9 – 2) = 77 км.
Упражнение 10
По шоссе с одинаковой скоростью идут две автомашины. Если пер- вая автомашина увеличит скорость на 10 км/час, а вторая уменьшит на 20 км/час, то первая за 4 часа пройдёт столько же, сколько вторая за 6 часов. С какой скоростью двигаются автомашины?
За 4 ч по течению реки пароход проходит тот же путь, что за 7 ч против течения. Какова скорость течения реки, если собственная скорость парохода 11 км/час?
13.11
Задача
В хоровой кружок записались в два раза боль- ше учеников, чем в танцевальный кружок. К концу года из хорового кружка ушли шесть учеников, а из танцевального – двое. Сколько учеников осталось в каждом кружке, если их в хоровом кружке на 7 больше, чем в танцевальном кружке?
Решение
Обозначим через х количество учеников, записавшихся в танцевальный кружок. Тогда количество учеников, записавшихся в хоровой кружок, равно 2x.
К концу года имеет место уравнение 2x – 6 – (x – 2) = 7. Раскроем скобки: 2x – 6 – x + 2 = 7, приведём подобные члены: x – 4 = 7 и получим x = 11.
Мы получили, что в танцевальный кружок записались 11 учеников; в хоро- вой кружок: 2 • 11 = 22 ученика.
К концу года в хоровом кружке остались: 22 – 6 = 16 учеников; в танце- вальном: 11 – 2 = 9 учеников.
Упражнение 11
На субботнике число учеников, подметающих территорию, было в че- тыре раза меньше числа учеников, мывших окна. После того как 6 мойщиков забрали на другие работы, а 12 перевели в подметальщики, число мойщиков и подметальщиков стало одинаковым. Сколько уче- ников подметали территорию вначале?
В начале учебного года в 5А классе число хорошистов было в два раза меньше числа троечников. К концу года 2 хорошиста стали отличника- ми, а 4 троечника стали хорошистами. В итоге число хорошистов ста- ло равно числу троечников. Сколько троечников было в начале года?
7569738016013.12
Задача
Штирлиц едет на встречу со своим агентом. Если он будет ехать со скоро- стью 90 км/час, то приедет на место на 1 час раньше намеченного срока, если же со скоростью 60 км/час, то приедет на место на 1 час позже намеченно- го срока. И тот, и другой вариант нежелательны, так как длительное пребы- вание на этом месте увеличивает вероятность провала. С какой скоростью должен ехать Штирлиц, для того чтобы приехать точно в срок?
Решение
Обозначив через t время до намеченного срока, получим, что расстояние до места встречи можно записать как 90 (t – 1), так и 60 (t + 1).
Поэтому 90 (t – 1) = 60 (t + 1). Раскрываем скобки: 90t – 90 = 60t + 60, приво- дим подобные члены: 30t = 150 и получаем, что t = 5 часов.
Следовательно, до места встречи 90 (5 – 1) = 360 км. Это расстояние мож- но найти и из второго условия: 60 (5 + 1) = 360 км. Теперь осталось разделить расстояние на время и получить искомую скорость: 360 : 5 = 72 км/час.
Упражнение 12
Руслан идёт на свидание. Если он будет идти со скоростью 85 м/мин, то придёт на место на 10 минут раньше намеченного срока, если же со скоростью 50 м/мин, то опоздает на 18 минут. С какой скоростью должен идти Руслан, чтобы прийти точно в срок?
Рита едет на встречу с подругой. Если она будет ехать со скоростью 180 м/мин, то придёт на место на 15 минут раньше намеченного срока, если же со скоростью 162 м/мин, то на 10 минут раньше намеченного срока. С какой скоростью должна ехать Рита, чтобы приехать точно в срок?

Аскар, Кубан и Нурсултан пробежали 90 км от Балыкчи до Чолпон-Аты. При этом каждый из них бежал по 2 часа, скорость Кубана была на 4 км/ час больше, чем скорость Аскара, а скорость Нурсултана – на 2 км/час меньше, чем скорость Кубана. Сколько км пробежал каждый?
Буратино бежит со скоростью 83 м/мин, за ним гонится Карабас Барабас. С какой скоростью должен бежать Карабас Барабас, чтобы догнать Буратино за 3 минуты, если в начальный момент расстояние между ними составляло 51 м?
Чинара едет со скоростью 58 км/час. Через 2 часа следом за ней вые- хал Азат. Догонит ли он Чинару за 4 часа, если едет со скоростью
74
84
92
78
97
88
98
71
i) 102
j) 113
k) 85 км/час?
Вадим и Лёня идут навстречу друг другу. Через сколько минут они встретятся, если скорость Вадима 65 м/мин, скорость Лёни на 10 м/ мин больше, а расстояние между ними равно 420 м?
Мушкетёры отправились из Парижа в Лондон за подвесками королевы со скоростью 250 м/мин. Через 10 минут вдогонку за ними со скоро- стью 270 м/мин поскакали гвардейцы кардинала. На каком расстоянии от Парижа произошла стычка между мушкетёрами и гвардейцами?
Расстояние от Парижа до замка кардинала Ришелье 216 км. Миледи направилась из Парижа в замок со скоростью 24 км/час. Через 2 часа в погоню за ней со скоростью 30 км/час бросились мушкетёры. Успела ли миледи доехать до замка?
На экзамене за каждый правильный ответ дают 5 баллов, за непра- вильный ответ отнимают 3 балла. Ученик дал 7 правильных ответов и получил 4 балла. На сколько вопросов отвечал ученик?
На экзамене за каждый правильный ответ дают 7 баллов, за непра- вильный отнимают 3 балла. Незнайка сказал, что отвечал на 17 вопро- сов и получил 125 баллов. Сколько правильных ответов дал Незнайка?
На экзамене за каждый правильный ответ дают 3 балла, за непра- вильный отнимают 1 балл. Незнайка сказал, что отвечал на 20 вопро- сов и получил 14 баллов. Сколько правильных ответов дал Незнайка?
На экзамене за каждый правильный ответ дают 7 баллов, за непра- вильный ответ отнимают 3 балла. Незнайка сказал, что дал 7 пра- вильных ответов и получил 4 балла. На сколько вопросов отвечал Незнайка?
Дорожники должны отремонтировать дорогу Бишкек – Кемин. Если они будут ежедневно ремонтировать 500 метров дороги, то превысят норму на 28 дней. Если же они будут ежедневно ремонтировать 700 метров дороги, то закончат работу на 20 дней раньше срока. Сколько всего метров дороги должны отремонтировать дорожники?
Аджара, Бектен и Султан за 20 минут налепили 320 пельменей. При этом Бектен за минуту лепил на один пельмень больше, чем Султан, и на два пельменя меньше Аджары. Сколько пельменей слепил каждый?
Асель прочитывает 44 страницы книги в час. Бакыт читает такую же книгу. Кто прочитал больше страниц, если Асель читала 13 часов, а Бакыт читал 11 часов со скоростью
47
54
48
68
57
46
58
67
52
63
65 страниц в час?
В двух мешках было по 40 кг муки. После того как из первого мешка взяли в три раза больше муки, чем из второго, муки в нём осталось в два раза меньше, чем во втором. Сколько муки осталось в каждом мешке?
7569737885213.13. Отношение
Отношение в математике (соотношение, доля) – это взаимосвязь между двумя числами одного рода (предметами, действиями, явлениями, свойства- ми (признаками), понятиями, объектами, например, школьниками, чайными ложками, единицами чего-либо одинаковой размерности), обычно выражае- мое как «a к b» или a:b, а иногда выражаемое арифметически как безразмер- ное отношение (результат деления) двух чисел, непосредственно отобража- ющее, сколько раз первое число содержит второе (не обязательно целое). При этом отношение a / (a + b) показывает долю первого числа в общем количестве.
Проще говоря, соотношение показывает для каждого количества чего-то одного сколько есть чего-то другого. Например, если в вазе для фруктов есть
яблок и 6 груш, соотношение яблок и груш составит 5:2 (что эквивалентно 15:6), а соотношение груш и яблок составит 2:5. Кроме того, количество яблок относительно общего количества фруктов составит 5:7 (что эквивалентно 15:21). Соотношение 5:7 можно преобразовать в дробь 5/7, показывающую, какую долю от общего числа фруктов составляют яблоки.
Задача
Эльмира за две четверти получила 165 пятёрок. Сколько пятёрок было получено в каждой четверти, если эти числа находятся в отношении 7:8?
Решение
Условия задачи нужно понимать следующим образом. Все пятёрки поде- лены на 7 + 8 = 15 равных частей. Если через х, обозначить число пятёрок, соответствующее одной части, то в первой четверти их было получено 7х, во второй – 8х, а общее число орешков будет равно 7х + 8х. Следовательно, имеет место уравнение 7х + 8х = 165.
Отсюда, 15х = 165, и, поэтому, х = 165/15 = 11.
Итак, выяснилось, что в первой четверти было получено: 7х = 7 • 11 = 77 пятёрок, а во второй четверти: 8х = 8 • 11 = 88 пятёрок.
Эсен определил, что в двух яшиках имеются 488 яблок, при этом чис- ла яблок в яшиках находятся в отношении 29:32. Сколько яблок в ка- ждом яшике?
У Эльдара 147 альчиков в двух мешочках. Сколько альчиков в каждом мешочке, если числа альчиков в мешочках находятся в отношении 9:12?
13.14. Доли

4538840-31891Задача
Саадат, Батма и Надя нашли клад, в котором было 4082 монет и поделили в отношении 8:7:11. Сколько монет досталось Батме?
Решение
Согласно сказанному при решении предыдущей задачи, имеет место уравнение 8х + 7х + 11х = 4082. Выполнив сложение в левой части уравнения, получим 26х = 4082. Отсюда, х = 4082/26 = 157. Следовательно, доля Батмы составила: 7х = 7 • 157 = 1099 монет.
Стороны треугольника находятся в отношении 5 : 4 : 3, периметр треу- гольника 1,32 метра. Чему равна самая короткая сторона треугольни- ка (в см)?
Тариэль, Айдын и Гульбара поделили 288 цыплят в отношении 7 : 8 : 3.
Сколько цыплят досталось Айдыну?
7569737824313.15. Масштаб
Масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.

Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину, поэтому при изображении большого объекта в ри- сунке, чертеже или макете, величину объекта уменьшают в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысячу и так далее. Число, показывающее, во сколько раз уменьшен изображённый объект, есть масштаб. Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому уве- личивает величину её изображения в несколько тысяч раз. Число, показыва- ющее, во сколько раз произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.
Масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесённая на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. Масштабы на картах и планах могут быть численными или именованными.
Численный масштаб записывают в виде отношения. Например, 1:100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см = 1 000 м = 1 км на местности.
Именованный масштаб показывает, какое расстояние на местности соответствует 1 см на плане. Записывается, например: «В 1 сантиметре 10 километров», или «1 см = 10 км».

Задача
На карте Кыргызской Республики с масштабом 1:1 000 000 расстояние между городами Исфана и Ош равно 28,8 см. Чему равно реальное расстоя- ние между этими городами (в км)?
Решение
Масштаб 1 : 1 000 000 означает, что одному сантиметру на карте соот-
ветствуют 1 000 000 реальных сантиметров. Это 10 000 реальных метров =
10 реальных километров.
Следовательно, между городами Исфана и Ош 288 км.
4300951273708Длина насекомого на рисунке 4,2 см. Чему рав- на реальная длина этого насекомого, если ри- сунок выполнен в масштабе 50 : 1.
На карте Кыргызской Республики с масштабом 1 : 1 000 000 расстояние между сёлами Кочкор и Ак Суу (Теплоключенка) равно 23 см. Чему равно реальное расстояние между этими сё- лами (в км)?

Определите по карте расстояние от вашего населённого пункта до бли- жайшего районного, областного центра.

В двух кассах стадиона продали 5934 билета. Сколько билетов было продано в каждой кассе, если количество проданных билетов находится в отношении 9 : 14?
Длины сторон прямоугольника находятся в отношении 8 : 17, периметр равен 250 сантиметров. Чему равна площадь прямоугольника?
У Бакаса три отары овец, в которых всего 1846 овец. Сколько овец в третьей отаре, если число овец в отарах находится в отношении 11 : 6 : 9.
На карте Кыргызской Республики с масштабом 1 : 1 000 000, расстоя- ние между городами Талас и Узген равно 21,2 см. Чему равно реаль- ное расстояние между этими городами (в км)?
Длина насекомого на рисунке 5,6 см. Чему равна реальная длина это- го насекомого, если рисунок выполнен в масштабе 250 : 1.
Ответы
13. 232 и 256. 14. 63 и 84. 15. 33 см. 16. 128 цыплят. 17. 0,084 см. 18. 230 км
Итоговые задания
15. 2322 и 3612. 16. 3400 см2. 17. 639 овец. 18. 212 км. 19. 0,0224 см.
§ 14.Соотношения между единицами измерения
Учитель. Маша, сколько нулей в миллионе?
Маша. Шесть.
Учитель. Вовочка, а сколько нулей в половине миллиона?
Вовочка. Три.
7569738016114.1
Задача
Если Айтегин поедет в школу и обратно на автобусе, то она затратит на дорогу 30 минут. Если же она поедет на автобусе и вернётся пешком, то затратит 1 час 10 минут. Сколько времени потратит Айтегин на дорогу, если пойдёт пешком в школу и так же вернётся обратно?
Решение
Из первого условия получаем, что дорога в один конец на автобусе зани- мает 15 минут. Тогда из второго условия получим, что дорога в один конец, пройденная пешком: 1 час 10 минут – 15 минут = (Важно помнить, что в одном часе 60 минут.) = 70 минут – 15 минут = 55 минут.
Поэтому Айтегин пройдёт пешком в школу и обратно за 2 • 55 = 110 ми- нут = 1 час 50 минут.
Упражнение 1.1
Винни-Пух и ослик Иа отправились в гости к Кролику. Винни-Пух потратил на дорогу 100 минут, Иа – один час и 40 минут. Кто пришёл раньше, если они вышли одновременно?
Если Анара поедет на работу и обратно на автобусе, то она затратит на дорогу 50 минут. Если же она пойдёт пешком и вер- нётся пешком, то затратит 1 час 50 минут. Сколько времени потратит Анара на дорогу,
если поедет на работу на автобусе и вернётся обратно пешком?
Упражнение 1.2. Пользуясь таблицей, впишите соответствующее число.
1 секунда__60__1 минута__60__1 час__24__1 сутки__7__1 неделя

a) 1 час = ____ секунд
7 минут = ____ секунд
5 часов 52 минуты 5 секунд = ____ секунд
1 сутки = ____ минут
3 суток 5 часов = ____ минут
5 суток 22 часа = ____ минут
10 суток 15 часов 52 минуты = ____ минут
3 недели = ____ часа
2 недели 6 дней = ____ часов
4 недели 5 часов = ____ часов
3 недели 2 дня 6 часов = ____ часов
июнь и ещё 2 недели = ____ дней
июль и ещё 3 недели = ____ дня
a) 4 часа = ____ минут
5 минут = ____ секунд
6 часов 2 минуты 52 секунды = ____ секунд
5 суток = ____ минут
2 суток 11 часов = ____ минут
3 суток 2 часа = ____ минут
5 суток 9 часов 3 минуты = ____ минут
2 недели = ____ часа
3 недели 5 дней = ____ часов
2 недели 15 часов = ____ часов
1 неделя 22 дня 5 часов = ____ часов
август и ещё 4 недели = ____ дней
ноябрь и ещё неделя = ____ дня
Упражнение 1.3. Впишите соответствующие числа.
a) 70 секунд = ___ минута ____ секунд
147 секунд = ___ минуты ____ секунд
247 минут = ____ часа ___минут
29 часов = ____ сутки ___часов
53 часа = ____ суток ___часов
15 суток = ____ недели ___суток
27 суток = ____ недели ___суток.
a) 87 секунд = ___ минута ____ секунд
272 секунды = ___ минуты ____ секунд
427 минут = ____ часа ___минут
39 часов = ____ сутки ___часов
63 часа = ____ суток ___часов
19 суток = ____ недели ___суток
29 суток = ____ недели ___суток
7569736617814.2
Задача
Общее время работы Гены и Вероники 5 часов. Сколько времени работал каждый, если Гена проработал на 40 минут больше?
Решение
Эту задачу несложно решить путём составления уравнения. Некоторая проблема заключается в том, что данные задачи приведены в разных единицах измерения. Поэтому нужно начать с решения этой проблемы. Преобразуем часы в минуты: 5 часов = 5 • 60 = 300 минут. Обозначим вре- мя работы Вероники за t. Тогда время работы Гены: t + 40, а уравнение: t + (t + 40) = 300. Приведём подобные члены: 2t = 260 и, разделив полученное уравнение на 2, получим t = 130.
Итак, Вероника работала 130 минут = 2 часа 10 минут, Гена: 130 + 40 = 170
минут = 2 часа 50 минут.
Упражнение 2.1
Белек и Рахат затратили на выполнение домашнего задания 2 часа 45 минут, при этом Белек затратил в 2 раза больше времени. Сколько времени затратил каждый?
Жээнбек и Ира затратили на выполнение домашнего задания 2 часа 24 минуты, при этом Ира затратила на 30 минут меньше. Сколько вре- мени затратил каждый?
Упражнение 2.2
Время, которое затратила на выполнение домашних заданий Катя, за пер- вую неделю равно k, за вторую – с. Сколько всего времени затратила на выполнение домашних заданий Катя за эти две недели, если
a) k = 40 мин 35 сек, c = 1 час 4 мин 25 сек
k = 46 мин, c = 1 час 24 мин
k = 1 сутки 14 часов, c = 14 часов
k = 42 часа 40 мин, c = 2 суток 45 мин
a) k = 54 мин 50 сек, c = 1 час 3 мин 10 сек
k = 52 мин, c = 1 час 17 мин
k = 1 сутки 6 часов, c = 17 часов
k = 2 суток 2 часа 14 мин, c = 1 сутки 53 мин
Упражнение 2.3
Пользуясь таблицей, впишите соответствующее число.
1 мм__ 10 __1 см_ _10_ _1 дм_ _10_ _1 м_ _1000_ _1 км,
где мм – миллиметр; см – сантиметр; дм – дециметр; м – метр;
км – километр.

1.a) 1 дм = ____ мм
7 дм = ____ см
5 дм 2 см 9 мм = ____ мм
d) 3 м = ____ см
e) 13 м 5 дм = ____ см
2.a) 7 см = ____ мм
2 дм = ____ мм
4 дм 8 см 1 мм = ____ мм
d) 35 м = ____ дм
e) 813 м 5 дм = ____ см
f) 125 м 22 см = ____ см g) 10 км 15 м = ____ м h) 2 км 192 м = ____ м
i) 13 км 573 м = ____ дм
f) 257 м 92 см = ____ см g) 5 км 522 м = ____ м h) 292 км 92 м = ____ м i) 33 км 738 м = ____ дм
Упражнение 2.4. Впишите соответствующие числа.
1.a) 270 мм = ___ дм ____ см b) 147 см = ___ дм ____ см c) 247 дм = ____ м __ _см d) 2935 м = ____ км ___м
2. a) 790 мм = ___ дм ____ см b) 467 см = ___ дм ____ см c) 47 дм = ____ м __ _см
d) 9135 м = ____ км ___м
e) 54063 м = ____ км ___м f) 15321 м = ____ км ___м
g) 275160 дм = ____ км ___м
e) 95063 м = ____ км ___м f) 71329 м = ____ км ___м
g) 735170 дм = ____ км ___м
Упражнение 2.5. Выполните действия.
a) 5 м 91 см + 7 дм 8 см
6 км 13 м – 2 км 286 м
47 мм + 51 см 4 мм;
a) 3 м 17 см + 17 дм 8 см
b) 16 км 312 м – 9 км 168 м
75 мм + 9 см 9 мм
7 дм 72 мм – 31 см 7 мм
e) 252 км 234 м – 250 км 342 м
f) 12 м 34 см – 2 дм 5 см
d) 5 дм 25 мм – 17 см 8 мм
e) 592 км 345 м – 501 км 254 м
21 м 49 см – 27 дм 6 см
7569736617814.3
Задача
Первая сторона треугольника равна 3 метрам, вторая на 33 см меньше, третья в 3 раза меньше суммы первой и второй сторон. Чему равен периметр треугольника?
Решение
Преобразуем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров. Поэтому длина первой стороны треугольника равна 300 см,
второй: 300 – 33 = 267 см, третьей: (300 + 267) : 3 = 189 см. Следовательно, периметр этого треугольника:
300 + 267 + 189 = 756 см = 7 м 56 см.
Упражнение 3
Противоположные стороны шестиугольника попарно равны. Чему ра- вен его периметр, если первая сторона равна 6 метрам, вторая в два раза меньше первой, а третья на 50 см больше второй?
Каждая из трёх сторон пятиугольника равна 32 см и больше каждой из остальных сторон на 25 мм. Чему равен периметр этого пятиугольника?
7569738014814.4
Задача
Периметр прямоугольника равен 3 метрам, длина больше ширины на 3 дм.
Чему равны длина и ширина прямоугольника?
Решение
Если длину обозначить х, то ширина равна: x – 3.
Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, имеет ме- сто уравнение 2x + 2 (x – 3) = 30, где 30 – периметр прямоугольника в дм. Раскроем скобки: 2x + 2x – 6 = 30; приведём подобные члены: 4x – 6 = 30; при- бавим к обеим частям уравнения 6: 4x = 36; разделим уравнение на 4: x = 9.
В итоге получаем, что длина прямоугольника равна 9 дм = 90 см, ширина прямоугольника равна 9 – 3 = 6 дм = 60 см.
Упражнение 4
Длина прямоугольника на 5 см больше ширины и на 5 дм меньше пери- метра прямоугольника. Чему равна длина прямоугольника (в дм)?
Первая сторона треугольника больше второй на 2 дециметра, вторая на 6 см больше третьей, периметр треугольника 2 метра. Чему равна третья сторона треугольника (в см)?
9009738016014.5
Для того чтобы найти площадь квадрата, сторону квадрата умножают на неё же. Поэтому умножение числа на себя называется возведением в квадрат и обозначается: а • а = а2
Площадь квадрата, сторона которого равна одному метру: 1 м • 1 м = 1 кв. м = один квадратный метр.
В соответствии с вышесказанным используется обозначение 1 м • 1 м = 1 м2.
Аналогично квадратный километр обозначается км2, квадратный санти- метр: см2 и т. д.

Соотношения между единицами площади легко получаются из соотноше- ний между единицами длины. Например: 1 м2 = 1 м • 1 м = 10 дм • 10 дм = 100 дм2.
Упражнение 5. Докажите, что:
1.a) 1 см2 = 100 мм2b) 1 км2 = 1000000 м2
2.a) 1 м2 = 10000 см2b) 1 дм2 = 100 см2
9009732110514.6
Одной из наиболее популярных единиц площади является гектар. Гектар (гa) – это площадь квадрата со стороной 100 м.
Также достаточно часто употребляется единица ар (a) – площадь квадра- та со стороной 10 м. Отметим, что вместо слова ар, особенно в разговор- ном языке, употребляют слово сотка. Выполнив следующее упражнение, Вы сможете узнать происхождение этого названия.
Упражнение 6. Докажите, что:
1.a) 1 га = 10000 м2b) 1 га = 10000 м2 = 100 а
2.a) 1 км2 = 100 гаb) 1 а = 100 м2
7569736617814.7
Задача
Фермер засеял прямоугольное поле пшеницей и с каждого гектара (гa) получил по 30 центнеров (ц). Сколько всего пшеницы собрал фермер, если длина поля – 800 метров, ширина – 750 метров?
Решение
Один гектар – это квадрат со стороной 100 м.
Поэтому площадь поля равна: 800 м • 750 м = 600000 м2 = 60 га. Отсюда следует, что величина урожая 60 • 30 = 1800 центнеров.
Упражнение 7
С каждого гектара картофельного поля прямоугольной формы Виктор получил 12 тонн картофеля. Сколько всего картофеля получил Виктор, если длина поля – 2 км, ширина – 250 м?
С картофельного поля прямоугольной формы Виктор получил 2400 тонн картофеля. Сколько тонн картофеля получил Виктор с гектара, если длина поля – 1 км 250 м, ширина на 50 м короче?
7569738014814.8
Задача
Удлинив две стороны квадрата на 5 см каждую, получили прямоугольник с периметром 17 дм. Определите площадь квадрата (в дм2).
Решение
Решение, как уже говорилось ранее, стоит начать с преобразования еди- ниц измерения в одинаковые: 17 дм = 17 • 10 см = 170 см. Теперь, обозначив сторону квадрата через x, получим, что прямоугольник имеет две стороны размером x и две стороны размером x + 5. (Понятно, что удлинены противо- положные стороны.)
Тогда периметр, с одной стороны, равен x + x + (x + 5) + (x + 5), с другой – 170 см. Итак, x + x + (x + 5) + (x + 5) = 170. Раскроем скобки и приведём по- добные члены: 4x + 10 = 170, перенесём 10 вправо: 4x = 160 и, разделив на 4, получим x = 40.
Мы получили, что сторона квадрата равна 40 см = 40 : 10 = 4 дм.
Следовательно, площадь квадрата: 4 дм • 4 дм = 16 дм2.
Упражнение 8
Сторона квадрата равна 2 см. Удлинив две его стороны, получили пря- моугольник площадью 500 мм2. Чему равен периметр этого прямоу- гольника (в мм)?
Удлинив две стороны квадрата в 2 раза каждую, получили прямоу- гольник с периметром 2 м 4 дм. Определите площадь квадрата (в дм2).
9009738016014.9
Так же, как был определён квадратный метр, введём кубический метр: объём куба с ребром 1 м равен 1 м • 1 м • 1 м, называется кубическим ме- тром и обозначается 1 м3.
Соотношения между единицами объёма так же, как и соотношения меж- ду единицами площади, легко получаются из соотношений между едини- цами длины.
Например, 1 дм3 = 1 дм • 1 дм • 1 дм = 10 см • 10 см • 10 см = 1000 см3.
При установлении соотношений между единицами объёма появляется достаточно много нулей. В этих и во многих других случаях удобно ис- пользовать множитель вида 10n. Для того чтобы записать число 10n, нуж- но написать единицу и приписать к нему n нулей. Например, 103 = 1000; 105 = 100000; 108 = 100000000.

Упражнение 9. Докажите, что:
1.a) 1 см3 = 1000 мм3 = 103 мм3b) 1 км3 =1000000000 м3 = 109 м3
2.a) 1 м3 = 1000000 см3 = 106 см3 b) 1 дм3 = 1000 см3 = 103 см3
9009722110514.10
Задача
Определить объём прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 6 метров, площадь основания – 25 ар.
Решение
Для того чтобы решить эту задачу, вспомним, что объём прямоугольного параллелепипеда V равен произведению длины a, ширины b и высоты h: V = abh, где ab есть площадь основания прямоугольного параллелепипеда – площадь прямоугольника, и то, что 25 ар равны 25 • 100 м2 = 2500 м2.
Нетрудно увидеть, что для прямоугольного параллелепипеда объём и пло- щадь основания связаны формулой V = Sh. Поэтому V = 2500 • 6 = 15000 м3.
Упражнение 10.1
Прямоугольный короб вмещает 1240 дм3. Определите площадь осно- вания (в дм2), зная, что высота – 2 метра.
Объём прямоугольной коробки равен 50000 кубических сантиметров. Определите высоту (в см), зная, что площадь основания – 25 дм2.
Упражнение 10.2. Дополните таблицу, использовав известные размеры прямоугольного параллелепипеда.
1.
Длина 2 дм 6 дм 2 км
Ширина 5 см 6 см Высота 4 см 2 дм 3 м Площадь основания 30 см2 16000 м2
Объём 18000 м3 48000 м3
2.
Длина 2 дм 100 см 3 км
Ширина 5 м 6 мм Высота 7 см 2 см 3 дм Площадь основания 3 см2 9000 м2
Объём 180 дм3 45000 м3
7569732110514.11
Задача
Марафонец пробежал 42 км 195 м за 2 часа 20 минут 39 секунд. Определите его скорость в метрах в секунду.
Скорость самолёта 810 км/час. Сколько метров он пролетит за 24 секунды?
Скорость автомобиля 900 м/мин. Сколько кило- метров он проедет за 2 часа?
Решение
Преобразуем данные в подходящие единицы из- мерения. Так как требуется узнать скорость в м/сек, то
расстояние выражаем в метрах, время – в секундах: 42 км 195 м = 42195 м; 2 часа 20 минут 39 секунд = 2 • 3600 + 20 • 60 + 39 = 8439 сек.
Следовательно, скорость марафонца равна 42195 : 8439 = 5 м/сек.
Здесь требуется узнать количество метров за секунды. Для этого преобразуем скорость в метры в секундах: 810 км = 81 • 10000 м = 81000 м; 1 час = 1 • 3600 = 3600 сек, следовательно, 810 км/час = 810000 : 3600 = 225 м/ сек. Отсюда получаем, что за 24 секунды самолёт пролетит: 225 м/ сек • 24 сек = 5400 м.
В этом случае нам нужны километры. Для этого сначала вычислим, сколько метров проедет автомобиль за 2 часа = 2 • 60 = 120 минут. Так как расстояние есть произведение скорости на время, автомобиль проедет: 900 м/мин • 120 мин = 108000 м. Мы получили, что за 2 часа автомобиль про- едет 108 км.
Упражнение 11.1
Скоростьавтомобиля84 км/час.Сколькометровонпроедет за 7 минут?
Всадник проскакал 30 км за 41 минуту и 40 секунд. Определите его скорость в метрах в секунду.
Скорость улитки 8 см/мин. Сколько дм она проползёт за 3 часа?
Скорость парохода 24 км/час. Сколько метров он проплывёт за 17 минут?
Поезд проехал 36 км за 40 минут. Определите его скорость в метрах в секунду.
Скорость муравья 15 дм/мин. Сколько метров он преодолеет за 2 часа?
Упражнение 11.2. Пользуясь таблицей, впишите соответствующее число.
1 мг __1000__ 1 г __1000__ 1 кг __100_ _ 1 ц __10_ _ 1 т
где мг – миллиграмм; г – грамм; кг – килограмм; ц – центнер; т – тонна.

1.a) 17 г = ____ мг
b) 3 кг = ____ мг c) 7 кг 9 г = ____ г d) 13 ц = ____ кг
e) 3 ц 5 кг = ____ кг
f) 2 ц = ____ г
g) 10 т 165 кг = ____ кг
h) 2 т 92 кг = ____ кг
i) 13 т 3 ц = ____ ц
2.a) 9 г = ____ мг
b) 4 кг 100 г = ____ мг c) 17 кг 91 г = ____ г d) 73 ц = ____ кг
e) 39 ц 55 кг = ____ кг
f) 1 ц 1 кг = ____ г
g) 8 т 659 кг = ____ кг h) 12 т 27 кг = ____ кг i) 343 т 9 ц = ____ ц
Упражнение 11.3. Впишите соответствующие числа.
1.a) 2970 мг = ___ г ____ мг
b) 7435 г = ___ кг ____ г c) 91035 г = ____ кг __ _г d) 247 кг = ____ ц ___кг
2.a) 32703 мг = ___ г ____ мг b) 170435 г = ___ кг ____ г c) 67038 г = ____ кг __ _г
d) 742 кг = ____ ц ___кг
e) 2905 кг = ____ ц ___ кг
f) 540 ц = ____ т ___ ц
g) 15321 кг = ____ т __ _ц ___кг h) 770644 кг = ____ т __ _ц ___кг
e) 90512 кг = ____ ц ___ кг
f) 4103 ц = ____ т ___ ц
g) 53721 кг = ____ т __ _ц ___кг h) 870694 кг = ____ т __ _ц ___кг
Упражнение 11.4
Выдающийся тяжелоатлет, олимпийский чемпион, многократный чем- пион мира Каныбек Осмоналиев, готовясь к соревнованиям, провёл три тренировки в день. На утренней тренировке он поднял 2 тонны и 236 кг, на дневной – 43 центнера и 15 кг, на вечерней – 3345 кг. Сколько кг он поднял за этот день?
На первом грузовике привезли 2 тонны и 47 кг угля, на втором – 4 тон- ны и 3 центнера, на третьем – 33 центнера и 245 кг угля. Сколько всего угля было привезено?

Время, которое Емеля пролежал на печи, за первый месяц равно m, за второй – n. Сколько всего времени пролежал на печи за эти два месяца Емеля, если:
m = 140 часов 15 минут, n = 19 суток 11 часов 54 минуты
m = 14 суток 16 часов, n = 167 часов
m = 21 сутки 14 часов, n = 17 суток 20 часов
m = 2 недели 3 суток 2 часа, n = 12 суток 25 часов
Сколько метров ограды понадобится для того, чтобы оградить пря- моугольный участок, площадь которого равна 48 га, а ширина – 600 метров?
Периметр прямоугольника равен 25 дм, длина больше ширины на 5 см. Чему равна площадь этого прямоугольника (в см2)?
Из квадратного куска материи со стороной 5 дм нарезали полоски ши- риной 5 см и сшили в ленту. Чему равна длина этой ленты?
Прямоугольный кусок ткани длиной 6 м, шириной 2 м разрезали на по- лосы шириной 25 см и составили из них ленту. Чему равна длина этой ленты?
Участок, на котором стоит дом Редискина, имеет прямоугольную фор- му с размерами 40 метров и 20 метров. После того как он «прихва- тизировал» часть улицы, увеличив длину участка, площадь участка стала равняться 840 квадратным метрам. На сколько метров стала ýже улица?
Скорость автомобиля 1400 м/мин. Сколько километров он проедет за 3 часа?
Скорость бегуна 4 м/сек. Сколько километров он пробежит за 5 часов?
Бегун пробежал 1 км 500 м за 4 минуты 10 секунд. Определите его ско- рость в метрах в секунду.
Скорость самолёта 846 км/час. Сколько метров он пролетит за 43 минуты?
Карлсон ежедневно съедал по 2 кг 40 г конфет. Сколько граммов кон- фет он съел за 3 дня?
Фермеры собрали 3 т капусты, 736 кг моркови и 3 ц 57 кг лука. Сколько всего кг овощей было собрано?
Первая сторона треугольника равна 8 дециметрам, вторая на 5 см больше, периметр треугольника – 2 метра. Чему равна третья сторона треугольника (в см)?
Пловец провёл три тренировки в день. На утренней тренировке он проплыл 2 км и 375 м, на дневной – 3 км и 25 м, на вечерней – 2350 м. Сколько метров он проплыл за этот день?
§ 15.Обыкновенные дроби
Мама спрашивает сына:
– Ты сам съел пирожные или поделился с сестрой?
– А три пирожных на двоих не делятся.
7569738016015.1
Обычно для описания окружающей нас действительности достаточно це- лых чисел: в нашей семье восемь человек; Жантемир получил 3 «пятёрки»; Айбике научилась считать до 20 – и тому подобное.
Но в то же время достаточно часто возникают ситуации, в которых необхо- димо использовать дробные числа. Например:
Большой арбуз съели четыре друга – каждому из них досталась четвёртая часть.
.
4
Четвёртая часть на математическом языке – это 1
7
7
Семь подруг купили торт и разделили на семь равных частей. Но Асель отказалась от своего кусочка – у неё очередная диета. Поэтому Бермет до-
сталось два кусочка:
Задача 1.1
2 торта. Остальные съели
5 торта.
Попрыгунья Стрекоза половину каждых суток красно- го лета спала, третью часть суток танцевала, шестую часть каждых суток пела. Оставшееся время она го- товилась к зиме. Сколько часов в сутки попрыгунья Стрекоза готовилась к зиме?
Решение
2
3
Условия задачи можно записать, используя ма- тематические знаки. Это будет выглядеть следую-
щим образом: 1
1 суток – на сон,
1 суток – на танцы,
6 суток – на пение.
2
Обозначение 1 суток означает, что сутки надо разделить
на две части и взять одну из них – то есть 24 : 2 = 12 часов каждые сутки Стрекоза спала.
3
Соответственно, следуя обозначению 1 суток, делим сутки на три части
по 24 : 3 = 8 часов и получаем время, которое Стрекоза протанцевала.
6
А пропела она, в соответствии с обозначением 1 суток, время, равное
24 : 6 = 4 часам. Сложив полученные числа: 12 + 8 + 4 = 24 часа, обнаружива- ем, что к зиме попрыгунья Стрекоза не готовилась.
Задача 1.2
Сосед попрыгуньи Стрекозы (см. предыдущую задачу) – Муравей – чет- вёртую часть каждых суток развлекался, ещё четвёртую часть тратил на те- кущие дела, три восьмых времени каждых суток спал, а в остальное время готовился к зиме. Сколько часов в сутки Муравей готовился к зиме?
Решение
Перепишем условия:
4
3

1 суток – на развлечения,

4
1 суток – на текущие
дела, 8 суток – на сон.
Так как 1 суток равны 24 : 4 = 6 часам, получаем, что на развлечения и
4 3
на текущие дела Муравей тратил по 6 часов каждые сутки. Условие 8 суток
означает, что сутки делятся на восемь равных частей и из них берутся три части.
Поскольку 24 : 8 = 3, восьмая часть суток равна 3 часам. Берём три такие части и получаем: 3 • 3 = 9 часов, которые Муравей посвящал сну. Вычитаем полученные значения из полного времени суток – двадцати четырёх часов: 24 – 6 – 6 – 9 = 3 – и узнаём, что Муравей тратил 3 часа в сутки на подготовку к зиме.
23648
и им подобные называются обыкновенными (простыми) дробями. При этом
число, записанное над чертой, называется числителем дроби, под чер- той – знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько частей нужно разделить исследуемый объект – числитель – сколько таких частей нужно взять.
Черта между числителем и знаменателем понимается как знак деления.
Выражения 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , которые мы использовали в задачах 1 и 2,
То есть 3 = 3 : 8, 12 = 12 : 19, 12 = 12 : 5.
8
19
5
Обыкновенные дроби, у которых модуль числителя меньше модуля знаменателя, называютсяправильными, остальные– неправильными.
Например, 1 ; –3 ; 3 – правильные дроби;
11
4 ; 8 ; –1
87 4 – 8
4
681
;
162
– неправильные дроби.
Обыкновенные дроби также могут быть записаны с помощью косой черты:
1 = 1/4; 3 = 3/8; 11 = 11/4; –17 = – 17/6.
4
8
4
6

Упражнение 1.1. Вычислите.
3 от 85 b) 7 от 45 c) 7 от 45 d) 12
5 5 9 5
4 от 45 1b) 2 от 75 с) 17 от 10 0 d) 12
11 15 25 19
a)
a)

от – 15
от – 76
Упражнение 1.2
В классе 25 учащихся, 3/5 из них – девочки. Сколько мальчиков в этом классе?
У Керима 3800 сомов, у Жамили 12/19 денег Керима. Сколько денег у Жамили?
7569738016015.2
В одном часе 60 минут. А сколько часов в одной минуте?
В одной минуте одна шестидесятая часть часа. Этот факт записывают
60
следующим образом: 1 мин = 1 часа.
В одних сутках 24 часа. Следовательно, в одном часе одна двадцать чет-
24
вёртая суток: 1 час = 1 суток.
А сколько часов в семи минутах?
Так как 1 мин = 1 часа, то 7 мин =
7 часа.
6060
100
А сколько часов в ста минутах? 100 мин = 60
Упражнение 2
a) Сколько суток в 15 часах?
Сколько часов в 37 минутах?
Сколько сантиметров в 9 миллиметрах?
Сколько метров в 3 дециметрах?
часа.
Сколько квадратных километров в 787 м2?
Сколько аров в 11 м2?
Сколько центнеров в 719 килограммах?
Сколько тонн в 27 центнерах?
a) Сколько недель в двух сутках?
Сколько минут в 17 секундах?
Сколько метров в 11 сантиметрах?
Сколько километров в 333 метрах?
Сколько квадратных метров в 77 см2?
Сколько гектаров в 27 м2?
Сколько килограммов в 378 граммах?
Сколько тонн в 72 центнерах?
7569738014815.3
Задача 3.1
Света покупает 2 килограмма моркови по цене 18 сом/кг и подаёт 50 со- мов продавцу. Сколько денег она получит обратно?
Решение
Так как стоимость покупки 18 • 2 = 36 сомов, она должна получить обратно 50 – 36 = 14 сомов.
На математическом языке этот процесс можно записать так:
50 = 18 • 2 + 14, или
50 = 2 14 .
возможно, кто-то в своё время поленился писать всё время знак «плюс» в смешанной дроби и предложил другим не писать этот знак, понимая при этом, что он присутствует. Остальные тоже оказались достаточно ленивы и согласились.
18
18
Если быть очень правильным, то стоило бы писать 50 = 2 + 14 , но,
14
стью, 18 – дробной частью, 14 – остатком от деления числа 50 на 18.
18
Выражение 2 14 называется смешанной дробью, число 2 – целой ча-
1818
Задача 3.2
Сауле подаёт продавцу 100 сомов и говорит: «Дайте мне, пожалуйста, на все деньги мороженого». Сколько денег она получит обратно, если порция мороженого стоит 17 сомов?
Решение
Путём перебора легко установить, что денег хватит на 3 порции: 17 • 3 = 51; на 4 порции: 17 • 4 = 68; на 5 порций: 17 • 5 = 85.
Так как 17 • 6 = 102, на 6 порций 100 сомов не хватит.
Следовательно, Сауле получит 5 порций мороженого и сдачу: 100 – 85 = 15 сомов.
На математическом языке этот процесс можно записать так:
100 = 17 • 5 + 15, или
100 = 5 15 .
1717
Выражение можно прочитать следующим образом: на 100 сомов можно купить 5 порций мороженого. Шестую порцию купить не удастся, потому что имеется только 15 сомов из необходимых 17 сомов.
Упражнение 3
1) Оксана подаёт продавцу 100 сомов и говорит: «Дайте мне, по- жалуйста, 3 литра молока». Сколько денег она получит обратно, если литр молока стоит 33 сома? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
2) Полина подаёт продавцу 500 сомов и говорит: «Дайте мне, пожа- луйста, на все деньги пельменей». Сколько денег она получит об- ратно, если упаковка пельменей стоит 83 сома? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
1) Эльмира подаёт продавцу 50 сомов и говорит: «Дайте мне, пожа- луйста, 2 пачки жвачки». Сколько денег она получит обратно, если
пачка жвачки стоит 19 сомов? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
2) Зарина подаёт продавцу 200 сомов и говорит: «Дайте мне, пожа- луйста, на все деньги сока». Сколько денег она получит обратно, если банка сока стоит 87 сомов? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
7569738016115.4
Задача
Две очень честные подруги купили 6 килограммовых упаковок сахара. Для того чтобы все было очень честно, они поделили каждую упаковку пополам. Сколько килограммов сахара досталось каждой?
Решение
Каждая из подруг из каждой упаковки получила по полкилограмма саха- ра – всего 3 кг. Ответ – 3 кг – был, конечно, понятен с самого начала, а этот пример нам понадобился для того, чтобы проиллюстрировать правило ум- ножения целого числа и обыкновенной дроби.
21
21 ;
3-й пример показывает, что 12 от 7 равны 4.
4
равна
от 4
1
21
на 3; результат 2-го примера говорит, что
обыкновен- части это- от 6 рав-
2
1
гочисла.Так,согласнорезультату1-гопримера,
нуюдробьявляетсявычислениемсоответствующей
на
числа
умножение
(В 1-м и 3-м примерах, кроме умножения числа на дробь, мы воспользо- вались тем, что дробная черта соответствует делению.)
Следуетзаметить,что
21
21
21
21
22
тель дроби. Например: 1) 6 • 1 = 6 = 3; 2) 1 • 4 = 4 ; 3) 12 • 7 = 84 = 4.
Для того чтобы умножить целое число на обыкновенную дробь (или обыкновенную дробь на целое число), нужно это число умножить на числи-

Упражнение 4. Выполните действия.
1. a) 16 •
4b)
10 • 14c)
2 • 77d) 100 •
3 e)5•
121 2
271125
3 b) 5 • 43 c) 3 • 48 d) 140 • 11 e) 4 • 5
1771 8 70 7
7 • 11f) 13
• 7 • 3
2. a) 8 •
9
31 f)
37 • 2 • 13
9009736617815.5
Задача
Степан получил дома четверть пирога и, выйдя во двор, поровну поделил- ся с Бектуром. Какая часть пирога досталась Бектуру?
Решение
Ответ, опять же, понятен – восьмая часть, а пример иллюстрирует прави- ло деления обыкновенной дроби на целое число.
4• 312
7• 211474
4• 287
4
1 : 2 = 1 = 1 ; 4 : 21 = 4 = 4 ; 11 : 3 = 11 = 11 .
Для того чтобы разделить обыкновенную дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, отли. Например:

Упражнение 5.1. Выполните действия.
1. a) 4 : 3b) 12 : 5c)

21 : 17d) 5 •
13 : 2e)12•
10 21
1251127
29 : 2 f) 7 • 9
: 2 : 6
2. a) 5 : 4b)
27 : 3c) 18 : 71d) 7 • 17 : 4e)11•
20 16
1533123
94 : 3 f) 3 • 7 • 29 : 5
Упражнение 5.2
Усен разделил дыню пополам, а затем одну половину поделил по- ровну между четырьмя внуками и внучками, а вторую половину по- делил поровну между пятью детьми. Какая часть дыни досталась внучке Айканыш, какая – сыну Аскару?
Досбол нашел 150 сомов. Эти деньги он разделил на 3 равные ча- сти. Одну часть отдал Толобеку, одну – Зареме, одну оставил себе. Затем половину своих денег он отдал Эрболу. Какая часть находки в итоге осталась у Досбола? Сколько сомов он отдал Эрболу?
Задача
Сания и Лена разрезали арбуз на десять рав- ных кусков и взяли по пять кусков. Какая часть арб- уза досталась каждой?
Торт разрезали на девять равных кусочков. Три из них схватил Карлсон. Какая часть торта до- сталась Карлсону?
Решение
Ответы – половина и третья часть – иллюстрируют следующее свойство обыкновенной дроби.
1029344012
5 = 1 ; 3 = 1 ; 1 = 10 = 3 .
Обыкновенная дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число. Например:

=
4
=
10
2
Упражнение 6. Верны ли равенства?
a)
25
=
=
100
1e) 5 • 3 3
21
b)
15
f)
210
5 1
7016
15 • 7 =
15•7
= 5
21
=
=
c)
81 9 3
6216923
=
=
d)
72 8 4
=
20
=
20
2
2403015
18 : 3 =
g)
h)
62
24
7 • 4 =
9 3
=
31•331
=
7• 4 7
248
2. a)
5
100
1e) 6 • 3 3
b)
50
4 =
210
5 1
=
=
4
f)
21
51
= 2
g)
26
102
51•4 102
c)
18
1242
2 1
=
=
h)
24
13868
18 : 6 =
9 3
=
13•626
d)
72
240
9 3
=
=
3010
9 • 6 =
9• 618
=
243
7569738016015.7
«Какую часть очень вкусного пирога Вы предпочтёте: половину или одну третью часть?» «Что за глупый вопрос, – отвечали мне знакомые мальчики и девочки, – конечно, половину – она больше!» Видимо, можно было задать следующий вопрос: «Если очень вкусный торт разделён на несколько кусоч- ков, сколько кусочков: один или два, Вы предпочтёте?» – но я не решился. Дети могли подумать, что дядя этот очень странный, раз он задает такие вопросы.
2377
Из сказанного следует, что даже маленькие дети умеют сравнивать неко-
торые обыкновенные дроби. Они знают, что
1 > 1 , а 2 > 1 .
32345210762176
меньший знаменатель. Например: 129 > 129 ; 512 > 512 .
больший числитель. Например: 19 > 12 ; 52 > 51 ;
23237676
- если дроби имеют одинаковые числители, то большая дробь имеет
В более общем случае для положительных дробей справедливы правила:
- если дроби имеют одинаковые знаменатели, то большая дробь имеет

176176
23176176
23
ложный. Например: 9 > 0; 0 > – 12 ; 152 > 91 , поэтому – 152 < – 91 .
23
- если одно положительное число больше другого, то для противопо-
ложных им отрицательных чисел неравенство также противоположное. Иногда это правило формулируют таким образом: если умножить нера- венство на «минус один», то знак неравенства меняется на противопо-
23
тельного числа. Например: 9 > 0; 0 > – 12 ;
Для дробей также действуют правила, которые справедливы для целых чисел:
- все положительные числа больше нуля; нуль больше любого отрица-

Задача. Верны ли неравенства?
a) 25 < 21d) 72 > 72 g) – 18 > – 9
123
123
240
230
6233
b) 15 > 13e) 3 > 5
21211020
c) 81 > 81f) 15 < 5
621
Решение
629
218
25 < 21 – это неравенство неверно. Дроби имеют одинаковые знаме-
123123
натели, а числитель 1-й дроби больше.
15 > 13 – это верное неравенство.
2121
81 > 81 – это верное неравенство. Дроби имеют одинаковые числите-
621629
ли, а знаменатель 2-й дроби больше.
72 > 72 – это неравенство неверно. Дроби имеют одинаковые числи-
240230
тели, а знаменатель 2-й дроби меньше.
3 > 5 – это верное неравенство. На первый взгляд кажется, что у нас
1020
нет правила для сравнения: и числители, и знаменатели разные. Но это не- большая проблема – умножив числитель и знаменатель 1-й дроби на 2, по-
лучим
3 = 6 > 5 .
102020
15 < 5 – это неравенство неверно. Умножив числитель и знаменатель
218
5 15
15
2-й дроби на 3, получим 8 = 24 . Но последняя дробь меньше, чем 21 , пото-
му что при одинаковых числителях 15 имеет больший знаменатель.
18 924
– 62 > – 33 – это неверное неравенство. Умножив числитель и зна-
менатель 2-й дроби на 2 и рассмотрев дроби без знака «минус», получим
верное неравенство 18 > 18 . Но, когда появится знак минус перед обеими
6266
дробями, верным становится противоположное неравенство.
Упражнение 7. Сравните дроби.
a)
25 и 19d) – 72 и – 72g) – 81 и – 9
6161
230
320
6213
b) 15 и
15e)
3 и 63h) – 1 и – 7
210
270
10200
1284
c) – 81 и – 92f)
15 и
75
626221120
2. a)
35 и
19d)
72 и 3g) – 2 и – 10
255
255
25010
1368
b) 57 и
57e)
5 и 1h) – 2 и – 7
2
210
c) 136
221
и
1
68
10025
f)
и
50 5
21022
136
408

Вычислите.
17
5 от 85d)
15
7 от 45e)
3
7 от 45f)
7 от 100g)
50
11
4 от 121h)
15
2 от 135
17 от – 135
45
16
21 от – 64
В классе 28 учащихся, 4/7 из них – девочки. Сколько мальчиков в этом классе?
У Аиды 39000 сомов, у Атыры 12/13 денег Аиды. Сколько денег у Атыры?
1) Сколько суток в пяти часах?
Сколько часов в 30 секундах?
Сколько дециметров в 17 сантиметрах?
Сколько сантиметров в 38 миллиметрах?
Сколько квадратных метров в 737 см2?
Сколько аров в 287 м2?
Сколько тонн в 370 килограммах?
Сколько тонн в 712 граммах?
Ирина подаёт продавцу 500 сомов и говорит: «Дайте мне, пожалуй- ста, 3 кг апельсинов». Сколько денег она получит обратно, если кило- грамм апельсинов стоит 130 сомов? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
Маша подаёт продавцу 200 сомов и говорит: «Дайте мне, пожалуйста, 2 бутылки сока». Сколько денег она получит обратно, если бутылка сока стоит 79 сомов? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
Катя подаёт продавцу 1000 сомов и говорит: «Дайте мне на все деньги кофе, пожалуйста». Сколько денег она получит обратно, если банка кофе стоит 375 сомов? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
Давид подаёт продавцу 100 сомов и говорит: «Дайте мне на все день- ги печенье, пожалуйста». Сколько денег он получит обратно, если упаковка печенья стоит 18 сомов? Запишите процесс покупки в виде смешанной дроби.
Женя разделил докторскую колбасу пополам, а затем четвёртую часть одной половины отдал собаке. Какая часть колбасы доста- лась собаке?
У Улана было 250 овец. Половину овец он отправил на джайлоо, а пя- тую часть оставшихся овец продал, чтобы достроить свой дом. Какая часть овец была продана? Сколько овец было продано?
25 и 25 e) 63 и 63 i) 17 и 193
6261 190 200 25250
Сравните дроби.
a)m) – 5 и – 1
b)
15
270
17
и
270
135
f)
240
75
и
120
57
j)
210
19
и
70
150
n)
и
50
210
25
15
70
c) – 81 и – 81g) – 81 и – 19k)
2 и
11o)
2 и
10
6267
5213
1768
1378
d) – 72 и – 77 h) – 1 и – 7l) – 72 и – 13 p)
2 и – 7
320
3201584
25050
136
418
12. Пусть А = {4/7; 5/7; 6/7}, B = {5/6; 25/35; 5/8}. Найдите:
A»Bc) A \ B
AÆBd) B \ A
§ 16.Десятичные дроби. Сложение и вычитание
– Два плюс два будет четыре! – радостно восклицает маленький Сергей.
– Не всегда,– горько вздыхает его старший брат пятиклассник. –
Из двух «двоек» «четверка» никак не выйдет.
7569738016116.1
3888003355039Так как мы используем десятичную позиционную систему записи чисел, самыми удобными в использовании дробями являются деся-
тичные дроби – дроби со знаменателями 10, 100, 1000, 10000…
Эти дроби первым в 15-м веке начал последо- вательноприменятьзнаменитыйсреднеазиат- ский математик и астроном Джемшид ибн Масуд аль-Каши.
Записывают и читают десятичные дроби следу- ющим образом:
10
7 = 0,7 – ноль целых семь десятых;
100
29 = 0,29 – ноль целых двадцать девять сотых;
10
– 2 9 = – 2,9 – минус два целых девять десятых;
1000
5 179 = 5,179 – пять целых сто семьдесят девять тысячных;
10000
15 3= 15,0003 – пятнадцать целых три десятитысячных.
Из приведённых примеров видно, что при десятичной записи после запя- той записывают числитель дроби, при этом количество цифр после запятой совпадает с количеством нулей в знаменателе. Если количество цифр в чис- лителе меньше количества нулей в знаменателе, то недостающее количе-
ство дописывают в виде нулей сразу после запятой: 13 = 013 = 0,013; 11
9 0009
77
00077
1000
1000
10000 = 11 10000 = 11,0009; 100000 = 100000
= 0,00077.
Упражнение 1. Перепишите дроби в десятичной форме.
1. a) 15d) – 117g) – 71 12j) – 12 9
100
1000
1000
10000
b) 1 2e) – 2 19h)
17
10
c)
107
1000
100
f)
1
100
1000
i)
117
100000
2. a)
5d) – 72g) – 23 919j) – 11 91
10100
10000
100000
b) 1 21e) – 25 919h) 7
100
1000
1000
c)
3107
10000
11
f)
1000
11
i)
10000
В отличие от нас, в Англии, США и некоторых других странах дробную часть отделяют от целой с помощью точки, а если целая часть равна нулю, то нуль часто не пишут.
Например, у нас пишут 7,135, у них: 7.135; у нас пишут 0,75, у них: .75. То же вы можете видеть на дисплее калькулятора.
Громадное удобство десятичных дробей в том, что с ними практически всегда, обращаются как с целыми числами. При этом стоит отметить, что лю- бое целое число можно считать десятичной дробью: 5 = 5,0; – 77 = – 77,00...
9009738016016.2
Сравнение десятичных чисел:
больше то число, чья целая часть больше: 12,003 > 9,77 (это для положи- тельных чисел, для отрицательных – наоборот – 17,3 < – 15,6)
если целые части равны, то больше число, имеющее бóльшую первую цифру после запятой, если и они равны, то бóльшую вторую цифру после запятой…(это для положительных чисел, для отрицательных – наоборот) Например: 12,93 > 12,77; 17,323 < 17,326; – 12,003 > – 12,77; – 17,3 < – 17,16.

Упражнение 2. Сравните числа.
1.a) 13,17 и 12,45d) 0,17 и 0,122 g) 110,7 и 110,72
b) 7,812 и 7,343e) – 2,9 и – 2,56h) 3,152 и 3,156
c) – 10,17 и 9,03 f) – 12,79 и – 3,506i) – 2,1509 и – 2,1506
2.a) 9,7 и 2,9d) 0,712 и 0,432g) 90,97 и 90,9
b) 3,812 и 3,943 e) – 8,19 и – 8,56h) 315,2 и 315,6
c) – 90,73 и 9,03 f) – 12,079 и – 33,506 i) – 32,50973 и – 32,50976
9009728016016.3
Для того чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, нужно:
уравнять количество цифр после дробной запятой, дописав при необхо- димости нужное количество нулей справа;
затем так же, как при работе с целыми числами, расположить числа друг под другом и произвести действия, не обращая внимания на дробную запятую.

Задача
Вычислите.
a) 2,01 + 12,14c) 0,107 – 0,03e) – 12,09 – 23,456
b) 7,812 + 1,3d) 0,00117 – 0,2 f) 7 – 0,37
Решение
Задание a) – самое простое. Нужно просто записать числа друг под дру- гом и сложить:
+ 2,01
12,14
14,15
При выполнении задания b) полезно добавить два нуля в конце второго слагаемого:
+ 7,812
1,300
9,112
В задании c) добавить один нуль в конце вычитаемого:
– 0,107
0,030
0,077
Задание d) будет выполнено в 2 этапа.
На первом нужно увидеть, что уменьшаемое меньше вычитаемого, и ис- пользовать скобки: 0,00117 – 0,2 = – (0,2 – 0,00117).
На втором этапе следует дописать нужное количество нулей, произвести вычитание:
– 0,20000
0,00117
0,19883
и записать ответ: 0,00117 – 0,2 = – 0,19883. Задание e) также удобно выполнить в 2 этапа.
На первом этапе использовать скобки: – 12,09 – 23,456 = – (12,09 + 23,456). На втором этапе дописать нужное количество нулей, произвести сложение
+ 12,090
23,456
35,546
и записать ответ: – 12,09 – 23,456 = – 35,546.
В задании f) добавим дробную запятую и два нуля в конце уменьшаемого:
– 7,00
0,37
6,63
Очень важное примечание
С десятичными дробями легко работать, используя калькулятор. Так, для того чтобы получить ответ ко второму заданию,
наберите на дисплее калькулятора 7.812;
нажмите кнопку «+»;
наберите на дисплее калькулятора 1.3;
нажмите кнопку «=».
Если Вы всё сделали правильно, на дисплее калькулятора высветится число 9.112.
Чтобы получить ответы к заданиям d) и e), не требуется прибегать к помо- щи скобок.
Так, в задании d)
наберите на дисплее калькулятора 0.00117;
нажмите кнопку «–»;
наберите на дисплее калькулятора 0.2;
нажмите кнопку «=».
Если Вы всё сделали правильно, на дисплее калькулятора высветится число – 0.19883.
В задании e)
наберите на дисплее калькулятора 12.09;
нажмите кнопку «+/–» – на дисплее калькулятора высветится число
– 12.09;
нажмите кнопку «–»;
наберите на дисплее калькулятора 23.456;
нажмите кнопку «=».
Если Вы всё сделали правильно, на дисплее калькулятора высветится число – 35.546.
К сожалению, в некоторых случаях, к счастью – в других, иногда под рукой не бывает калькулятора, иногда ими запрещают пользоваться.
Поэтому мы рекомендуем выполнить нижеприведенные задания как с по- мощью калькулятора, так и без него.
Упражнение 3. Вычислите.
1. 1) 12,17 + 2,454) 0,17 – 0,0227) 110,7 – 122
2) 7,812 + 0,3435) – 2,9 + 3,568) 29 + 3,156
3) 10,17 – 9,036) – 12,79 – 3,5069) – 2,9 + 0,1506
2. 1) 1,217 + 21,415 4) 0,715 – 0,0327) 11,7 – 1,22
2) 78,12 + 0,435) – 12,19 + 13,618) 29,12 + 3
3) 15,57 – 11,326) – 2,79 – 13,5069) – 5,19 + 0,526
9009738016016.4
Задача
На пустой бочке для мёда сохранилась надпись: брутто: 178,16 кг; нетто: 145,4 кг. В неё положили 142,5 кг мёда. Что теперь нужно написать на бочке?
Примечание
Слово брутто означает вес товара с упаковкой, нетто – вес товара без упаковки.
Решение
Сначалапостарымзаписямнайдёмвеспустойбочки: 178,16 – 145,4 = 32,76 кг.
Следовательно, бочка с мёдом стала весить: 142,5 + 32,76 = 175,26 кг. Поэтому на бочке надо написать: брутто – 175,26 кг; нетто – 142,5 кг.
Упражнение 4
На коробке с яблоками надпись: брутто – 18,126 кг; нетто – 17,24 кг. Каков вес яблок? Сколько весит пустая коробка?
На ящике с грушами надпись: брутто – 13,31 кг; нетто – 11,724 кг. Каков вес полного ящика? Сколько весит пустой ящик?
7569738016016.5
Возьмите ручку и две спички (можно мысленно). Можно ли из них соста- вить треугольник? Если это обычная ручка и обычные спички, то нельзя. Этот факт иллюстрирует одно из свойств сторон треугольника.
Длина большей стороны треугольника всегда меньше суммы длин остальных сторон.

Упражнение 5.1. Проверьте, могут ли стороны треугольника иметь ука- занные размеры.
1. 1) 22,57 см; 2,45 см; 19,97 см3) 10,147 км; 9,03 км; 19,108 км
2) 7,812 м; 9,31 м; 1,9343 м4) 0,17 м; 0,22 м; – 0,29 м
2. 1) 225,7 мм; 245 мм; 199,73 мм 3) 1,47 км; 837,6 м; 2,281 км
2) 7,812 м; 9,31 м; – 1,9343 м4) 10,7 м; 19,22 м; 8,49 м
Упражнение 5.2
Определите периметр треугольника, первая сторона которого рав- на 11,73 см, вторая – на 2,92 см меньше, третья – на 3,4 см меньше первой.
Определите периметр четырёхугольника, у которого первая сторо- на 21,073 м, вторая равна первой, третья больше первой на 12,2 м, а четвёртая – меньше первой на 5,17 м.
9009736617816.6
Задача
Ограбив короля, разбойники «по-честному» поделили добычу. Атаманше досталась половина, Бывалому – четверть, а Трусу досталась десятая часть добычи. Какая часть добычи досталась Балбесу11?
Решение
Половина – это одна из двух равных частей. Для того чтобы записать одну вторую в виде десятичной дроби, умножим и числитель, и знаменатель
на пять:
1 = 1• 5 = 5 = 0,5.
22• 510
Итак, половина в виде десятичной дроби записывается как 0,5.
Четверть – это одна из четырёх равных частей. Для того чтобы записать одну четвёртую в виде десятичной дроби, умножим и числитель, и знамена-
тель на двадцать пять: 1 = 1• 25 = 25 = 0,25. Итак, четверть в виде десятич-
44• 25100
ной дроби записывается как 0,25.
Десятая часть – это 0,1.
ПросуммируемдолиАтаманши,БывалогоиТрусаиполучим: 0,5 + 0,25 + 0,1 = 0,85.
Отсюда следует, что Балбес получил: 1 – 0,85 = 0,15 от всей добычи.
Так как указанные доли и ещё несколько других часто встречаются, офор- мим результаты в виде таблицы.
2
Полтора = 1 1 = 1,5.
1
Восьмая часть = 8 = 0,125.
5
Пятая часть = 1 = 0,2.
1
Четверть = 4 = 0,25.
2
Половина = 1 = 0,5.

Упражнение 6
Динура купила полкило лука, четверть килограмма чеснока и полто- ра килограмма моркови. Сколько всего кг овощей купила Динура?
У Гали было полторы упаковки лекарственных трав. Четверть упа- ковки она отдала больным одноклассникам, а пятую часть упаковки заварила. Сколько у неё осталось?

11 Задача написана по мотивам сказки «Бременские музыканты».
7569736617816.7
4140136-21975Задача
В начале весны на уроке появился незнакомец. Он скромно представился: «Волшебник». Встретив недоверчивыевзглядыучеников,онсказал:
«Хотите, я угадаю, какую дату вы сейчас пишете чаще всего?»
После этого он протянул листочек с таблицей и сказал: «Пожалуйста, выберите любое число из этой таблицы».
2,42 3,45 1,67
5,01 6,04 4,26
0,32 1,35 – 0,43
«Ладно. Пусть будет 5,01», – сказала Асема.
После этого незнакомец произнёс заклинание «сим-салабим», и из табли- цы исчезли числа, стоявшие на одной строке и в одном столбце с выбран- ным числом:
3,45 1,67
5,01 1,35 – 0,43
«Пожалуйста, выберите одно из оставшихся чисел», – продолжил незнакомец.
«Теперь я выбираю – 0,43», – сказала заинтригованная Аида.
После следующего заклинания: «ахалай-махалай» – исчезли числа, сто- явшие на одной строке и в одном столбце с этим числом.
3,45 5,01 – 0,43
«Сложите получившиеся числа – и получите нужное число», – подытожил незнакомец.
Асема и Аида произвели сложение: 3,45 + 5,01 – 0,43 = 8,03, некоторое время удивленно смотрели на результат, а потом с некоторым сомнением хо- ром произнесли: «Эка невидаль. Все знают, что все сейчас готовятся к 8-му Марта».
В отличие от Асемы и Аиды, мы знаем, что ничего особенного в этом нет. Здесь мы опять встречаемся с волшебной таблицей, которую изучали в на- чале года.
Оказывается, волшебные таблицы можно составлять с любыми числами.
Упражнение 7.1
Убедитесь в том, что число 8,03 получится, если начать с числа 1,67.
Убедитесь в том, что число 8,03 получится, если начать с числа 4,26.
Упражнение 7.2
Какое число зашифровано в волшебной таблице? Какое знамена- тельное событие связано с этой датой? Проверьте волшебность таблицы, начав с другого числа.
3,35 4,74 – 7,52
29,33 30,72 18,46
7,88 9,27 – 2,99
Какое число зашифровано в волшебной таблице? Какое знамена- тельное событие связано с этой датой? Проверьте волшебность таблицы, начав с другого числа.
23,03 26,65 11,13
5,4 9,02 – 6,5
2,87 6,49 – 9,03
Составьте волшебные таблицы, зашифровав в них дни рождения членов Вашей семьи.
Одночлены, которые мы рассматривали в предыдущих параграфах, имели натуральные коэффициенты. Эти коэффициенты могут быть и дробными. В этой ситуации термин привести подобные члены означа- ет то же самое: записать все одночлены с одинаковой буквенной частью в виде одного одночлена, произведя соответствующие операции сложе- ния и вычитания.

90097315636016.8
Задача.
Приведите подобные члены.
1) 13,1x + 7 – 12,45x3) – 1,5x + 10,1 – 7x + 9,03x
2) 7,8a + 12 + 7,3a – 4,134) 20,17a + 2,54c – 7,7c + 0,12a – 2
Решение
1) 13,1x + 7 – 12,45x = 13,1x – 12,45x + 7 = (13,1 – 12,45)x + 7 = 0,65x + 7
2) 7,8a + 12 + 7,3a – 4,13 = 7,8a + 7,3a + 12 – 4,13 =
= (7,8 + 7,3)a + (12 – 4,13) = 15,1a + 7,87 3) – 1,5y + 10,1 – 7y + 9,03y = – 1,5y – 7y + 9,03y + 10,1 =
= (– 1,5 – 7 + 9,03)y + 10,1 = 0,53y + 10,1
4) 20,17a + 2,54c – 7,7c + 0,12a – 2 = 20,17a + 0,12a + 2,54c – 7,7c – 2 =
= (20,17 + 0,12)a + (2,54 – 7,7)c – 2 = 20,29a – 5,16c – 2
Упражнение 8. Приведите подобные члены.
1. 1) 3,7a + 12a4) 0,1x – 7a + 10,22 + 3x
2) 17,12x – 7,43x5) – 2,9x + 8,16y – 2,5y + 6x
3) – 21,17y + 4,5 + 9,33y6) 7a – 2,79y + 3,1a – 3,5 + 6y
2. 1) 43,7a – 12a4) 70,1x – 27a + 12,32x + 8a
2) 7,23y + 7,311y5) 9x + 8,16x – 2,15y +4,66x
3) 341,7m + 44,15m + 9y6) 7a – 0,79 + 3,01a – 3,005
Владимир и Кумен поделили 3 яблока пополам. Сколько яблок до- сталось каждому? Ответ для Владимира запишите в виде обыкно- венной дроби, для Кумена – в виде десятичной дроби.
Площади двух самых маленьких стран мира: Ватикана и Монако – 0,44 км2 и 1,95 км2 соответственно.
Какова их общая площадь?
На сколько км2 Монако больше Ватикана?
Площади четырёх самых больших по занимаемой территории стран мира: России, Канады, США и Китая – равны 17075,2; 9984,67; 9826,63 и 9596,96 тысяч квадратных километров соответственно. Кыргызстан занимает 199,9 тысяч квадратных километров.
Какова общая площадь России и Китая?
Какова общая площадь Канады и США?
На сколько территория России больше территории Канады?
На сколько территория России больше территории Китая?
На сколько территория США больше территории Кыргызстана?
На сколько территория Китая больше территории Кыргызстана?
Площади четырёх океанов: Тихого, Атлантического, Индийского и Северного Ледовитого – равны 178,62; 91,56; 76,17 и 14,75 миллиона квадратных километров соответственно.
Какова общая площадь Тихого и Атлантического океанов?
Какова общая площадь всех океанов?
На сколько площадь Тихого океана больше площади Индийского?
На сколько площадь Северного Ледовитого океана меньше площа- ди Атлантического?
На сколько площадь Тихого океана больше общей площади Индийского и Атлантического океанов?
Определите периметр треугольника, первая сторона которого рав- на 15,17 см, вторая – на 3,19 см меньше первой, третья – на 5,3 см больше второй.
Определите периметр прямоугольника, длина которого 12,723 м, а ширина меньше длины на 8,73 м.
Определите третью сторону треугольника, первая сторона ко- торого равна 5,127 см, вторая – на 2,93 см больше первой, периметр – 19,113 см.
На пустой бочке для растительного масла сохранилась надпись: брутто – 57,613 кг; нетто – 52,35 кг. В неё налили 52,5 кг масла. Что теперь нужно написать на бочке?
Какое число зашифровано в волшебной таблице? Проверьте вол- шебность таблицы, начав с другого числа.
3,61 5,93 6,89
2,33 4,65 5,61
– 2,48 – 0,16 0,8
Приведите подобные члены. 1) 78,7a – 12,23a
2) 71,3y + 0,3121y
3) 341,7t + 4 – 4,15t + 9y – 2,15y + 4,66t
4) 0,19x – 2,7a – 2,372x + 9a
5) 9,3x + 0,106y – 2,15y + 4,66y
6) 7,4a – 0,9 + 3,16a – 8,505
§ 17.Умножение и деление десятичных дробей
9009738014717.1
В тех случаях, когда мы переводим килограммы в тонны, метры в санти- метры и т. п., приходится умножать и делить на 10, 100…
Как и в случае целых чисел, для десятичных дробей это очень простая операция.
Для того чтобы умножить десятичную дробь:
на 10 – нужно перенести дробную запятую на одну цифру вправо: 2,17 • 10 = 21,7; 2,7 • 10 = 27; 0,0047 • 10 = 0,047;
на 100 – нужно перенести дробную запятую на две цифры вправо: 2,117 • 100 = 211,7; 2,17 • 100 = 217; 0,000047 • 100 = 0,0047;
на 1000 – нужно перенести дробную запятую на три цифры вправо: 12,1227 • 1000 = 12122,7; 2,117 • 1000 = 2117; 0,0047 • 10 = 4,7;
на 10n – нужно перенести дробную запятую на n цифр вправо (напоми- наем, что 10n – это число, которое начинается с единицы, а за единицей стоят n нулей):
2,13457 • 104 = 21345,7; 0,0251047 • 107 = 251047.
Если цифр после дробной запятой не хватает, то нужно дописать спра- ва недостающее количество нулей:
2,1 • 100 = 210; 2,17 • 10000 = 21700; 0,47 • 105 = 47000.

Для доказательства справедливости вышеперечисленных утверждений достаточно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и исполь- зовать правило умножения числа на дробь:
2,417 • 10 = 2417 • 10 = 24170 = 2417 = 24,17;
1000
1000
1000
3,7 • 1000 = 37 • 1000= 37000 = 3700 = 3700.
10101
Упражнение 1. Перерисуйте в тетрадь и заполните таблицу.
1.
1 мм = 0,1 см = 0,01 дм = 0,001 м = 0,000001 км
____ мм = 1 см = _____ дм = ______ м = _________ км
_____ мм = ____ см = 1 дм = _____ м = ________ км
______ мм = _____ см = ____ дм = 1 м = _______ км
_________ мм = ________ см = _______ дм = ______
м = 1 км
2.
1 г = 0,001 кг = 0,00001 ц = 0,000001 т
______ г = 1 кг = ______ ц = _______ т
________ г = _____ кг = 1 ц = _____ т
_________ г = ______ кг = ____ ц = 1 т
7569732110517.2
Задача.
Определите:
Сколько миллиметров в 2,17 сантиметра?
Сколько сантиметров в 0,134 метра?
Сколько дециметров в 71,273 километра?
Сколько метров в 2736,3 километра?
Сколько квадратных метров в 5,17 гектара?
Сколько граммов в 2,03 килограмма?
Сколько тыйынов стоит $1, если его цена 45,4234 сома?
Решение
Решение этой задачи сводится к умножению на 10 или 100, или …, соглас- но соответствию между единицами измерения.
1) Так как 1 см = 10 мм, то 2,17 см = 2,17 • 10 = 21,7 мм.
2) Так как 1 м = 100 см, то 0,134 м = 0,134 • 100 = 13,4 см.
3) Так как 1 км = 10000 дм, то 71,273 км = 71,2730 • 10000 = 712730 дм.
Примечание
Дописывание нулей за последней цифрой в дробной части не меняет зна- чения десятичной дроби.
4) Так как 1 км = 1000 м, то 2736,3 км = 2736,300 • 1000 = 2736300 м.
5) Так как 1 га = 10000 м2, то 5,17 га = 5,1700 • 10000 = 51700 м2.
6) Так как 1 кг = 1000 г, то 2,03 кг = 2,030 • 1000 = 2030 г.
7) Так как 1 сом = 100 тыйынов, то 45,4234 сомов = 45,4234 • 100 = 4542,34 тыйынов.
Упражнение 2. Определите:
1) Сколько миллиметров в 0,17 метра?
Сколько сантиметров в 2,3894 метра?
Сколько дециметров в 0,0073 километра?
Сколько метров в 627,03 километра?
Сколько квадратных метров в 10,057 гектара?
Сколько граммов в 12,3 килограмма?
Сколько тыйынов стоит 1 евро, если его цена 58,1347 сома?
1) Сколько миллиметров в 1,07 сантиметра?
Сколько сантиметров в 12,34 метра?
Сколько дециметров в 1,7273 километра?
Сколько метров в 36,2703 километра?
Сколько квадратных метров в 0,00517 гектара?
Сколько граммов в 0,093 килограмма?
Сколько тыйынов стоит 1 теньге, если его цена 0,317 сома?
7569736617817.3
Для того чтобы разделить десятичную дробь:
на 10 – нужно перенести дробную запятую на одну цифру влево: 210,2 : 10 = 21,02; 1,312 : 10 = 0,1312; 0,00312 : 10 = 0,000312;
на 100 – нужно перенести дробную запятую на две цифры влево: 4210,2 : 100 = 42,102; 13,12 : 100 = 0,1312; 12 : 100 = 12,0 : 100 = 0,12 (напо-
минаем, что любое целое число можно рассматривать как десятичную дробь с дробной частью, равной нулю: 5 = 5,0; – 11 = – 11,0; …);
на 1000 – нужно перенести дробную запятую на три цифры влево: 210,2 : 1000 = 0,2102; 1312 : 1000 = 1312,0 : 1000 = 1,312;
на 10n – нужно перенести дробную запятую на n цифр влево (напомина- ем, что это число, у которого за единицей стоят n нулей):
55613,2 : 104 = 5,5613; 1312567 : 107 = 0,1312567.
Если цифр не хватает, то нужно дописать слева от числа недостающее количество нулей и поставить перед ними нуль с дробной запятой:
0,2 : 1000 = 0,002; 1,312 : 100 = 0,01312; 13,12 : 107 = 0,000001312.

Для доказательства утверждения достаточно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и использовать правило деления дроби на число.
212,47 : 100 = 21247 : 100 = 21247 = 2,1247;
10010000
2,417 : 10 = 2417 : 10 = 2417 = 0,2417;
100010000
3,7 : 1000 = 37 : 1000 = 37 = 0,0037.
1010000
Упражнение 3. Перерисуйте в тетрадь и заполните таблицу.
1.
1000000 г = 1000 кг = 10 ц = 1 т
________ г = _____ кг = 1 ц = _____ т
______ г = 1 кг = ______ ц = _______ т
1 г = _______ кг = _________ ц = __________ т
2.
1000000 мм = 100000 см = 10000 дм = 1000 м = 1 км
______ мм = _____ см = ____ дм = 1 м = _______ км
_____ мм = ____ см = 1 дм = _____ м = ________ км
____ мм = 1 см = _____ дм = ______ м = _________ км
1 мм = _____ см = ______ дм = _______
м = __________ км
9009736617817.4
Задача. Определите:
Сколько сантиметров в 172 миллиметрах?
Сколько метров в 34 сантиметрах?
Сколько километров в 23 метрах?
Сколько тонн в 273 килограммах?
Сколько ар в 2345 квадратных метрах?
Сколько дм3 в 2 см3?
Сколько сомов стоит 1 евро, если его цена 5834 тыйына?
Решение
Решение задачи сводится к делению на 10 или 100, или … согласно соот- ветствию между единицами измерения.
1) Так как 1 см = 10 мм, то 172 мм = 172 : 10 = 17,2 см.
2) Так как 1 м = 100 см, то 34 см = 34 : 100 = 0,34 м.
3) Так как 1 км = 1000 м, то 23 м = 23 : 1000 = 0,023 км.
4) Так как 1 т = 1000 кг, то 273 кг = 273 : 1000 = 0,273 т.
5) Так как 1 ар = 100 м2, то 2345 м2 = 2345 : 100 = 23,45 ар.
6) Так как 1 дм3 = 1000 см3, то 2 см3 = 2 : 1000 = 0,002 дм3.
Так как 1 сом = 100 тыйынов, то 5834 тыйынов = 5834 : 100 = 58,34 сомов.
Упражнение 4. Определите:
1) Сколько сантиметров в двух миллиметрах?
Сколько дециметров в 17 сантиметрах?
Сколько метров в 7 сантиметрах?
Сколько километров в 27363 метрах?
Сколько квадратных километров в 5 гектарах?
Сколько килограммов в 23 граммах?
Сколько тонн в 7265 килограммах?
Сколько центнеров в 57 граммах?
Сколько сомов в 3 тыйынах?
1) Сколько сантиметров в 213 миллиметрах?
Сколько дециметров в 0,7 сантиметра?
Сколько метров в 2 сантиметрах?
Сколько километров в 3 метрах?
Сколько квадратных километров в 2 арах?
Сколько килограммов в 2153 граммах?
Сколько тонн в 65 килограммах?
Сколько центнеров в 5 килограммах?
Сколько сомов в 3718 тыйынах?
7569736617817.5
Задача
Почтальон Печкин в первый раз съел 360 г конфет, во второй – на 120 г меньше, а в третий – на 50 г больше, чем в первый раз. Сколько кг конфет съел Печкин за три раза?
Решение
Во второй раз он съел 360 – 120 = 240 г, в тре- тий: 360 + 50 = 410 г. Следовательно, за 3 раза он съел 360 + 240 + 410 = 1010 г.
Так как 1 кг = 1000 г, разделим 1010 г на 1000 и по- лучим ответ: 1010 : 1000 = 1,010 кг.
Упражнение 5. Проверьте вычитанием, могут ли стороны треугольника иметь следующие размеры:
1. 1) 2,57 дм; 24,5 см; 19,97 см2) 82,12 дм; 9,31 м; 9,343 дм
2. 1) 14,7 км; 903 м; 1,08 км2) 10,7 м; 922 см; 1,049 м
7569738016017.6
Перемножая десятичные дроби, нужно действовать так, словно мы име- ем дело с целыми числами, не обращая внимания на дробную запятую. После выполнения умножения в произведении нужно поставить дробную запятую так, чтобы количество цифр справа от неё равнялось сумме коли- честв цифр в дробных частях сомножителей.
Например: 2,03 • 7 = 14,21; – 0,31 • 0,9 = – 0,279; – 12,03 • (– 0,11) = 1,3233.

Задача
Золотой ключик сделан из золота 583-й пробы и весит 12 г. Какова масса чистого золота в ключике?
Решение
Прóбой драгоценного металла называется число граммов этого метал- ла в 1 кг = 1000 г сплава.

Если в 1000 г имеется 583 г золота, то, разделив на 1000, получим, что в 1 г будет 0,583 г золота. Следовательно, в золотом ключике 12 • 0,583 = 6,996 г чистого золота.
Упражнение 6
Серебряный браслет весит 22 г. Сколько в нём серебра, если ука- зана проба:
1) 8002) 8753) 9164) 960
Золотое кольцо весит 11,2 г. Сколько в нём золота, если указана проба:
1) 5002) 3753) 9584) 750
9009738016017.7
Задача
Розакупила 3 кг картофеляпоцене 15,5 сомаи 1,5 кг лукапоцене 12,5 сом/кг.
Сколько денег она потратила на эти покупки?
Решение
Понятно, что ответ получится, если посчитать затраты на каждую покупку и сложить: 3 • 15,5 + 1,5 • 12,5 = 46,5 + 18,75 = 65,25 сома.
Упражнение 7.1
Д’Артаньян 8 часов скакал на лошади со скоростью 24,8 км/час, 6 часов плыл на паруснике со скоростью 22,65 км/час, а осталь- ной путь до цели он прошёл пешком. Весь путь составил 364 км. Сколько километров он прошёл пешком?
На школьном участке собрали 20 мешков картофеля, 12 – моркови и 8 – лука. Сколько всего кг овощей было собрано, если мешок картофеля весит 40 кг, моркови – в 1,2 раза больше, а мешок лука – на 3,5 кг меньше, чем мешок моркови?
Упражнение 7.2. Вычислите.
1.1) 12,17 • 26) (– 12,79) • (– 3,006)
2) 7 • 0,3437) 2,72 • 2,1 – 6 • 0,43
3) 10,17 • (– 2,03)8) 10,7 • (5 – 2,03)
4) – 0,17 • (– 0,022)9) 0,17 – 10,2 • 0,45
5) – 0,02 • 3,526710) 22,2 • 3,5 + 2,9 • (– 5,6)
2.1) 17 • 2,026) (– 2,079) • (– 13,001)
2) 7,1 • 0,37) 22,2 • 1,1 – 16 • 0,3
3) 210,1 • (– 2,103)8) 1,7 • (15 – 12,3) + 3,11
4) – 10,7 • (– 0,12)9) (0,117 + 10,2) • 0,5
5) 0,302 • 3,5710) (2,21 • 3 + 2,9)(– 0,06)
7569736617817.8
Задача
Бак без крышки имеет форму куба с ребром 0,45 м. Его нужно покрасить изнутри и снаружи. Сколько краски потребуется, если на 1 м2 расходуется 0,2 кг краски?
Решение
Ответ легко получается, если сообразить, что нужно покрасить изнутри и снаружи 5 квадратов со стороной 0,45 м.
Площадь каждого квадрата равна: 0,45 • 0,45 = 0,2025 м2. На покраску такого квадрата
с одной стороны уйдёт: 0,2025 • 0,2 = 0,0405 кг краски;
с двух сторон: 0,0405 • 2 = 0,081 кг краски.
Тогда на покраску всего бака понадобится 0,081 • 5 = 0,405 кг краски.
Упражнение 8
Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, запол- нен сеном. Ширина сарая 6,4 м, длина в 1,55 раз больше ширины, а высота на 5,42 м меньше длины. Какова масса этого сена, если 1 м3 сена весит 0,6 ц?
Определите объём прямоугольного параллелепипеда, ширина ко- торого 5,25 см, длина в 2,4 раза больше ширины, а высота на 3,2 см больше длины.
7569738016017.9
Мы уже умеем складывать, вычитать и умножать десятичные дроби. Мы увидели, что эти действия почти не отличаются от аналогичных действий над целыми числами. Некоторые сложности имеют место при делении, но и в этом случае нам на помощь должно прийти умение работать с целыми числами.
Мы знаем, что не всегда возможно деление нацело. Известно, что 10 : 2 = 5. А что будет, если семь разделить на два? Конечно, целого числа не полу-
чится, но все знают, что результатом будет три с половиной.
Давайте проследим процесс получения этого результата. Для того чтобы поделить, нужно найти наибольшее из целых чисел, которые делятся на 2 и меньше 7. Таким числом является 6. Так как 6 : 2 = 3, записываем 3 в частное,
а разность 7 – 3 • 2 = 1 образует остаток:
–72
63
1
При правильном выполнении деления остаток на каждом этапе должен быть меньше делителя.
Далее начинаем находить дробную часть. Для этого поставим в частном дробную запятую, а к 1, полученной в делимом, припишем нуль:
–72
63,
10
После этого продолжаем процесс деления. В данном случае берем 5 и получаем в остатке нуль – деление закончено:
–72
63,5
–10
10
0
Таким же образом осуществляется деление десятичных дробей.
Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно:
если они имеют разное количество цифр после дробной запятой, урав- нять, дописав при необходимости нужное количество нулей справа;
убрать дробные запятые и произвести деление целого числа на целое;
если в результате останется остаток, в частном поставить дробную за- пятую, а к остатку приписать нуль и продолжить деление, приписывая нуль к остатку, полученному на каждом последующем шаге.

Задача. Вычислите.
1) 5,1 : 0,172) 1 : 83) 106,75 : 74) 6,5224 : 3,1
Решение
В задании 1) нужно уравнять количество цифр после запятых, после чего отбросить запятые: 5,1 : 0,17 = 5,10 : 0,17 = 510 : 17.
После этого произвести деление:
–510 17
5130
0
Во втором задании делимое меньше делителя. Поэтому в целой части будет нуль, а вычисление дробной части начнём с дописывания нуля к дели- мому, приписывая нуль на каждом последующем шаге:
–108
80,125
–20
16
–40
40
0
Задание 3) начнем с уравнивания количества цифр после запятых: 106,75 : 7 = 106,75 : 7,00 = 10675 : 700.
Далее производим деление:
–10675700
70015
–3675
3500
175
Остаток стал меньше делителя. Поэтому ставим дробную запятую, припи- сываем нуль и продолжаем деление:
–10675700
70015,25
–3675
3500
–1750
1400
–3500
3500

0
В задании 4) уравниваем количество цифр после запятых: 6,5224 : 3,1 = 6,5224 : 3,1000 = 65224 : 31000 и начинаем деление:
–6522431000
620002,1
–32240
31000
12400
Даже после дописывания нуля остаток меньше делителя. Это значит, что произвести вычитание можно, только если делитель умножается на нуль. Поэтому приписываем нуль и продолжаем деление:
–6522431000
620002,104
–32240
31000
–12400
0
–124000
124000
0
Упражнение 9. Вычислите.
1. 1) 17 : 2 5) – 0,021 : 30 9) 11,79 : 9
2) 7 : 4 6) 12,76 : (– 1,1) 10) – 0,375 : (– 5)
3) – 1,11 : 3 7) 17 : 25 11) – 0,936 : 6
4) – 0,175 : (– 0,25) 8) 17,1 : 40 12) 122,76 : (– 2,2)
2. 1) 9 : 2 5) – 0,081 : 3 9) 11,7 : 6
2) 10 : 4 6) 32,56 : (– 11) 10) 0,375 : 25
3) – 14,1 : 3 7) 70 : 125 11) – 9,36 : (– 9)
4) 1,75 : (– 0,25) 8) 7,11 : 4 12) 32,78 : 55
9009732109317.10
Задача
Азат приехал в гости к Алтымышу. «У тебя, наверное, уже тысяча овец?» – спрашивает Азат. «Нет. Вот если бы у меня было ещё столько, ещё полстоль- ка, ещё четверть столька, то без барашка, которого я зарежу в твою честь, у меня осталось бы тысяча баранов», – ответил Алтымыш. Сколько овец у Алтымыша?
Решение
Обозначим количество овец у Алтымыша через х. Тогда, полстолька – это 0,5x, четверть столька – это 0,25x.
В результате имеем уравнение: x + x + 0,5x + 0,25x – 1 = 1000.
Приведём подобные члены: 2,75x = 1001 – и, разделив на 2,75, получим:
x = 364.
Итак, выяснилось, что у Алтымыша 364 овцы.
Упражнение 10
Летит гусь, а навстречу ему стая гусей. «Здравствуйте, сто гусей», – говорит гусь. А вожак стаи ему в ответ: «Нас не сто гусей. Вот если бы нас было ещё столько, ещё полстолька, ещё четверть столька, тогда вместе с тобой нас было бы сто гусей». Сколько гусей в стае?
У Алмамбета спрашивают: «У тебя, наверное, 100 игрушек?» «Нет. Вот если бы у меня было ещё полстолька, ещё четверть столь- ка и ещё две игрушки, то у меня было бы сто игрушек», – ответил Алмамбет. Сколько игрушек у Алмамбета?
7507501488217.11
Задача
Рассказывая о рыбалке, Яша сказал, что забрасывал сеть дважды. В пер- вый раз поймал половину всего улова и ещё две рыбины. Во второй раз – по- ловину остатка и ещё 7 рыбин. Сколько рыбы поймал Яша?
Решение
Обозначив величину улова за х, получим, что в первый раз поймано 0,5х + 2 рыбы. Тогда остаток равен 0,5х – 2, а половина остатка: 0,5 (0,5х – 2). Во второй раз поймана половина остатка и ещё 7 рыбин, то есть вторая половина остатка есть 7 рыбин. Следовательно, 0,5 (0,5х – 2) = 7. Умножим уравнение на 2: 0,5х – 2 = 14, перенесём число 2 в правую часть: 0,5х = 16 и, разделив уравнение на 0,5, найдём, что х = 32. Итак, выяснилось, что Яша поймал 32 рыбины.
Упражнение 11
Касиет выполнила домашнее задание за 2 часа. Если бы за первый час она выполнила на 3 упражнения больше, то она бы выполнила половину задания. За второй час она вы- полнила половину остатка и ещё 5 упраж-
нений. Сколько упражнений было в до- машнем задании?
Сладкоежка съел торт за три часа. За 1-й час он съел полторта, за 2-й – половину остатка, за 3-й час – половину того, что осталось и ещё 50 г. Сколько весил торт?
7569738016017.12
Задача
Какой математический знак нужно поставить между цифрами 1 и 4, чтобы получилось число:
большее, чем 4;
меньшее, чем 1;
большее, чем 1, и меньшее, чем 4?
Решение
Число большее, чем 4, получится, если поставить знак плюс: 1 + 4 = 5.
Число меньшее, чем 1, получится, если поставить знак минус: 1 – 4 = – 3, а также если поставить знак деления: 1 : 4 = 0,25.
Число большее, чем 1, и меньшее, чем 4, получится, если между циф- рами поставить запятую: 1,4.
Упражнение 12
Какой математический знак нужно поставить между цифрами 8 и 5, чтобы получилось число:
большее, чем 35;
меньшее, чем 2;
большее, чем 8, и меньшее, чем 16?
Какой математический знак нужно поставить между цифрами 3 и 6, чтобы получилось число:
большее, чем 6;
меньшее, чем 3;
большее, чем 3, и меньшее, чем 6?
9009738014817.13
Задача
Гульнара скачет на лошади со скоростью 16,9 км/час. Успеет ли догнать её Даир, если его лошадь скачет со скоростью 18,4 км/час. Расстояние от Гульнары до финиша равно 1,2 км, а расстояние между ними – 0,126 км?
Решение
Обозначим через t время, за которое Даир догонит Гульнару. За это вре- мя Даир проскачет 18,4t километров, а Гульнара – 16,9t километров. В итоге получим уравнение: 18,4t – 16,9t = 0,126. Отсюда ясно, что 1,5t = 0,126, и за- тем: t = 0,084. За это время Гульнара может проскакать 16,9 • 0,084 = 1,4196 километра и успеет пересечь линию финиша. Итак, выяснилось, что Даир не успеет догнать Гульнару до финишной черты.
Упражнение 13
Бегимай едет со скоростью 76 км/час. Успеет ли догнать её Сергей, если он едет со скоростью 98,5 км/час. Бегимай осталось проехать 72 км, а расстояние между ними 18 км?
Венера едет со скоростью 66,2 км/час. Успеет ли догнать её Азиз, если он едет со скоростью 88,6 км/час, Венере осталось проехать 32 км, а расстояние между ними 11,2 км?
7569736617817.14
Задача
Из Бишкека в Талас со скоростью 61 км/час выехал Шаршенбек. Через 0,2 часа из Таласа в Бишкек со скоростью 77 км/час выехала Саадат. Через сколько времени после выезда Шаршенбека они встретятся? От Бишкека до Таласа 302 км.
Решение
Обозначим через t время, которое до встречи проедет Саадат. За это вре- мя она проедет 77t километров, а Шаршенбек проедет 61 (t + 0,2) километров. До встречи они вместе проедут 302 км.
Следовательно, имеет место уравнение: 77t + 61 (t + 0,2) = 302.
Отсюда следует, что 77t + 61t + 12,2 = 302, и затем 138t = 289,8. Разделив уравнение на 138, получим, что t = 2,1.
Итак, Саадат до встречи будет ехать 2,1 часа, а Шаршенбек 2,1 + 0,2 = 2,3 часа.
Упражнение 14
Из Бишкека в Каракол со скоростью 68 км/час выехал Максат. В это же время из Каракола в Бишкек со скоростью 74 км/час выехал Нурлан. Через сколько времени они приблизятся друг к другу на расстояние 45 км? От Бишкека до Каракола 400 км.
Из Бишкека в Нарын со скоростью 65 км/час выехал Талгарт. Через час из Нарына в Бишкек со скоростью 75 км/час выехала Анара. Через сколько времени после выезда Талгарта они встретятся? От Бишкека до Нарына 310 км.

За среднюю толщину человеческого волоса можно принять 0,07 мм. Какова толщина волоса (в см) великана Тысячечеловека?
Какой математический знак нужно поставить между цифрами 5 и 7, чтобы получилось число:
большее, чем 30c) большее, чем 7
меньшее, чем 0e) большее, чем 5, и меньшее, чем 7
d) меньшее, чем 1
Вычислите.
1) 17,2 • 55) – 0,021 • 309) 11,79 • 0,09
2) 7 • 4,116) 12,76 • (– 1,1)10) – 0,35 • (– 14)
3) – 1,1 • 3,27) 1,7 • 2,511) – 0,93 • 6
4) – 0,14 • (– 0,25)8) 17,1 • 0,212) 122,76 • (– 2,1)
Определите площадь прямоугольника, зная, что его длина 15,75 см, а ширина на 2,11 см меньше.
Длина прямоугольника 7 м, а ширина 3,9 м. Чему равны площадь и пе- риметр этого прямоугольника? Чему они будут равны, если длина уве- личится на 2,2 м, а ширина – на 4,1 м?
Бак, имеющий форму куба с ребром 12 см, на четверть заполнен во- дой. Сколько литров воды в баке, если 1 литр воды занимает 1 дм3?
Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны 22,15; 12,4 и 1,8 см соответственно. Чему равны площадь основания и объём?
Усадьба Дильдебека имеет форму прямоугольника, длина которо- го равна 42,5 м, а ширина 29,4 м. Какова площадь этой усадьбы? Сколько денег нужно затратить на ограду, если метр ограды обхо- дится в 450 сомов?
Из двух точек, расстояние между которыми 42,3 км, навстречу друг другу двинулись две армии. Первая двигалась со скоростью 4,1 км/ час, вторая – со скоростью 5,3 км/час. Каким будет расстояние меж- ду армиями через 2,5 часа после начала движения?
Вычислите.
1) 111 : 25) – 0,028 : 709) 11,7 : 6
2) 70 : 86) 12,54 : 3310) – 0,75 : (– 250)
3) – 1,25 : 57) 7 : 12511) – 0,96 : 12
4) – 0,174 : (– 3)8) 7,11 : 6012) 5,2 : (– 13)
11.Вычислите.
1) 27 : 4 – 0,96 • 52) 0,96 : 6 + 7 : 143) 0,9 (6,3 – 1,14 : 3)
4) – 0,15 : 3 – 0,206 • 65) (0,9 • 6 – 0,03) : 306)
1 – 2,86 : (– 1,1) + 7 : 5
По дороге со скоростью 72,8 км/час едет Гульжигит, за ним со скоростью 87,3 км/час едет Канат. Через сколько часов Канат до- гонит Гульжигита, если в начальный момент между ними 34,8 км?
Назгуль едет со скоростью 69 км/час. Успеет ли догнать её Нуржан, если он едет со скоростью 84,5 км/час. Назгуль осталось проехать 72 км, а расстояние между ними 17,05 км?
Поезд едет на восток со скоростью 54,3 км/час, автомобиль – на запад со скоростью 86,1 км/час. Каким будет расстояние между ними через 30 минут, если в начальный момент времени оно равня- лось 164 км?
Жыргалбек постригся наголо. Сколько метров волос осталось на его голове после этого? Ответьте на вопрос, предполагая, что после стрижки остались волосы длиной 1 мм, а на голове примерно 200000
волос.
§ 18.Бесконечные десятичные дроби. Округление.
Уравнения с модулем
7569738016118.1
Как известно, для того чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби12, необходимо привести их к общему знаменателю, что нередко влечёт за со- бой громоздкие вычисления:
1018487 – 977 = 1018487 • 320 – 977 •125000 = …
125000
320
125000
Поэтому в математике широко используются десятичные дроби – обыкно- венные дроби, знаменатель которых является степенью десяти.
Для того чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на знаменатель:
125000
320
1018487 = 8,147896; 977 = 3,053125.
После этого задача нахождения разности становится элементарной:
1018487 – 977 = 8,147896 – 3,053125 = 5,094771.
125000320
Упражнение 1.1. Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные.
1. a) 9/2b) 23/5c) 41/8d) 9/12e) 14/16
2. a) 9/25 b) 21/6c) 41/4d) 93/2e) 45/12
522546145452
Упражнение 1.2. Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные, а за- тем выполните указанное действие.
a)
27 – 9b) 2 + 11c) 27 – 21d) 2 • 9e) 36 : 3
a)
21 + 9b) 12 – 13c)
15 33
–d)
622
8 7 27 9
e):
25552
45254
Зачастую при делении нередко получается бесконечная дробная часть:
–13
00,33…
–10
9
–10
9
10 …
В таких ситуациях, чтобы записать частное в виде десятичной дроби, по- ступают двумя способами – записывают её в виде периодической десятич- ной дроби или производят округление.

12 Подробнее о действиях с обыкновенными дробями мы будем говорить в шестом классе.
9009736617818.2
Первый способ – периодическая десятичная дробь.
Далее будет показано, что при делении конечной десятичной дроби на конечную десятичную дробь в дробной части десятичных чисел обяза- тельно, с какого-то момента получается повторяющаяся цифра или груп- па цифр. Она называется периодом десятичной дроби и заключается в скобки.
Так, в вышеприведенном примере: 1 : 3 = 0,333… = 0,(3).

Задача. Разделите и запишите ответ в виде периодической дроби.
1) 51 : 112) 11 : 43) – 1,07 : 3
Решение
В задании 1) начинаем делить и видим, что повторяется группа цифр 63:
–5111
444,6363…
–70
66
–40
33
–70
66
–40
33
7 …
Поэтому 51 : 11 = 4,(63).
Задание 2) заканчивается очень быстро:
–114
82,75
–30
28
–20
20
0
«А где же период?» – спрашивают у нас. «Не волнуйтесь. Всё под кон- тролем», – отвечаем мы и дописываем к частному нуль внутри скобок: 11 : 4 = 2,75 = 2,75 (0).
Итак, если в процессе деления десятичных чисел в остатке получился нуль, то для того чтобы представить ответ в форме периодической дроби, к частному нужно приписать нуль внутри скобок.

Производя деление в задании 3) обнаруживаем, что период состоит из одной цифры 6:
–107300
00,35666…
–1070
900
–1700
1500
–2000
1800
–2000
1800
200 …
Поэтому – 1,07 : 3 = – 107 : 300 = – 0,35666… = – 0,35 (6).
Упражнение 2. Разделите и запишите ответ в виде периодической дроби.
1.1) 53 : 65) 3,2 : 30
2) 31 : 116) 43 : 22
3) – 4,9 : 147) – 49 : (– 8)
4) 0,29 : 128) – 91 : 15
2.1) 14 : 35) 30,2 : 15
2) 11 : 66) 22 : (– 9)
3) – 9,9 : 337) – 4 : (– 240)
4) 10,25 : 118) – 911 : 18
7569738014818.3
Второй способ – округление десятичной дроби.
Процесс деления в определённый момент прерывается, и в ответе запи- сывается приближённое значение.
Для того чтобы проделать это правильно, мы производим округление.
Для того чтобы округлить число до какого-то разряда, нужно все цифры низших разрядов заменить на нули и
оставить цифру указанного разряда неизменной, если после неё стояла цифра, меньшая, чем пять, то есть или 0, или 1, или 2, или 3, или 4;
добавить к цифре указанного разряда единицу, если после неё стояла цифра пять или большая, чем пять, цифра, то есть или 5, или 6, или 7, или 8, или 9.
Например, если округлить 3547,53
до десятых, то получим 3547,53 d 3547,5;
до целых, то получим 3547,53 d 3548;
до десятков, то получим 3547,53 d 3550;
до сотен, то получим 3547,53 d 3500;
до тысяч, то получим 3547,53 d 4000.

Задача
Разделите 51 на 13 и запишите ответ с точностью до сотых.
Решение
Для того чтобы выполнить задание, произведём деление до трёх знаков после запятой – до тысячных, а потом округлим до сотых:
–5113
393,923…
–120
117
–30
26
–40
39
1 …
Поэтому 51 : 13 = 3,923… d 3,92.
Упражнение 3.1
Округлите каждое из приведённых ниже чисел до a) целых чисел;
b) сотен; c) сотенных дробей.
1) 523,1572) 160,2133) 5753,2381 4) 1755,6013
Округлите каждое из приведённых ниже чисел до a) десятка; b) де- сятых; c) тысячных дробей.
1) 527,15742) 160,25133) 53,23874) 5,6311
Упражнение 3.2
1) Разделите – 5231 на 1,7 и запишите ответ с точностью до сотен.
Разделите 16 на – 0,13 и запишите ответ с точностью до целых чисел.
Разделите 35 на 9 и запишите ответ с точностью до десятых.
Разделите 44 на 70 и запишите ответ с точностью до сотых.
1) Разделите 231 на 13 и запишите ответ с точностью до сотых.
Разделите 6 на – 0,17 и запишите ответ с точностью до десятков.
Разделите 5 на 99 и запишите ответ с точностью до тысячных.
Разделите 5 на 99 и запишите ответ с точностью до десятитысячных.
7569738016018.4
Задача
Известно, что рост А. С. Пушкина был 5 футов 3 дюйма. Выразите его в сантиметрах, зная, что
1 фут = 30,488 см, а 1 дюйм = 2,54 см. Результат округлите до десятых.
Решение
Пользуясьприведеннымисоотношения- ми между единицами длины, получим, что рост А. С. Пушкина был 5 • 30,488 + 3 • 2,54 = 160,06 см. Округлив, получаем результат: 160,1 см.
Упражнение 4
Выразите в метрах 17 футов 4,2 дюйма. Результат округлите до сотых.
Выразите в сантиметрах 46 футов 8,9 дюйма. Результат округлите до целых.
7569738016018.5
Задача
Округлите приведённые ниже числа до a) целых чисел; b) десятых; c) со- тенных дробей; d) тысячных дробей.
1) 9,(57)2) 6,(278)3) 53,2 (38)4) 15,60 (613)
Решение
1a) 9,(57) = 9,5… d 101b) 9,(57) = 9,57… d 9,6
1c) 9,(57) = 9,575… d 9,581d) 9,(57) = 9,5757… d 9,576
2a) 6,(278) = 6,2… d 62b) 6,(278) = 6,27… d 6,3
2c) 6,(278) = 6,278… d 6,292d) 6,(278) = 6,2782… d 6,278
3a) 53,2(38) = 53,2… d 533b) 53,2(38) = 53,23… d 53,2
3c) 53,2(38) = 53,238… d 53,243d) 53,2(38) = 53,2383… d 53,238
4a) 15,60(613) = 15,6… d 164b) 15,60(613) = 15,60… d 15,6
4c) 15,60(613) = 15,606… d 15,61 4d) 15,60(613) = 15,6061… d 15,606
Упражнение 5.
Округлите приведённые ниже числа до a) целых чисел; b) десятых; c) со- тенных дробей; d) тысячных дробей.
1. 1) 19,(5) 2) 6,27(8) 3) 3,(28) 4) 5,01(61)
2. 1) 92,(7) 2) 0,2(81) 3) 59,23(8) 4) 1,0(637)
9009732109318.6
Если известно, что у Гульзины 1000 сомов, а у Сурмакан 200, то мы можем сказать, что денег у Гульзины в 5 раз больше: 1000 : 200 = 5.
А что можно сказать про Топчубека и Сайкал, если у Топчубека 1900 со- мов, а у Сайкал 64 сома? Для ответа на этот вопрос нужно разделить 1900 на 64 и сказать, что денег у Топчубека в 1900 : 64 = 29,6875 раз больше.
Упражнение 6
Площадь территории России 17075 тысяч кв. км, Казахстана – 2717 тысяч кв. км, Узбекистана – 447 тысяч кв. км, Таджикистана – 143 тысячи кв. км. Кыргызстан занимает площадь примерно 200 тысяч кв. км. С точностью до тысячных определите, во сколько раз тер- ритория каждой из вышеперечисленных стран больше территории Кыргызстана?
Четыре самых глубоких озер мира: Байкал, Танганьика, Ньяса и Иссык-Куль – имеют глубину 1620 м, 1470 м, 706 м и 668 м соответ- ственно. С точностью до десятых определите, во сколько раз ка- ждое из озёр глубже Иссык-Куля.
9009738016018.7
Задача
Скорость скворца 19,5 м/сек. Выразите её в км/час.
Скорость самолёта 905 км/час. Выразите её с точностью до сотых в м/ сек и выясните, сколько метров пролетит самолёт за 33 секунды.
Решение
Так как в одном часе 3600 секунд, пролетая 19,5 метров в секунду, за час скворец мог бы пролететь 19,5 • 3600 = 70200 м. Так как в одном километре 1000 метров, его скорость 70,2 км/час.
Умножив 905 на 1000, узнаем, что за час самолёт пролетает 905000 метров. Разделив это число на 3600, получим, что скорость самолёта 905000 : 3600 d 251,39 м/сек.
Следовательно, за 33 секунды самолёт пролетит 251,39 • 33 = 8295,87 м.
Упражнение 7
1) Ласточка летит со скоростью 21,45 м/сек. Сколько километров она преодолеет за 2 минуты?
2) Дильдора едет со скоростью 89 км/час. С точностью до сотых определите, сколько метров проедет Дильдора за 24 секунды?
1) Лошадь скачет со скоростью 12,8 м/сек. Сколько километров она преодолеет за 1,5 часа?
Карыбек ходит со скоростью 5,13 км/час. Сколько метров он прохо- дит за 18 минут?
7569738016018.8
Координатная прямая (Числовая ось)
Так же, как и целые числа, дробные числа соответствуют точкам на ко- ординатной прямой. Это помогает прояснить многие ситуации. В частности, как уже было отмечено, совершенно простой становится задача сравнения чисел: чем правее находится число, тем оно больше.
Задача
На координатной прямой заданы точки А (– 5,2), B (– 2,76), О (0), C (5,14), D (7,4).
Точка с координатой
1) – 32) – 2,43) 5,044) – 5,55) – 2,88
находится (выберите правильный ответ):
левее точки Аd) между точками O и C
между точками А и Вe) между точками C и D
между точками B и Of) правее точки D
Решение
1) Ответ b, так как – 5,2 < – 3 <– 2,76;
2) Ответ c, так как – 2,76 < – 2,4 < 0;
3) Ответ d, так как 0 < 5,04 < 5,14;
4) Ответ a, так как – 5,5 < – 5,2;
5) Ответ b, так как – 5,2 < – 2,88 < – 2,76.
Упражнение 8
На координатной прямой заданы точки А (– 9,12), B (– 4,7), О (0),
C (3,41), D (6,44).
Точка с координатой
1) – 42) – 9,43) 7,44) – 4,455) 3,8
находится (выберите правильный ответ):
левее точки Аd) между точками O и C
между точками А и Вe) между точками C и D
между точками B и Of) правее точки D
На координатной прямой заданы точки А (– 8,12), B (– 6,76), О (0),
C (0,24), D (3,48).
Точка с координатой
1) – 3,52) – 6,43) 0,14;4) 3,55) – 8,8
находится (выберите правильный ответ):
левее точки Аd) между точками O и C
между точками А и Вe) между точками C и D
между точками B и Of) правее точки D
9009728016018.9
Задача
На координатной прямой заданы точки А (– 15,32), B (2,63), C (– 7,145), D (7,24).
Найдите расстояние между каждой парой точек.
Решение
Длина отрезка АВ обозначается |AB|, отрезка АС обозначается |AC|, … . Длина отрезка, определяемого двумя точками числовой оси, равна раз-
ности координаты точки, являющейся правым концом отрезка, и координаты точки, являющейся левым концом отрезка.
Поэтому:
1) |AB| = 2,63 – (– 15,32) = 2,63 + 15,32 = 17,95;
2) |AC| = – 7,145 – (– 15,32) = – 7,145 + 15,32 = 8,175;
3) |AD| = 7,24 – (– 15,32) = 7,24 + 15,32 = 22,56;
4) |BC| = 2,63 – (– 7,145) = 2,63 + 7,145 = 9,775;
5) |BD| = 7,24 – 2,63 = 4,61;
6) |CD| = 7,24 – (– 7,145) = 7,24 + 7,145 = 14,385.
Упражнение 9
На координатной прямой заданы точки А (0,452), B (– 12,33), C (– 17,145), D (2,421). Найдите расстояние между каждой парой точек.
На координатной прямой заданы точки А (– 1,352), B (– 2,43), C (– 0,454), D (4,32). Найдите расстояние между каждой парой точек.
Разделите и запишите ответ в виде периодической дроби. 1) 32 : (– 3)5) 35 : 990
2) 97 : 906) 41 : 44
3) – 3,5 : 217) – 0,9 : (– 6)
4) 4,9 : 68) – 9,1 : 0,15
Округлите числа:
1) 23,15753) 7,3816
2) 1,42734) 0,62013
до a) целых чисел; b) десятых; c) тысячных дробей.
Самое быстрое животное – гепард – может развивать скорость до 100 км/час. Самый быстрый человек – Усейн Болт13 – может про- бежать 100 метров за 9,7 сек. Определите скорость Болта в м/сек и км/час, с точностью до сотых.
378000278434С точностью до десятых определите, во сколько раз гепард быстрее Болта?
Округлите числа:
1) 1,9(5)3) 3,(628)
2) 6,2(78)4) 5,(2061)
До a) целых чисел; b) десятых; c) сотен- ных дробей; d) тысячных дробей.
Выразите в дециметрах 68 футов 3,59 дюйма. Результат округлите до сотых.
Изобразите на числовой оси (пример- но) и сравните числа: 4,126; – 6,73; – 23/4 ; 1,52; – 7/3
Изобразитеначисловойоси(примерно)и сравните по абсолютной величине числа: 4,2; – 7,07;– 4 , 2 ; 2,3.
Найдите с точностью до сотой корень уравнения.
a) 7x – 2 + 3x = 2,532b) 5,2x + 2,1 = 0,2c) 9x + 2,7 – 4 = 5,2x
Решите уравнения:
a) |4x – 2| = 24,5b) 3 + |5x + 2,1| = 0,7c) |3x + 2,7| – 4 = 0,2
Расстояние от Оша до Джалал-Абада 100 км. Из Оша в Джалал- Абад со скоростью 17 км/час едет Ислам, а из Джалал-Абада в Ош со скоростью 23 км/час едет Таалай. Через сколько часов расстоя- ние между ними будет равно 30 км?

13 Усе́ йн Сент-Лео Болт (англ. Usain St. Leo Bolt; род. 21 августа1986 года, Ямайкa) – выдающийся спринтер, многократный олимпийский чемпион и чемпион мира. Дей- ствующий обладатель мировых рекордов в беге на 100 (9,58 сек, Берлин 2009) и 200 метров (19,19 сек, Берлин 2009), а также в эстафете 4×100 метров в составе сборной Ямайки (Лондон, 2012).

Попробуйте решить задачи. Сверьте полученные ответы с ответами, кото- рые стоят сразу после задач. Если какие-то задачи совсем не желают под- даваться Вашим усилиям даже после нескольких попыток, воспользуйтесь указаниями, приведёнными в конце книги.
Севара на первой строке поставила 5 точек на расстоянии 3 см одна от другой, а на второй строке – 7 точек на расстоянии 2 см одна от дру- гой. В какой строке расстояние от первой до последней точки больше?
Известно, что длина AB – 40 метров, длина BC – 140 метров, длина EF – 10 метров. Достаточно ли данных для того, чтобы узнать, сколь- ко метров забора понадобится, чтобы огородить участок ABCDEFGH? А для того, чтобы вычислить площадь ABCDEFGH? Найдите периметр ABCDEFGH.
Определите площадь ABCDEFGH, зная, что длина GF – 30 метров.
Кастрюля до краев наполнена водой. Как отлить из неё ровно полови- ну, не пользуясь никакими измерительными приборами?
Марина, Лариса и Рашид сыграли 3 партии в шашки. Сколько партий сыграл каждый?
На кондитерской фабрике 3 станка-автомата выпускают шоколад- ки «Динара» весом по 100 граммов. Но в связи с тем, что настройка на одной из машин разладилась, она стала выдавать шоколадки ве- сом 95 граммов. Можно ли с помощью одного взвешивания узнать, какая из машин разладилась? Как это сделать?
Сколько метров забора понадобится для того, чтобы оградить пря- моугольный участок, площадь которого равна 4800 кв. м, ширина – 60 метров?
Одна сторона квадрата равна 6 см, другая – 8 см. Чему равна пло- щадь? Как надо исправить задачу, чтобы получить ответ: площадь равна 48 кв. см?
Крестьяне скосили луг за 3 дня. В первый день они скосили половину всего луга, во второй день – половину остатка и ещё 1 гектар, в третий
день – половину того, что осталось после 2-го дня и ещё 3 гектара. Определите площадь луга.
На листе бумаги нарисованы квадрат и треугольник. Можно ли поста- вить 4 точки так, чтобы внутри квадрата находились три точки, а вну- три треугольника – две?
В записи 7654321 поставьте между некоторыми цифрами знаки «+» так, чтобы получилась сумма, равная 100.
У Замиры 12 карманов и 27 монет. Сауле утверждает, что хотя бы в од- ном кармане у Замиры должно быть больше двух монет. Права ли Сауле?
Тёма сообщил Эльмире, что мимо их дома проехали 80 автомобилей, и 8 из них были мерседесами. В ответ Эльмира попросила сказать, сколько приблизительно в городе автомобилей, если известно, что мерседесов – около 5 тысяч.
Из стакана чая перелили одну ложку в стакан с молоком, а затем 1 ложку полученного напитка – в стакан чая. Чего в итоге больше: чая в молоке или молока в чае?
По какому правилу составлена следующая последовательность чи- сел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
Расстояние от домика Тигры до домика Иа 616 м. Тигра проходит это расстояние за 7 минут, а Иа – за 8 минут. На сколько метров в минуту скорость Тигры больше скорости Иа?
Ответы к задачам на внимание, логику и сообразительность
1. В обеих строках расстояние равно 12 см. 2. Периметр – 380 метров. Площадь – 5300 квадратных метров. 3. Наклонить кастрюлю так, чтобы поверхность воды стала диагональю. 4. От одной до трёх. 5. Да. 6. 280 м.
7. Вместо слова «квадрата» написать слово «прямоугольника». 8. 28 га.
Да, если одна точка будет на пересечении. 10. Задача имеет два ответа: 1) 7 + 65 + 4 + 3 + 21 = 100 и 2) 7 + 6 + 54 + 32 + 1 = 100. 11. Анара права. 12. 50 тысяч. 13. Одинаково. 14. Каждое число, начиная с третьего, есть сумма двух предыдущих. 15. На 11 м/мин.
§ 19.Проценты
9009738016019.1
По всей видимости, наиболее популярными обыкновенными дробями яв-
и
3
2
ляются 1 1 , так как достаточно часто приходится делить нечто пополам
или на троих.
А вот среди десятичных дробей, без всякого сомнения, наиболее попу- лярной является одна сотая – для неё даже придуманы специальное назва- ние и обозначение – процент – %.
Один процент от числа есть сотая часть этого числа.
Отметим, что слово процент является искажённым латинским выраже- нием, обозначающим 0,01.
Соответственно, так как сотая часть числа есть один процент от него, то сто процентов от числа равны самому этому числу.

Задача
Жылдыз сказала Ильгизу, что 25% их одноклассников носят очки.
«Неправда. Я точно знаю, что в нашем классе очки носит каждый четвёр- тый», – ответил Ильгиз. Прав ли Ильгиз?
Решение
4
Как уже говорилось ранее, дробную черту в выражении

1 мы понима-
ем как знак деления. И если разделить 1 на 4, то получится 0,25, а так как 0,25 = 25%. Таким образом, Ильгиз сказал то же, что и Жылдыз, только дру- гими словами.
Упражнение 1
Двадцатая часть деталей, выпущенных заводом X, не соответству- ет стандартам. Верно ли будет сказать, что 20% деталей – брак?
Пятая часть учеников 5Б класса болеет за футболистов Барселоны. Верно ли будет сказать, что 80% этого класса не являются болель- щиками футболистов Барселоны?
9009738014719.2
Задача
Запишите в виде процентов: a) 0,29; b) 71,2; c) 0,3.
Запишите в виде числа: a) 77%; b) 520%; c) 0,06%.
Решение
Так как 1 = 100%, для того, чтобы записать число в виде процентов, нуж- но умножить его на 100 и приписать значок, обозначающий процент:
a) 0,29 = (0,29 • 100)% = 29%;
b) 71,2 = (71,2 • 100)% = 7120%;
c) 0,3 = (0,3 • 100)% = 30%.
Так как 1% = 0,01, для того, чтобы записать проценты в виде числа, нуж- но разделить его на 100 и убрать значок, обозначающий процент:
a) 77% = 77 : 100 = 0,77;
b) 520% = 520 : 100 = 5,2;
c) 0,06% = 0,06 : 100 = 0,0006.
Упражнение 2
1) Запишите, в виде процентов:
a) 0,09b) 1,2c) 0,037d) 15e) 0,007f) 3,21
2) Запишите в виде числа:
a) 17%b) 2,4%c) 0,46%d) 156%e) 20,7%f) 0,321%
1) Запишите в виде процентов:
a) 0,15b) 11,22c) 5,037d) 0,015e) 0,0027f) 32
Запишите в виде числа:
a) 7%b) 52%c) 4,16%d) 506%e) 0,27%f) 0,003%
7569738014719.3
Число a составляет р процентов от числа b, если a = (b : 100)p. Другими словами: разделив число b на 100, найдём 1% от этого числа,
а затем, умножив результат на р, получим число а, которое составляет р
процентов от числа b.

Задача
По словам Жылдыз, 25% учащихся в её классе носят очки. Определите, сколько учащихся в классе Жылдыз носят очки, если в классе всего 28 уче- ников? Как изменится ответ, если предположить, что в классе 23 ученика?
Решение
Если в классе 28 учеников, то 1% от этого числа равен 28 : 100 = 0,28.
Поэтому 25% от 28 равны (28 : 100) • 25 = 0,28 • 25 = 7.
Если предположить, что в классе 23 ученика, то 25% от этого числа равно (23 : 100) • 25 = 0,23 • 25 = 5,75. Но этот ответ является недопустимым, потому что число учеников не может быть дробным. Следовательно, недопустимо предположение о том, что в классе 23 ученика.
Упражнение 3
Сколько бракованных деталей выпустил завод X, если он выпустил 6200 деталей, и известно, что 95% деталей небракованны?
В 5Б классе 35 учеников. Сколько учеников болеет за футболистов Барселоны, если известно, что остальные составляют 80%?
9009737952519.4
Задача
Вычислите.a) 51% от 1020b) 0,15% от 240
Решение
a) Так как 1% от 1020 равен 1020 : 100 = 10,2, то 51% равен 10,2 • 51 = 520,2.
b) Так как 1% от 240 равен 240 : 100 = 2,4, то 0,15% равны 2,4 • 0,15 = 0,36.
Упражнение 4. Вычислите.
1. a) 25% от 12b) 20% от 27c) 150% от 2d) 1,5% от 200
2. a) 44% от 10b) 39% от 120 c) 920% от 12 d) 0,5% от 212
9009738016019.5
Задача
Три друга заработали 80000 сомов. 35% от этой суммы получил Азат, 40% – Алтымыш. Сколько денег получил Шайлоо?
Решение
Один процент от общей суммы равен 80000 : 100 = 800.
Поэтому Азат получил 800 • 35 = 28000 сомов, Алтымыш – 800 • 40 = 32000
сомов, Шайлоо получил оставшиеся деньги: 80000 – 28000 – 32000 = 20000 сомов.
Заработок Шайлоо можно подсчитать и другим образом: его доля в общем заработке составляет 100% – 35% – 40% = 25%.
Поэтому он получил (80 000 : 100) • 25 = 20000 сомов.
Упражнение 5
Население Земли 6680 млн человек. При этом в трёх крупней- ших по количеству населения странах проживают: в Китае – 20%, в Индии – 17%, в США – 4,5% населения Земли. Сколько человек проживает во всех оставшихся странах?
Вся поверхность земной суши – это 149 млнкм2. При этом террито- рия суши трёх крупнейших по площади стран составляет:
4104004408773Россия – 11,4%, Китай – 6,26%, США – 6,15% поверхности земной суши. Сколько км2 занимает поверхность земной суши всех остав- шихся стран?
7569738016019.6
Задача
В шахматном кружке 9 девочек. Сколько человек зани- мается в этом кружке, если девочки составляют 45%?
Решение
Обозначим буквой N количество кружковцев. Тогда имеет место уравне- ние (N : 100) • 45 = 9. Отсюда следует, что N = (9 : 45) • 100 = 20. Итак, мы определили, что в шахматном кружке занимается 20 человек.
Упражнение 6
В средней группе детского сада 24 ребёнка. Сколько всего детей в этом детском саду, если в остальных группах – 75% детей?
Магазин за день продал 256 кг картофеля. В результате в магази- не осталось 36% картофеля, имевшегося в начале дня. Сколько кг картофеля было в магазине в начале дня?
Если число a составляет p процентов от числа b, то b = (a : p) • 100. Другими словами: если число a составляет p процентов от числа b, раз- делив а на р, найдём 1% от числа b, затем, умножив результат на 100, по-
лучим число b.

75697315636019.7
Задача
Найдите число: a) 15% от которого равны 75; b) 400% от которого равны 21.
Решение
Если 15% от числа равны 75, то 1% равен 75 : 15 = 5. Следовательно, искомое число равно 5 • 100 = 500.
Если 400% от числа равны 21, то 1% равен 21 : 400 = 0,0525. Следовательно, искомое число равно 0,0525 • 100 = 5,25.
Упражнение 7. Найдите число, p% от которого равны q.
1. a) p = 10; q = 12 c) p = 120; q = 1,2e) p = 15; q = 22,5 b) p = 40; q = 2d) p = 7; q = 28f) p = 0,13; q = 1,43 2. a) p = 20; q = 220 c) p = 150; q = 24e) p = 11; q = 27,5 b) p = 25; q = 12d) p = 13; q = 26f) p = 0,02; q = 4,3
9009738016019.8
Задача
Больше всего нефти в мире добывает Саудовская Аравия – 516 миллио- нов тонн в год. Если бы мировое производство было на 400 млнт больше, то доля Саудовской Аравии составила бы 12%. Сколько нефти добывается в мире за год?
Решение
Если 12% от числа равны 516, то 1% равен 516 : 12 = 43.
Следовательно, если бы мировое производство было на 400 млнт боль- ше, то оно бы равнялось 43 • 100 = 4300. Отсюда получаем, что мировое производство нефти составляет: 4300 – 400 = 3900 млнт.
Упражнение 8

3599941384791.Озеро Иссык-Куль, глубиной 668 м, занимает 5 место в мире по глубине. Если бы Иссык-Куль был мельче на 20 метров, то его глубина была бы равна 40% от глубины Байкала. Найдите глубину Байкала –
самого глубокого озера мира.
Если бы самая высокая гора Кыргызстана – пик Победы – была на 64 м ниже, то высочайшая вершина мира Джомолунгма (Эверест) по высоте составляла бы 120% от высо- ты пика Победы. Определите высоту пика Победы, зная, что высота Джомолунгмы (Эверестa) 8850 м.
7569736617819.9
Задача
На праздники к Мае и Алтымышу приехали все 9 их детей. Известно, что дети составили 30% от общего числа гостей. Определите, сколько внуков и внучек было на празднике, если они составили 50% от общего числа гостей.
Решение
Так как дети составили 30% от общего числа гостей, общее число гостей составит (9 : 30) • 100 = 30.
Следовательно, на празднике было: (30 : 100) • 50 = 15 внуков и внучек.
Упражнение 9
Победитель шахматного турнира получил 120 тыс. сомов – 25% призового фонда. Сколько денег получил второй призёр, которому вручили 15% призового фонда?
Площадь земной суши равна 149 млнкм2 и составляет 29% от всей площади поверхности Земли. Сколько млн км2 поверхности Земли покрывает вода?
7569738016019.10
Задача
Найдите 17% от числа, зная, что число 23 составляет 92% от этого числа.
Решение
Если 92% равны 23, то 1% этого числа равен 23 : 92 = 0,25. Следовательно,
17% от заданного числа: 0,25 • 17 = 4,25.
Упражнение 10. Найдите p% от числа, зная, что число n составляет q% этогочисла:
1. a) p = 10; n = 84; q = 12c) p = 120; n = 54; q = 9 b) p = 40; n = 84; q = 70d) p = 7; n = 184; q = 4,6
2. a) p = 19; n = 87; q = 29c) p = 1,5; n = 90; q = 22,5 b) p = 400; n = 0,81; q = 9d) p = 1,3; n = 804; q = 1,2
9009736617819.11
Задача
Общие затраты кота Матроскина, торгующего молоком, составили 2620 рублей, выручка – 3275 рублей. Сколько процентов выручки составляет прибыль?
Решение
Так как прибыль есть разница между выручкой и затратами, в данном слу- чае она равна 3275 – 2620 = 655 рублей. Теперь делим величину прибыли на выручку и получаем ответ: 655 : 3275 = 0,2 = 20%.
Эту задачу можно решить и по-другому.
Разделив величину общих затрат на выручку, получаем, что доля затрат в выручке равна 2620 : 3275 = 0,8 = 80%. Следовательно, доля прибыли в вы- ручке равна 100% – 80% = 20%.
Упражнение 11
Прибыль фирмы «Динура &» сoставила $1573,55, выручка –
$7295,55. Сколько процентов общих затрат составляет прибыль?
Прибыль фирмы «Кумар &» составила 5280,4 евро, общие затраты – 19279,6. Сколько процентов выручки составляют общие затраты?
9009738016019.12
Число, часть которого выражают в процентах, называют базой. Например, так как число 10 составляет 25% числа 40, базой является чис- ло 40. Понятно, что доля самой базы в базе равна 1, или, другими словами, 100%.
Для того чтобы найти, сколько процентов составляет число a в чис- ле b, достаточно вычислить отношение a : b. Так, 30 есть 150% числа 20, потому что 30 : 20 = 1,5 = 150%.

Задача
Сколько процентов населения Земли составляют a) китайцы; b) рус- ские, если население Земли 6800 млн, из них китайцев – 1190 млн, русских – 149,6 млн?
Решение
На земном шаре больше всего китайцев. Они составляют: 1190 : 6800 = 0,175 = 17,5% населения Земли.
Русские по численности стоят на шестом месте среди народов Земли.
Они составляют: 149,6 : 6800 = 0,022 = 2,2% населения Земли.
Упражнение 12. Найдите, сколько процентов составляет число a в числе
b.
1. a) a = 10; b = 80c) a = 150; b = 80
b) a = 15; b = 60d) a = 30; b = 1,5
2. a) a = 17; b = 68c) a = 6; b = 48000
b) a = 135; b = 72d) a = 19,04; b = 112
7569738014819.13
Задача
Огурцы стоили 15 сомов. Сколько они стали стоить после того, как цена уменьшилась на 12%?
Получив 500 эскимо от волшебника на день рождения, крокодил Гена поправился на 1,5%. Сколько теперь он весит, если до дня рождения он ве- сил 80 кг?
Решение
Снижение на 12% соответствует снижению на 15 • 0,12 = 1,8 сома. Следовательно, новая цена: 15 – 1,8 = 13,2 сома.
Если записать вычисления в виде 15 – 1,8 = 15 – 15 • 0,12 = 15 (1 – 0,12) = 1 5 • 0,88 = 13,2 сома, то можно увидеть другой вариант решения.
Итак, старая цена – 15 сомов – является базой для вычислений. Поэтому она составляет 100%. Вычитаем 12% и получаем, что новая цена есть 88% от старой цены. Тогда новая цена равна 15 • 0,88 = 13,2 сома.
Повышение веса на 1,5% есть повышение на 80 • 0,015 = 1,2 кг. Поэтому Гена теперь весит 80 + 1,2 = 81,2 кг. Записав вычисления в виде
80 + 1,2 = 80 + 80 • 0,015 = 80 (1 + 0,015) = 80 • 1,015 = 81,2 кг,
получим другой вариант решения.
Здесь базой для вычислений является старый вес крокодила Гены. Поэтому за 100% берём 80 кг. Тогда новый вес в процентах равен 101,5%,
а в килограммах: 1,015 • 80 = 81,2 кг.
Проведённые выкладки можно обобщить в виде правила.
Если число a увеличить на i процентов, то результат будет равен
a (1 + 0,01i).
Если число b уменьшить на d процентов, то результат будет равен
b (1 – 0,01d).

Упражнение 13. Цена товара изменилась на k%. Определите новую цену товара, зная, что старая цена была равна b.
1. a) k = 10; b = 80 сомовc) k = 1,5; b = 80 евро
b) k = – 15; b = 60 рублейd) k = – 3; b = 1500 сомов 2. a) k = 15; b = 88 сомовс) k = 106; b = 48000 сомов b) k = – 40; b = 650 рублейd) k = – 19,4; b = $150
9009738016119.14
Задача
Цена слив сначала увеличилась на 20%, а затем уменьшилась на 20%. Сколько теперь стоит кг слив, если вначале он стоил 25 сомов?
Цена компьютера сначала уменьшилась на 60%, а затем на 40%. Сколько теперь стоит компьютер, если вначале он стоил $700?
Решение
На первый взгляд может показаться, что ничего не изменилось: цена сначала увеличилась на 20%, а затем на столько же процентов снизилась.
Давайте проверим: после увеличения цены кг слив стоил: 25 (1 + 0,2) = 30 сомов. Сейчас он стоит 30 (1 – 0,2) = 24 сома.
Сложив 60% и 40%, получим 100%. То есть, если бы проценты просто складывались, то имела бы место замечательная ситуация: компьютеры бы ничего не стоили. Но, к сожалению, компьютеры бесплатно ещё не раздают. После того, как цена сначала уменьшилась на 60%, компьютер стоил 700 (1 – 0,6) = 280 долларов США, а после второго снижения: 280 (1 – 0,4) = 168
долларов.
Обобщим результаты.
Если число несколько раз увеличивают или уменьшают на какие-то проценты, то эти проценты нельзя просто складывать или вычитать!

Упражнение 14. Цена товара сначала изменилась на k%, а затем на m%. Определите новую цену товара, зная, что старая цена была равна p.
1.a) k = 50; m = – 50; p = 100 сомов b) k = – 35; m = 50; p = 160 рублей c) k = 165; m = – 80; p = 280 евро
d) k = – 3,3; m = – 20; p = 500 сомов
2.a) k = 45; m = – 45; p = 808 сомов
b) k = – 40; m = – 70; p = 7600 рублей с) k = 66; m = – 30; p = 8200 сомов
d) k = 9,5; m = 60; p = $2450
Составьте и решите упражнение, используя цены на товары, кото- рые Вы недавно покупали.
7569732110519.15
Задача
Определите периметр и площадь квадрата со стороной 20 см.
Чему станут равны периметр и площадь, если две противоположные стороны увеличатся на 10%, а оставшиеся – уменьшатся на 10%?
А что, если 10% поменять на 20%?
Решение
Периметр данного квадрата равен 80 см, площадь: 20 • 20 = 400 см2.
После изменения на 10% получим прямоугольник с длиной 20 (1 + 0,10) = 22 см и шириной 20 (1 – 0,10) = 18 см. Периметр такого прямоу- гольника равен: 22 + 18 + 22 + 18 = 80 см, площадь: 22 • 18 = 396 см2.
Если же изменение будет равно 20%, то получим прямоугольник с дли- ной 20 (1 + 0,20) = 24 см и шириной 20 (1 – 0,20) = 16 см. Его периметр равен: 24 + 16 + 24 + 16 = 80 см, площадь: 24 • 16 = 384 см2.
Обратим внимание на то, что периметр не менялся, а площадь уменьши- лась. Оказывается, эти результаты являются частными случаями утвержде- ния: среди прямоугольников одинакового периметра самую большую площадь имеет квадрат. Доказательство этого утверждения будет приве- дено в старших классах.
Упражнение 15
Определите площадь поверхности и объём прямоугольного парал- лелепипеда, длина которого 50 см, ширина – 25 см, высота – 40 см. Чему станут равны площадь поверхности и объём, если длину увеличить на 20%, ширину увеличить на 40%, а высоту уменьшить на 25%?
Определите периметр и площадь прямоугольника, длина которого 20 см, а ширина равна 15 см. Чему станут равны периметр и пло- щадь, если длину уменьшить на 10%, а ширину увеличить на 20%? А что, если длину увеличить на 20%, а ширину уменьшить на 20%?
7569748014819.16
Задача
Три подруги получили некоторую сумму денег. Канайым получила на 20% больше, чем Насиба, и на 25% больше, чем Зульфизар. Зульфизар получила 48000 сомов. Сколько денег получила Насиба?
Решение
Если Зульфизар получила 48000 сомов, то Канайым получила 48000 • 1,25 = 60000 сомов.
Если Насиба получила х сомов, то Канайым получила х • 1,2 сомов. Поэтому х • 1,2 = 60000 сомов. Отсюда получаем, что Насиба получила 60000 : 1,2 = 50000 сомов.
Упражнение 16
У Динары 16 кур, у Сайкал на 25% больше. Сколько кур у Бахтияра, если их на 50% меньше, чем у Сайкал и Динары вместе.
Бабушка испекла 3 вида пирожков. Пирожков с капустой было 12, пирожков с яблоками на 25% меньше, а пирожки с картошкой соста- вили 50% всех пирожков. Сколько всего пирожков испекла бабушка?
9009738016019.17
Задача
Древесина только что срубленного дерева массой 6,5 центнера содержа- ла 66% воды. Через месяц количество воды стало составлять 48% от массы дерева. На сколько уменьшилась при этом первоначальная масса дерева?
Решение
В задачах подобного рода бывает удобно ориентироваться на неизменную часть – в данном случае на сухую древесину. В начальный момент она со- ставляет 100 – 66 = 34%, или 0,34 • 6,5 = 2,21 ц. Через месяц сухая древесина составила 100 – 48 = 52% от массы дерева. Если массу дерева обозначить через х, то 0,52 • х = 2,21, так как масса сухой древесины не изменилась. Тогда х = 2,21 : 0,52 = 4,25 ц. Итак, за месяц масса дерева уменьшилась с 6,5 ц до 4,25 ц, то есть уменьшилась на 6,5 – 4,25 = 2,25 ц.
Упражнение 17
В школьном кружке было 24 участника, 62,5% из них – мальчики. После того, как кружок покинули несколько мальчиков, процент мальчиков снизился до 55%. Сколько мальчиков осталось в кружке?
Свежие грибы содержат 90% воды, сушёные – 12%. Сколько сушёных грибов выйдет из 11 кг свежих?

Запишите, используя проценты.
a) 0,17b) 12c) 3,17d) 0,1215e) 0,0027
Запишите в виде десятичной дроби.
a) 21%b) 32,41%c) 246%d) 0,156%e) 2007%
Вычислите.
a) 15% от 20 c) 250% от 22
b) 2% от 70d) 0,25% от 220
Турист преодолел 70 км. При этом 40% дороги он прошёл пеш- ком, 28% – на лошади, а оставшуюся часть дороги – на автобусе. Сколько км он проехал на автобусе.
На трёх полках расположено 60 книг. На 1-й полке – 45%, на 2-й полке – 35%. Сколько книг стоит на 3-й полке?
Население города за 5 лет увеличилось на 8%. Сколько человек жило в городе 5 лет назад, если сейчас их 250 000?
В прошлом году у Юсупа было 160 овец. За год их количество уве- личилось на 15%. Сколько сейчас овец у Юсупа?
За 1-й месяц работы Айсулуу заработала 25000 сомов, за 2-й – на 12% больше. Сколько всего денег заработала Айсулуу за 2 месяца?
На 1-й неделе на заводе было изготовлено 400 телевизоров, на 2-й – на 15% больше, а на третьей неделе – на 5% меньше, чем на второй. Сколько всего телевизоров изготовлено за 3 недели?
В библиотеке 1000 книг по математике. Книг по физике – на 24% меньше, а книг по истории – на 15% больше, чем по физике. Определите количество книг по истории.
11.После того, как Карлсон съел 28 конфет, в вазе осталось 30% кон- фет. Сколько конфет было в вазе?
В дружине Манаса 40 витязей. 60% из них носят усы, а 12,5% усачей являются левшами. Сколько левшей носят усы?
В классе 3 девочки имеют зелёные глаза. Сколько учащихся в этом классе, если девочки составляют 60% класса, а зеленогла- зые девочки составляют 20% от числа всех девочек?
В классе 4 мальчика носят очки. Сколько учащихся в этом классе, если мальчики составляют 50% класса, а те, кто носит очки, составляют 25% от числа всех мальчиков?
В мае 2012 года цена проезда в маршрутном такси в Бишкеке увеличилась с 8 до 10 сомов. На сколько процентов подорожал проезд?
В мае 2012 года цена проезда на троллейбусе в Бишкеке уве- личилась на 60%. На сколько сомов подорожал проезд, если после подорожания он стоит 8 сомов?
17. Морковь была выращена на трёх грядках. На 1-й выращено 45 кг, на 2-й – на 40% больше, чем на 1-й, и на 10% меньше, чем на 3-й. Сколько всего моркови было выращено?
Черепашки Ниндзя много времени уделяют тренировкам. В один из дней 1-й из них подтянулся 360 раз, 2-й – на 15% меньше,
чем 1-й, и на 2% больше, чем третий. Сколько раз подтянулся третий?
Маша и Миша соревнуются в беге. За одно и то же время Маша делает на 20% шагов больше, но длина её шага короче шага Миши на 20%. Кто из них победит?
Свежие яблоки содержат 80% воды, сушёные – 15%. Сколько сушёных яблок выйдет из 17 кг свежих?
§ 20. Организация данных
8937778016020.1
Когда вы собрали данные, вам нужно их организовать. Один из способов организации – это частотные таблицы.
Задача
Постройте частотную таблицу для результатов теста в 5 классе: 30, 40, 20,
30, 10, 40, 50, 20, 10, 40, 50, 30.
Решение
Частота показывает, сколько человек получили определённый резуль- тат. Например, 2 человека получили по 10 баллов. Запишем все результаты в таблицу.
Результат теста Частота
10 2
20 2
30 3
40 3
50 2
Максим записал размеры обуви своих одноклассников: 20, 18, 22, 19, 20, 18, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 16, 15, 16, 17.
а) Постройте частотную таблицу для размеров обуви.
450224186654b) У скольких учеников размер обуви меньше, чем 20?
с) У скольких учеников размер обуви больше, чем 18?
Малика записала любимые цвета своих друзей: си-
ний, красный, зелёный, жёлтый, красный, синий, жёлтый, красный, си- ний, синий, красный, жёлтый, зелёный, зелёный.
Постройте частотную таблицу для цветов.
7497778016020.2
Задача
В классе измерили вес 16 учеников: 33, 45, 38, 53, 47, 56, 67, 64, 35, 71,
67, 65, 72, 71, 43, 42 кг. Постройте групповую частотную таблицу, используя
группы 30–39, 40–49, …
445199713904Решение
Группа Частота
30–39 3
40–49 4
50–59 2
60–69 4
70–79 3
3.Учитель измерил рост 18 учеников: 102, 112, 145, 133, 122, 118, 123, 137,
147, 156, 103, 114, 121, 109, 122, 143, 139, 161.
Постройте групповую частотную таблицу, используя группы 100–109, 110–119…
Учитель измерил время, за которое ученики решают задачу по мате- матике. Время указано в минутах: 8, 12, 23, 34, 4, 17, 43, 15, 9, 27, 21, 13, 45, 51, 61, 14.
4299496461925Постройте групповую частотную таблицу, используя подходящие группы.
20.3. Гистограммы

Данные могут отображаться по-разному. Поэтому важно выбрать метод, который отображает данные наи- более ясно и эффективно.
Задача
Таблица частот показывает размеры обуви 20 учеников в классе.
Размер обуви 20 20,5 21 21,5 22 22,5 23
Частота 1 2 3 6 5 2 1
Решение
Эту таблицу можно представить в виде гистограммы.
7
6
Частота
5
4
3
2
1
0
2020,52121,52222,52323,5
Размер обуви
Такие гистограммы имеют определённые свойства:
каждый столбик имеет одинаковую ширину, а его высота представля- ет собой частоту;
столбики соприкасаются друг с другом;
значение записывается в средней ширине каждого столбика.
Ниже указано количество конфет в каждом из 20 пакетов. 22232324222523222524
24252422232425242324
а) Представьте данные в виде частотной таблицы.
b) Представьте данные в виде гистограммы.
Запишите размеры обуви всех учеников в своём классе. а) Представьте данные в виде частотной таблицы.
б) Представьте данные в виде гистограммы.
с) Какие выводы вы можете сделать из результатов?
8937768014820.4
Задача
Ученики измерили высоту цветков и записали в таблице.
Высота (см) 5–7 8–10 11–13 14–16 17–19
Частота 4 5 10 6 2
Решение
Каждая группа – это «класс» или «интервал».
Если попался цветок с высотой 7,6, то мы записываем его в группу (8–10), в этой группе находятся все цветы с высотой между 7,5 и 10,5.
Можем нарисовать гистограмму.
12
10
Частота
8
6
4
2
0
5811141720
Высота (см)
В таблице указано время, затраченное детьми на поездки в школу.
Время (в минутах) Частота
10–19 4
20–29 5
30–39 9
40–49 3
50–59 2
Представьте данные в виде гистограммы.
435230293940Учитель измерил рост каждого ученика и записал в таблице.
Рост (см) Частота
120–124 2
125–129 4
130–134 8
135–139 5
140–144 3
145–149 2
а) Представьте данные в виде гистограммы.
b) В какую группу вы бы записали учеников с ростом 130,4; 129,6; 144,8?
20.5. Полигоны
Частотные таблицы также могут быть показаны в виде полигонов. Чтобы нарисовать полигон, мы указываем частоту в середине каждого интервала – серединная точка.
Задача
4108945115098Таблица показывает время, потраченное уче- никами на решение задач.
Время (см) Частота
0 ≤ В < 10 6
10 ≤ В < 20 8
20 ≤ В < 30 3
30 ≤ В < 40 2
Нарисуйте полигон.
Решение
Сначала укажем серединные точки.
Время (см) Частота Серединная точка
0 ≤ В < 10 6 5
10 ≤ В < 20 8 15
20 ≤ В < 30 3 25
30 ≤ В < 40 2 35
Затем нарисуем полигон.
10
8
Частота
6
4
2
0
010203040
Время
Даниель записал высоту растений в своём саду.
Высота (см) Частота Серединная точка
10 ≤ В < 20 3 20 ≤ В < 30 5 30 ≤ В < 40 9 40 ≤ В < 50 4 Дополните таблицу.
Представьте данные в виде полигона.
В таблице указан вес учеников в классе.
Высота (см) Частота Серединная точка
40 ≤ В < 50 8 50 ≤ В < 60 10 60 ≤ В < 70 6 70 ≤ В < 80 2 Дополните таблицу.
Представьте данные в виде полигона.
Сколько всего учеников в этом классе?
Какая доля этого класса имеет вес меньше, чем 60 кг?
20.6. Круговые диаграммы

Круговые диаграммы – это ещё один способ предоставления данных. Эти диаграммы используются, когда вы хотите показать части целого.
Задача
200 учеников школы добираются в школу следующим образом: 60 – на ав- тобусе; 40 – на маршрутке; 70 – пешком; 30 – на машине.
Представьте это в виде круговой диаграммы.
40643302323064401870232306Решение
Доля учеников, которые добираются на автобусе === 30%. Посчитаем остальные части и построим диаграмму.
Машина
15%
Автобус 30%
Пешком 35%
Маршрутка 20%

Малика заработала 10 000 сомов. Она потратила эти деньги на: крос- совки – 3000; кафе – 1000; шорты – 2000; сбережения в банк – 3500; кинотеатр – 500.
Представьте это в виде круговой диаграммы.
В классе из 32 человек проголосовали за любимый предмет. Физика – 4
Математика – 12
Английский – 6
Испанский – 6
Химия – 4
а) Постройте круговую диаграмму.
b) Сколько процентов учеников выбрало математику?

Адам бросает игральную кость и записывает результаты: 1, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 3, 6
4, 6, 5, 6, 4, 6, 2, 3, 1, 4
Запишите результаты в виде частотной таблицы.
5095125307516Показаны количество голов, забитых баскетбольной командой в 18 играх.
41, 52, 33, 45, 67, 53, 49, 21, 57
39, 61, 43, 46, 24, 36, 54, 41, 38
5128374275729Постройте групповую частотную таблицу, используя подходящие группы.
Проведите опрос в своём классе и составьте частотную та- блицу. Выберите любую подходящую тему, к примеру, лю- бимый цвет, цвет глаз, сколько минут ученики тратят, чтобы добраться до школы, любимая футбольная команда и т. д.
Результаты тестов 82 учеников написаны в таблице.
0–19 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90–99
8 10 14 18 15 5 6 4 2
Нарисуйте другую таблицу, в которой интервалы равны 20 баллам.
Представьте данные в виде гистограммы.
Гистограмма показывает вес учеников в классе.
14
12
Частота
10
8
6
4
2
0
304050607080
Вес (кг)
Сколько учеников в группе 60–69?
Постройте частотную таблицу, используя эту гистограмму.
Какой вес ученика будет минимально возможным?
Какой вес ученика будет максимально возможным?
Таблица показывает время, потраченное студентами на домашнее задание.
Время (мин) Частота Серединная точка
10–19 2 20–29 4 30–39 10 40–49 3 Дополните таблицу.
Представьте данные в виде полигона.
Бюджет школы был потрачен следующим образом: 55% – зарплата учителей;
15% – ремонт классов; 10% – покупка книг;
10% – покупка компьютеров; 5% – обновление спортзала; 5% – покупка игрушек.
а) Покажите информацию в виде круговой диаграммы.
b) Если школа потратила $2000 на обновление спортзала, сколько всего было в бюджете?
Книги 26%
Зарплата 32%
Ремонт 15%
Игруш- ки 9%
Компьютеры 18%
Круговая диаграмма показывает бюджет школы.
Если на ремонт было потрачено $3000, сколько всего было в бюджете?
Посчитайте, сколько было потрачено на каждый сектор.
Жарма
y%
Максым 37,5%
Бозо 12,5%
Аралаш
x%
Диаграмма показывает объём продаж разных видов «Шоро».
а) Какую часть от всех продаж составляет «Бозо Шоро»?
Если объём продаж «Жарма Шоро» составляет от всех продаж, рассчитайте, чему равны x% и y% .
§ 21.Задачи на составление уравнений 3
7497778016021.1
Мы уже хорошо знакомы с волшебными таблицами. Здесь мы будем ре- шать уравнения, для того чтобы получить волшебную таблицу.
Задача
Определить величину волшебного числа, если волшебная таблица имеет вид:
х 5
4х 14
12 8,2
х 3х
b)
Решение
a) Так как таблица волшебная, х + 14 = 4х + 5. Соберём иксы влево, а чис- ла – вправо и получим: – 3х = – 9. Разделив это уравнение на – 3, получим, что х = 3.
Следовательно, волшебное число: х + 14 = 3 + 14 = 17.
б) Волшебность таблицы приводит к уравнению: х + 8,2 = 12 + 3х. Приведём подобные члены и получим – 2х = 3,8. Отсюда х = – 1,9. Использовав найден- ное значение икс, определим волшебное число: х + 8,2 = – 1,9 + 8,2 = 6,3.
Упражнение 1. Определите величину волшебного числа.
х 2,5х
6 9
3х 14
7х 7
a)b)
4 1,5х
9 2х
12 8,2
2х 5х
a)b)
7497762110521.2
Задача
Определите величину волшебного числа, если волшебная «умножатель- ная» таблица имеет вид:
х + 3 х – 3
5 2
50 7х
6 х + 2
b)
Решение
a) Так как таблица «умножательная», то (x + 3) 2 = 5 (x – 3).
Раскроем скобки: 2x + 6 = 5x – 15 и соберём иксы влево, а числа – вправо:
– 3x = – 21. Разделив это уравнение на – 3, получим, что x = 7.
Следовательно, волшебное число: (x + 3) 2 = (7 + 3) 2 = 10 • 2 = 20.
б) Волшебность «умножательной» таблицы приводит к уравнению 50 (x + 2) = 6 (7x). Приведём подобные члены и получим: 8x = – 100. Отсюда x = – 12,5. Использовав найденное значение икс, определим волшебное число:
50 (x + 2) = 50 (– 12,5 + 2) = 50 (– 10,5) = – 525.
Упражнение 2. Определите величину волшебного числа для волшебной
«умножательной» таблицы.
2x + 3 5x – 3
8 12
2 8
3x + 7 2x – 7
a)b)
5x 9
8x + 13 4
5 2x – 1
– 1 x + 10
a)b)
8937772110521.3
Задача
Найдите значение х и дополните волшебную таблицу.
1 5
2 x 1,5x 2x
Решение
Так как таблица волшебная, 1 + 2 + 2x = x + 2 + 5. Соберём иксы влево, а числа – вправо и получим: x = 4.
Следовательно, волшебное число: 1 + 2 + 2x = 3 + 2 • 4 = 11.
Теперь в исходной таблице используем найденное значение x и допишем на место недостающих чисел буквы.
1 b 5
a 2 c
4 6 8
Составим уравнения, начав с этих букв:
а + 6 + 5 = 11; b + а + 8 = 11; с + 6 + 1 = 11.
В уравнении а + 6 + 5 = 11 сложим числа: а + 11 = 11. Тогда а = 0. В уравнение b + а + 8 = 11 подставим а = 0: b + 0 + 8 = 11.
Тогда b = 11 – 8 = 3.
Из уравнения с + 6 + 1 = 11 получим, что с = 11 – 7 = 4. Мы выяснили, что волшебная таблица выглядит так:
1 3 5
0 2 4
4 6 8
Упражнение 3. Найдите значение x и дополните волшебную таблицу.
х 2,5х 5 2х
10 9
1.
– 2 х
1,2х 2х
11 14 2.
7497762174021.4
В этом пункте мы используем уравнения для определения количества элементов множества.
Задача
Опрос, проведённый среди 33 девочек, показал, что 25 из них имеют аль- бом для стихов, 18 любят кино. Число тех, кто любит кино и имеет альбом, в 3,5 раза больше числа тех, кто не любит кино и не имеет альбома. Сколько девочек любят кино и не имеют альбома?
Решение
Составим таблицу, обозначив через х количество девочек, которые не лю- бят кино и не имеют альбома, А – множество девочек, имеющих альбом, K – множество девочек, которые любят кино.
K K A 3,5х 25
A х 18 33
На первом шаге можно заполнить 4-ю строку и четвёртый столбец:
K K A 3,5х 25
A х 8
18 15 33
Далее ячейку на пересечении 2-й строки и 3-го столбца можно заполнить 2-мя способами: по строке и по столбцу. По строке: 25 – 3,5x; по столбцу: 15 – x.
K K A 3,5х 25 – 3,5х;
15 – х 25
A х 8
18 15 33
Следовательно, имеет место уравнение: 25 – 3,5x = 15 – x. Приведём по- добные члены и получим 2,5x = 10. Следовательно, x = 4. Тогда
K K A 3,5 • 4 25 – 3,5 • 4;
15 – 4 25
A 4 8
18 15 33
Закончим заполнять таблицу и получим ответ на поставленный вопрос:
K K A 14 11 25
A 4 4 8
18 15 33
Итак, 4 девочки любят кино и не имеют альбома.
Упражнение 4
В дружине Манаса сорок витязей. Тридцать из них носят усы, вось- меро зеленоглазы. Сколько среди них зеленоглазых усачей, если их число в 1,5 раза меньше, чем число тех, кто не имеет ни одного из этих признаков?

В городе ДАР автомобили марки «Тойота» имеют 984 семьи, 672 се- мьи – автомобили марки «Мерседес». Количество семей, имеющих и «Тойоту», и «Мерседес», равно 0,86 количества семей, не име- ющих ни «Тойоты», ни «Мерседеса». Количество семей, имеющих
«Тойоту» и не имеющих «Мерседес», равно 898. Сколько семей проживает в городе ДАР?
7497778014821.5
Задача
Три друга заработали 42700 сомов. Шайлоо заработал на 10% больше, чем Райымбек, и на 15% меньше, чем Мурат. Сколько денег заработал Мурат?
Решение
Если Шайлоо заработал x сомов, то Райымбек заработал x(1 – 0,1) = 0,9x сомов, а Мурат x(1 + 0,15) = 1,15x сомов.
Значит, они втроём заработали x + 0,9x + 1,15x = 3,05x сомов. Решив уравнение 3,05x = 42700, получим, что x = 14000.
Итак, мы определили, что Шайлоо заработал 14000 сомов. Отсюда следует, что Райымбек заработал 0,9 • 14000 = 12600 сомов, а Мурат 1,15 • 14000 = 16100 сомов.
Упражнение 5
Три предпринимателя заработали 68400 сомов. Мээрим заработа- ла на 10% меньше, чем Назгуль, и на 25% больше, чем Зилола. Сколько денег заработала Назгуль?
Три подруги заработали 159375 сомов. Майрам заработала на 20% больше, чем Чинара, и на на 25% больше, чем Шааркан. Сколько денег заработала Шааркан?
8937776617821.6
Задача
В школе три 5-х класса, в них учатся 80 учеников. Причем в 5Б классе на 3 ученика больше, чем в 5А, а в 5В классе на 8% больше учеников, чем в 5А. Сколько учеников в 5В? Что изменится, если предположить, что в 5Б классе не на 3 ученика, а на 5 учеников больше, чем в 5А классе?
Решение
Если в 5А классе х учеников, то в 5В классе x(1 + 0,08) = 1,08x учени- ков, а в 5Б классе (x + 3) ученика. Следовательно, в трёх классах учатся x + (x + 3) + 1,08x = 3,08x + 3 ученика. Решив уравнение 3,08x + 3 = 80, полу- чим, что x = 25.
Итак, выяснилось, что в 5В классе 1,08x = 1,08 • 25 = 27 учеников.
Если предположить, что в 5Б классе на 5 учеников больше, чем в 5А клас- се, то получится уравнение: x + (x + 3) + 1,08x = 80. Приведём подобные члены: 3,08x = 75 и получим, что x = 75 : 3,08 = 24,35… . Но так как х – это количество учеников, то его значение должно быть целым числом. Поэтому задача с такими условиями решения не имеет.
Упражнение 6
В школе четыре шестых класса, в них учатся 83 ученика. Причём в 6Б классе на 2 ученика меньше, чем в 6А, и на 10% больше, чем в 6В классе. В 6Г классе на одного ученика больше, чем в 6А. Сколько учеников в 6В?
В школе три четвёртых класса, в них учатся 76 учеников. Причём в 4Б классе на 2 ученика больше, чем в 4А, а в 4В классе на 4% мень- ше учеников, чем в 4А. Сколько учеников в 4В?
8937768016021.7
Задача
Периметр треугольника равен 52 см. Вторая сторона больше первой на 10%, а третья больше первой на 15%. Определите длину третьей стороны.
Решение
Если длина первой стороны x сантиметров, то длина второй стороны 1,1x сантиметров, а длина третьей стороны 1,15x сантиметров. Следовательно, периметр треугольника равен x + 1,1x + 1,15x = 3,25x сантиметров. Решив уравнение 3,25x = 52, получим, что x = 16 сантиметров.
Следовательно, длина третьей стороны равна 1,15x = 1,15 • 16 = 18,4 см.
Упражнение 7
Периметр четырёхугольника равен 77 см. Вторая сторона равна первой, третья меньше первой на 20%, а четвёртая меньше тре- тьей на 4 см. Определите длину четвёртой стороны.
Периметр треугольника равен 57,1 см. Вторая сторона меньше пер- вой на 10 см, а третья больше первой на 5%. Определите длину третьей стороны.
7497778016021.8
Задача
Кощею Бессмертному 512 лет, Бабе Яге – 205.
Через сколько лет Кощей Бессмертный будет старше Бабы Яги в два раза?
Решение
Это довольно часто встречающийся тип задач. Ответ легко получить, обо- значив через x искомое количество лет. Тогда в требуемый момент време- ни удвоенный возраст Бабы Яги – 2 (205 + x) – будет равен возрасту Кощея Бессмертного: 512 + x.
Соответствующее уравнение: 2 (205 + x) = 512 + x. Раскрыв скобки и приве- дя подобные члены, получим x = 102.
Следует отметить, что решение задачи можно получить как результат сле- дующего умозаключения: разница в возрасте всегда одна и та же. Так как Кощей Бессмертный старше Бабы Яги на 512 – 205 = 307 лет, он будет стар- ше Бабы Яги в два раза, когда ей будет 307 лет.
Поэтому ответ: 307 – 205 = 102 года.
Упражнение 8
Кошою 22 года, Алмамбету – 1. Через сколько лет Кошой будет старше Алмамбета в 4 раза?
Канайым 23 года, Сыргаку – 55. Через сколько лет Канайым будет младше Сыргака в два раза?
7497778016021.9
Задача
Вы слышали, оказывается, артист Иванов старше жены в два раза.
Это что, новая жена? Двадцать лет назад я слышал, что он старше жены в три раза.
Во-первых, спешим успокоить любителей сенсаций – жена та же. Во- вторых, приведённых данных оказывается достаточно для того, чтобы опре- делить возраст Иванова и его жены.
Неизвестная величина традиционно обозначается буквой x, но это не обя- зательно – можно использовать любую другую букву.
Обозначимчерез 2T возраст Иванова. Тогдавозрастжены– T. Отправившись на 20 лет назад, получим уравнение 2T – 20 = 3 (T – 20). Раскроем скобки: 2T – 20 = 3T – 60 и приведём подобные члены: 2T – 3T = – 60 – 40. В результа- те получим, что T – возраст жены – 40 лет, а 2T – возраст артиста Иванова – 80 лет.
Упражнение 9
Мама говорит дочке: «Восемь лет назад я была старше тебя в 6 раз, а через восемь лет буду старше только в два раза». Сколько лет маме и сколько дочке?
Пять лет назад Азат был старше Аджары в 5 раз, а через 25 лет бу- дет старше только в два раза. Сколько лет Азату и сколько Аджаре?
8937768014821.10
Задача
Зарина шесть лет назад была старше сына в 5 раз, а три года назад – в 3,5 раза. Сколько лет Зарине и сколько сыну?
Решение
Если возраст сына 6 лет назад обозначить через x, то возраст матери – 5x. Тогда 3 года назад возраст сына был x + 3, возраст Зарины – 5x + 3. Соответственно, имеет место уравнение: 3,5 (x + 3) = 5x + 3. Раскрываем скобки: 3,5x + 10,5 = 5x + 3, приводим подобные члены и получаем уравнение: 1,5x = 7,5. Отсюда x = 5. Прибавив 6 к значению x и 5x, получим ответ: Зарине 31 год, сыну 11 лет.
Упражнение 10
Карим девять лет назад был старше Анвара в 8 раз, а через 30 лет будет старше только в 1,5 раза. Сколько лет Кариму и сколько Анвару?
Бермет через 12 лет будет старше дочки в 2 раза, а через 18 лет – в 1,8 раз. Сколько лет Бермет и сколько дочери?
8937768016021.11
Задача
Усен старше Улана в 4 раза. Два года назад он был старше него в 7 раз.
Во сколько раз Усен будет старше Улана через 2 года?
Решение
Обозначив возраст Улана через t, получим, что возраст Усена 4t. Отсюда получим, что 2 года назад имело место равенство: 7 (t – 2) = 4t – 2. Раскрыв скобки 7t – 14 = 4t – 2 и приведя подобные члены, получим: 3t = 12. Отсюда t = 4. Итак, мы узнали, что Улану 4 года, а Усену – 16. Через 2 года Улану бу- дет 6 лет, а Усену – 18, и он будет старше в 3 раза.
Упражнение 11
Асан младше Бактыгуль в 1,5 раза. Пять лет назад он был младше в 2 раза. Во сколько раз Асан будет младше Бактыгуль через 5 лет?
Мелис старше Марата в 2 раза. Четыре года назад он был старше в 4 раза. Во сколько раз Мелис будет старше Марата через 4 года?

Составьте и решите две задачи, используя возраст членов Вашей семьи: папы, мамы, бабушки, дедушки, тёти…

При каком значении x таблица будет волшебной?
2х 12
1 – х 1
2x – 3 – 2
x – 4 4
b)
При каком значении x таблица будет волшебной «умножательной»?
x + 5 3
7 3х
11х 7
6х 13
b)
Найдите значение х и дополните волшебную таблицу.
7 – 2x
5х 9 14 х

23 33 41
х 3х b)
Периметр четырёхугольника равен 175,1 м. Вторая сторона в два раза меньше первой, третья больше первой на 22%, а четвёртая меньше второй на 2 м. Определите длину четвёртой стороны.
В дружине Манаса 40 витязей. Часть из них считает, что лучшее ору- жие – это копьё, другие, их на 25% больше, предпочитают меч, а третьи, их
на одного больше, чем любителей копья, считают, что нет ничего лучше лука. Сколько витязей предпочитают меч?
Если к возрасту Эрбола прибавить возраст его дедушки, который в три раза больше, то получится 88. Сколько лет дедушке?
Отец старше дочери в 4 раза и старше её на 27 лет. Сколько лет отцу? Через сколько лет он будет старше дочери в два раза?
Сын втрое моложе отца. Когда отцу было 36 лет, сын был моложе в 18 раз. Сколько лет теперь каждому из них?
Когда Ваню спросили, сколько ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Серёжи». Тут подбежал маленький Серёжа и сообщил, что он моложе папы на 40 лет. Сколько лет Ване?
У 35-летнего отца 4 сына. Каждый моложе другого на 2 года, причём старшему 8 лет. Когда сумма лет всех детей будет равна возрасту отца?
Мама старше дочки на 24 года, а дочка младше мамы в 3 раза. Сколько лет маме и сколько дочке?
Папа говорит дочке: «Шесть лет назад я был старше тебя в 4 раза, а 3 года назад – только в три раза». Сколько лет папе и сколько дочке?
Мама говорит сыну: «Четыре года назад я была старше тебя в 4 раза, а через десять лет буду старше только в два раза». Сколько лет маме и сколько сыну?
В селе Чон-Сары-Ой 600 дворов. 350 из них имеет огород, 340 – баню. Сколько дворов имеет и баню, и огород, если их количество на 60% больше количества дворов, не имеющих ни бани, ни огорода?
В Волшебстане 500 волшебников. Некоторые из них колдуют с помо- щью волшебной палочки, а другие – нет. 195 весёлых волшебников колдуют с помощью палочки, а 76 невесёлых волшебников палочкой не пользуются. Сколько весёлых волшебников не пользуются палочками, если известно, что их число на 29% больше числа невесёлых волшебников, пользующихся палочками?
В селе Александровка 500 огородов. На 250 огородах растёт морковь, на 267 – капуста. Определите число огородов, на которых растут и морковь, и капуста, зная, что оно на 10% больше числа огородов, на которых нет ни моркови, ни капусты.

Попробуйте решить задачи. Сверьте полученные ответы с ответами, кото- рые стоят сразу после задач. Если какие-то задачи совсем не желают под- даваться Вашим усилиям даже после нескольких попыток, воспользуйтесь указаниями, приведёнными в конце книги.
Чему равна площадь фигуры, составленной из 7 квадратов, если пе- риметр этой фигуры равен 32 см?

Барон Мюнхгаузен сообщил, что на каждой из двух прямых линий по- ставил по две точки. В итоге у него получилось 3 точки. Возможно ли это?
В 5Б классе три ряда парт. В третьем ряду стоит 7 парт, все они заня- ты, и за ними сидят 8 школьников. Кошой сидит за четвёртой партой, если вести счёт от доски, а Бермет сидит за четвёртой партой, если вести счёт от задней стенки. Сколько школьников сидят за шестой партой от доски?
Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
Владелец кондитерской фабрики решил выбрать себе нового заме- стителя. С этой целью он перенастроил один из 5-ти станков-автома- тов, выпускающих шоколадки «Бермет» весом 50 граммов так, чтобы машина выпускала шоколадки другого веса. В заместители он возь- мет того, кто с помощью наименьшего числа взвешиваний узнает, ка- кая из машин разладилась. Чему равно это число? Как произвести эти взвешивания?
Команда «Алга» сыграла 38 матчей. В 30 матчах она не проиграла, в 15 матчах не выиграла. Сколько игр команда «Алга» закончила вничью?
Отцу было 28 лет и 3 месяца, когда родился сын, и 30 лет и 2 месяца, когда родилась дочь. Сколько лет сейчас сыну и отцу, если дочери 5 лет и 8 месяцев?
Во сколько раз лестница с 1-го этажа на 16-й этаж длиннее лестницы с 1-го этажа на 4-й этаж?
Три богатыря – Алмамбет, Сыргак и Чубак – вступили в бой с драко- нами. После того, как каждому дракону срубили по 3 головы, драконы бежали. Больше всех голов – семь – срубил Алмамбет, меньше всех – одну – Чубак. Сколько было драконов и сколько голов срубил Сыргак?
В записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1 поставьте между некоторыми цифрами знаки
«+» так, чтобы получилась сумма, равная 99.
Малыш может съесть 600 г варенья за 6 минут, а Карлсон в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?
Винни-Пуху подарили бочонок с мёдом массой 5 кг. После того как Винни съел половину мёда, бочонок стал весить 3 кг. Сколько кило- граммов мёда подарили Винни-Пуху?
Прямоугольник разделили на 4 прямоугольника.
2 6
4 ?
Площади трёх из них – 2 см2, 4 см2, 6 см2. Чему равна площадь исходного прямоугольника?
Продолжите последовательность чисел: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22…
Марья Искусница получила разрешение взять 1 яблоко из царского сада. Пришла она к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, причём каждый забор имеет одни ворота, которые охраняет сторож. Подошла Марья Искусница к 1-му сторожу и говорит: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». На что сторож ей сказал: «Возьми, но при выходе отдашь мне половину яблок, которые будут при тебе, и ещё одно». Эти же слова повторили Марье Искуснице сторожа, охра- нявшие вторые и третьи ворота. Сколько яблок должна взять Марья Искусница, чтобы после того, как она выполнит требования сторожей, у неё осталось одно яблоко?
Ответы к задачам на внимание, логику и сообразительность
1. 28 кв. см. 2. Возможно. 3. Один школьник. 4. 6. 5. Два взвешивания.
Семь игр команда сыграла вничью. 7. Сыну 7 лет и 7 месяцев, отцу 35 лет и 10 месяцев. 8. В 5 раз. 9. Драконов было 4; Сыргак срубил 4 голо- вы. 10. Задача имеет два решения: 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99 и 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 99. 11. За 2 минуты. 12. 4 кг. 13. 24 см2. 14. 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37… 15. 22 яблока.
§ 22.Криптография
Искусство написания и прочтения шифрованных сообщений называется криптографией. Она нужна не только шпионам и детективам. В настоящее время, в век компьютеров, криптография очень популярна в связи с бурным развитием информационных технологий.
В данном параграфе мы ознакомимся с простейшими способами состав- ления и прочтения секретных сообщений.
7497778016022.1
Однажды знаменитый пират Джек Воробей был схвачен и посажен в тюрь- му. Находясь в тюрьме, он получил посылку от друзей. Там были хлеб, не- много рыбы, бутылка с очень маленьким количеством рома на дне (осталь- ное выпили тюремщики) и колода карт. Изучив порядок расположения карт в колоде, Джек узнал причину ареста.
Как он это сделал?
Оказывается, у его команды был разработан секретный код – каждая кар- та обозначала определённую букву. Поэтому, складывая карты в нужном по- рядке, они могли передавать друг другу сообщения, о которых непосвящён- ные не догадывались.
Давайте и мы приобщимся к кругу друзей Джека Воробья. Договариваемся, что пиковая шестёрка обозначает букву А, пиковая семёрка – букву Б и так далее, согласно таблице 1.
Таблица 1
А Б В Г Д Е Ё Ж З
♠ 6 ♠ 7 ♠ 8 ♠ 9 ♠ 10 ♠ валет ♠ дама ♠ король ♠ туз
И Й К Л М Н О П Р
♣ 6 ♣ 7 ♣ 8 ♣ 9 ♣ 10 ♣ валет ♣ дама ♣ король ♣
туз
С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ
♦ 6 ♦ 7 ♦ 8 ♦ 9 ♦ 10 ♦ валет ♦ дама ♦ король ♦ туз
Ъ Ы Ь Э Ю Я Ө Ү Ң
♥ 6 ♥ 7 ♥ 8 ♥ 9 ♥ 10 ♥ валет ♥ дама ♥ король ♥
туз
Друзья Джека Воробья передали ему колоду, в которой карты были уложе- ны следующим образом: ♣ дама ♠ 10 ♣ валет ♣ дама ♠ 9 ♣ 9 ♠ 6 ♠ туз ♥ 7 ♣ 7
♦ 7 ♣ дама ♣ 10 ♣ король ♣ туз ♠ валет ♠ 10 ♠ 6 ♦ 7 ♠ валет ♣ 9 ♥ 8.
Для того чтобы прочитать сообщение, Джек использовал таблицу 1 и прочитал:

дама ♠ 10 ♣ ва-
лет ♣
дама ♠ 9 ♣ 9 ♠ 6 ♠ туз ♥ 7 ♣ 7
О Д Н О Г Л А З Ы Й
♦ 7 ♣
дама ♣ 10 ♣ король ♣
туз ♠ ва-
лет ♠ 10 ♠ 6 ♦ 7 ♠ ва-
лет ♣ 9 ♥ 8
Т О М П Р Е Д А Т Е Л Ь
Упражнение 1
Прочитайте сообщение: ♣ 8 ♥ 7 ♣ туз ♠ 9 ♥ 7 ♠ туз ♦ 6 ♦ 7 ♠ 6 ♣ валет.
Прочитайте сообщение: ♣ дама ♦ король ♥ 10 ♠ король ♣ валет ♠ 6
♥ валет ♦ 6 ♦ 7 ♣ дама ♣ 9 ♣ 6 ♦ валет ♠ 6.
8937778016022.2
Через некоторое время Джек Воробей получил следующую посылку, в ко- торой были рыба и хлеб, завёрнутые в лист из школьной тетради по мате- матике. Сообщение, которое было написано на этом листе, помогло Джеку бежать.
Конечно же, это сообщение тоже было зашифровано. На листе детским почерком было написано:
34 + 35 – 49 + 45 = 47 42 – 50 – 48 + 31 + 33 = 50
36 + 35 – 26 – 21 = 19 31 – 19 + 33 + 45 + 37 – 24 – 41 = 39
49 – 41 + 38 = 3834 – 35 – 46 + 39 – 30 + 34 – 38 + 45 = 36
Те, кто просматривали посылку, не обратили внимание на математиче- ские упражнения, а Джек Воробей прочитал записку, пользуясь таблицей 2.
Таблица 2
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К
50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39
Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц
38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27
Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я Ө Ү Ң
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
Давайте прочитаем его и мы:
34 35 49 45 47 42 50 48 31 33 50
П О Б Е Г З А В Т Р А
36 35 26 21 19 31 19 33 45 37 24 41 39
Н О Ч Ь Ю Т Ю Р Е М Щ И К
49 41 38 38 34 35 46 39 30 34 38 45 36
Б И Л Л П О Д К У П Л Е Н
Упражнение 2
Прочитайте сообщение:
36 + 50 – 33 + 22 = 3632 – 22 + 33 + 46 – 50 – 33 + 33 – 21 = 18
Зашифруйте фразу Я ЛЮБЛЮ МАТЕМАТИКУ, используя таблицу 2.
Прочитайте сообщение:
48 + 50 – 38 + 45 – 33 – 41 = 4026 – 39 + 50 + 38 – 35 = 48
Зашифруйте фразу ФРАНЦУЗСКИЕ ДУХИ, используя таблицу 2.
7497778014822.3
После успешного побега Джек Воробей написал письмо друзьям в Лондон:
«ВСТРЕЧА В БРИСТОЛЕ С ПЯТОГО ИЮНЯ ПАБ СУНДУК МЕРТВЕЦА». Для
того чтобы его не смогли прочитать чужие, письмо, конечно же, было зашиф- ровано. Но в Лондоне много грамотных людей, которые понимают толк в тай- нописи, не то что полуграмотные тюремщики. Следовательно, шифры, кото- рые были использованы в вышеупомянутых случаях, могли быть разгаданы. (О том, как с такой задачей справился знаменитый сыщик Шерлок Холмс, можно прочитать в рассказе Артура Конан Дойля «Пляшущие человечки».) Поэтому, Джек Воробей использовал двойную шифровку: во–первых, он по- менял буквы на числа, пользуясь таблицей 2.
В С Т Р Е Ч А В Б Р И С Т О Л Е
48 32 31 33 45 26 50 48 49 33 41 32 31 35 38 45
С П Я Т О Г О И Ю Н Я
32 34 18 31 35 47 35 41 19 36 18
П А Б С У Н Д У К М Е Р Т В Е Ц А
34 50 49 32 30 36 46 30 39 37 45 33 31 48 45 27 50
Затем от 1-го, 3-го, 5-го… чисел он отнял 14; ко 2-му, 4-му, 6-му… числам прибавил 5.
48 32 31 33 45 26 50 48 49 33 41 32 31 35 38 45
– 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5
34 37 17 38 31 31 36 53 35 38 27 37 17 40 24 50
32 34 18 31 35 47 35 41 19 36 18
– 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14
18 39 4 36 21 52 21 46 5 41 4
34 50 49 32 30 36 46 30 39 37 45 33 31 48 45 27 50
+ 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5 – 14 + 5
39 36 54 18 35 22 51 16 44 23 50 19 36 34 50 13 55
Числа 14 и 5 были использованы потому, что письмо было написано 14–го мая.
Далее Джек Воробей расставил произвольным образом знаки «плюс» и
«минус» и отправил следующее послание:
34 – 37 + 17 + 38 – 31 – 31 = 3653 + 35 – 38 – 27 + 37 – 17 + 40 – 24 = 50
18 – 39 + 4 – 36 + 21 – 52 = 21 46 + 5 – 41 = 439 + 36 = 54
18 + 35 – 22 – 51 + 16 = 4423 + 50 – 19 + 36 + 34 – 50 – 13 = 55
Упражнение 3
Зашифруйте фразу КАКОЙ Я МОЛОДЕЦ, используя таблицу 2 и дату 5-е июня.
Зашифруйте фразу ЖУМГАЛЬСКИЕ КРАСАВИЦЫ, используя та- блицу 2 и дату 1-е октября.
22.4

Следует отметить, что использование «двойного» шифра требует опреде- лённой аккуратности. Так, для того чтобы зашифровать фразу ТАЛАССКАЯ ФАСОЛЬ, используя таблицу 2 и дату 7-е ноября, установим соответствие между буквами и числами:
Т А Л А С С К А Я Ф А С О Л Ь
31 50 38 50 32 32 39 50 18 29 50 32 35 38 21
Затем используем дату:
Т А Л А С С К А Я Ф А С О Л Ь
31 50 38 50 32 32 39 50 18 29 50 32 35 38 21
– 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7
и, произведя необходимые вычисления, получим числа для шифровки.
Т А Л А С С К А Я Ф А С О Л Ь
31 50 38 50 32 32 39 50 18 29 50 32 35 38 21
– 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7 +11 – 7
24 61 31 61 25 43 32 61 11 40 43 43 28 49 14
Осталось написать сообщение:
24 + 61 + 31 – 61 – 25 + 43 + 32 – 61 = 1140 + 43 – 43 – 28 + 49 = 14
Понятно, что для того чтобы расшифровать сообщение, нужно действо- вать в обратном порядке.
Расшифруем сообщение
35 + 42 + 29 – 47 + 29 = 4346 – 51 + 28 + 42 = 26,
зная, что для шифровки использовалась таблица 2 и дата 4 декабря.
Мы знаем, что при шифровке от 1-го, 3-го, 5-го чисел отняли 4; ко 2-му, 4-му, 6-му … числам прибавили 12.
Поэтому на первом этапе выполним обратные действия:
35 42 29 47 29 43 46 51 28 42 26
+ 4 – 12 + 4 – 12 + 4 – 12 + 4 – 12 + 4 – 12 + 4
39 30 33 35 33 31 50 39 32 30 30
Теперь воспользуемся таблицей 2 и прочитаем сообщение:
39 30 33 35 33 31 50 39 32 30 30
К У Р О Р Т А К С У У
Упражнение 4
1. Прочитайте сообщение 47 + 62 – 29 + 51 – 43 + 48 – 30 + 51 – 39 =
57
48 – 61 + 31 + 53 – 37 – 47 + 30 = 34, используя таблицу 2 и дату 2 декабря.
2. Прочитайте сообщение 31 + 36 – 28 = 27
30 – 42 + 23 + 43 – 32 – 37 + 27 + 44 – 27 = 42, используя таблицу 2 и дату 18 июня.

Зашифруйте Ваше имя и фамилию, используя таблицу 2.
Напишите шифрованные сообщения, обменяйтесь ими с однокласс- ником, сидящим на другом ряду. Прочитайте его сообщение.
Зашифруйте имя и фамилию Вашей бабушки, используя таблицу 2, и дату её рождения.
Должно быть понятно, что может быть громадное количество различных шифров. Например, можно использовать таблицу 2, а затем прибавить к 1-му числу 1, ко 2-му числу прибавить 2, к 3-му числу прибавить 3 и так далее. В этом случае сообщение АТАЙ ОГОНБАЕВ будет записано так:
51 + 33 – 53 = 4440 + 53 – 42 + 44 – 58 – 60 + 56 = 60

Расшифруйте «карточные» сообщения:
a) ♣ 8 ♣ дама ♣ туз ♠ 6 ♠ 7 ♣ 9 ♥ 8 ♠ 9 ♣ дама ♦ 7 ♣ дама ♠ 8 ♣ 8
♣ дама ♦ 7 ♣ король ♣ 9 ♥ 7 ♦7 ♣ 6 ♥ 10
b) ♦ 6 ♦ 8 ♣ валет ♠ 10 ♦ 8 ♣ 8 ♣ 10 ♠ валет ♣ туз ♦ 7 ♠ 8 ♠ валет
♦ валет ♠ 6♣ 6 ♠ 7 ♦ 8 ♦ 7 ♥ 7 ♣ 9 ♣ 8 ♠ 6 ♣ туз ♣ дама ♣10 ♠ 6
Используя таблицу 2, прочитайте сообщение: a) 18 + 47 – 45 – 36 + 41 = 40
b) 31 + 44 – 37 = 5046 – 50 = 4034 – 35 + 36 + 26 – 41 = 39
Используя таблицу 2 и дату 5-е июня, прочитайте сообщение: a) 30 + 43 – 45 = 3923 – 56 – 35 + 56 = 32
b) 32 + 51 = 3155 – 36 – 31 + 34 + 51 – 34 – 37 = 36
38 + 11 – 46 – 12 = 43
Используя таблицу 2 и дату 6-е июня, зашифруйте сообщение:
АГЕНТ ПРИБЫЛb) КТО ХОЧЕТ ТОТ ДОБЬЁТСЯ
Ответы и указания
§ 1. Задачи на повторение программы начальной школы I.
1. 1) ДА; 2) ДА; 3) НЕТ; 4) НЕТ; 5) НЕТ; 6) ДА.
2. 1) ДА; 2) НЕТ; 3) НЕТ; 4) ДА; 5) НЕТ; 6) ДА.
1) ДА; 2) НЕТ
1) НЕТ; 2) ДА
1) НЕТ; 2) ДА
1) ДА; 2) НЕТ
1) НЕТ; 2) ДА
8. 1) ДА; 2) ДА
1) ДА; 2) НЕТ
1) НЕТ; 2) НЕТ
11.1) ДА; 2) ДА
12.1) ДА; 2) ДА
II.
13. 5 14. 2 15. 4 16. 3 17. 1 18. 5
19. 5 20. 2 21. 4 22. 3 23. 2 24. 5
25. 2 26. 1 27. 3 28. 5 29. 3 30. 1
§ 2. Волшебная таблица
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
1. 77 + 244 + 179 = 500.
2. 96 + 225 + 179 = 500.
Каждый раз должно получаться 365. Например: 86 + 136 + 143 = 365; 86 + 119 + 160 = 365; 128 + 94 + 143 = 365.
Каждый раз должно получаться 365. Например: 136 + 143 + 86 = 365; 136 + 77 + 152 = 365; 119 + 160 + 86 = 365.
Каждыйраздолжнополучаться366.Например: 136 + 64 + 115 + 51 = 366; 48 + 86 + 84 + 148 = 366; 48 + 152 + 84 + 82 = 366.
Каждыйраздолжнополучаться366.Например: 84 + 64 + 148 + 70 = 366; 55 + 60 + 181 + 70 = 366; 55 + 136 + 115 + 60 = 366.
Упр. 4
3 6
12 15
144 56
111 23
32 45
16 29
52 164
123 235
a)b)c)d)
34 18
21 5
440 81
419 60
27 60
62 95
673 604
120 51
a)b)c)d)
Упр. 5
Могут быть разные таблицы, например такие:
10 16
5 11
7 16
5 14
1 16
5 20
18 16
5 3
14 16
21 23
14 4
33 23
14 30
7 23
14 26
11 23
a) b)
34 21
21 8
34 35
7 8
34 42
0 8
34 2
40 8
70 61
15 6
73 61
15 3
66 61
15 10
55 61
15 21
a) b)
Упр. 6
27 18
15 6
81 4
129 52
a)b)
22 34
13 25
68 28
79 39
a)b)
Упр. 7
12 4 5
21 13 14
29 21 22
3 6 4
8 11 9
6 9 7
105 122 141
82 99 118
93 110 129
21 15 25
19 13 23
12 6 16
a)b)c)d)
2 14 5
12 24 15
19 31 22
2 5 4
5 8 7
20 23 22
112 77 121
44 9 53
90 55 99
58 47 51
21 10 14
29 18 22
a)b)c)d)
Упр. 8

1. 33 • 30 • 84 = 83160.
2. 24 • 105 • 33 = 83160.
Упр. 9
25 100
15 50
35 28
65 52
32 8 72
44 11 99
12 3 27
30 78 42
5 13 7
45 117 63
a)b)c)d)
60 24
105 42
72 168
108 252
54 18 72
51 17 68
93 31 124
9 8 18
18 16 36
54 48 108
a)b)c)d)
a) Является. b) Не является. Число 44 не «волшебное». c) Не явля- ется. Числа 9 и 23 не «волшебные». d) Является.
2.
85 53 67
43 11 25
92 60 74
31 52 18
13 34 0
28 49 15
a)b)
229 240 300 225
107 118 178 103
6 17 77 2
266 277 337 262
45 26 15 6
49 30 19 10
46 27 16 7
41 22 11 2
c)d)
3.
17 62
15 60
15 28
19 32
25 20
15 10
65 28
95 58
a)b)c)d)
4.
52 57 49
5 10 2
12 17 9
82 91 87
11 20 16
10 19 15
a)b)
5. Таких таблиц много. Одна из них:
5 7 9
2 4 6
6 8 10
23 35 8
21 33 6
16 28 1
b)
6.
320 11 218 14
315 6 213 9
319 10 217 13
333 24 231 27
70 79 77 68
64 73 71 62
60 69 67 58
53 62 60 51
b)
7. a) Да. «Волшебное» число 20160. b) Не является. Число 44 не «волшебное».
8.
30 14
15 7
7 28
8 32
25 10
15 6
65 26
15 6
a)b)c)d)
9.
24 56 80
3 7 10
18 42 60
6 20 24
27 90 108
15 50 60
b)
Упр. 2
1. А1 = А5; А2 = А8 = А10; А3 = А4 = А7; А6 = А9.
2. a) {О; Ш}
{Б; А; Т; К; Е; Н}
{Н; А; Р; Ы}
{Т; А;Л; С}
{Б; И; Ш; К; Е}
{К; А; Р; О; Л}
{Ж; А; Л; Б; Д}
{Т; О; К; М}.
3. B1 = B3 = B4, B2 = B8, B6 = B9
4. a) {К, А, Р, М, О, Л , Д}; b) {С, А, Я, К, Б, Й}; c) {С, А, Г, Ы, М, Б, Й};
d) {М, О, Л, Д, Б, А, С, Н}.
a) Верно; b) верно; c) неверно, так как кит не рыба, а млекопитаю- щее; d) неверно, так как столица США не Нью-Йорк, а Вашингтон.
a) Неверно; b) верно; c) неверно, так как {2; 9} не элемент S; d) вер- но; e) верно, так как любое множество есть свое подмножество; f) неверно, так как 7 не элемент S; g) неверно, так как 4 элемент S; h) неверно, так как 15 элемент S.
a) Верно, если в данный момент в космосе летают космонавты и неверно, если их нет; b) верно; c) верно; d) верно, так как город Бразилия является столицей государства Бразилия; e) верно;
4. f) неверно, потому что в данном случае Айканыш элемент, а не подмножество.
a) Неверно; b) верно; c) неверно, потому что {27; 9} подмножество,
а не элемент; d) неверно; e) верно; f) верно; g) верно; h) неверно; i) верно.
Упр. 3 1. a) {16; 8; 4; 2; 1; 0; 6}; b) {8; 4; 2}; c) {16; 1}; d) {0; 6}.
2.
3. a) {К; А; М; Б; Р}; b) {Б; О; Р; И; С}; c) {К; А; М; Б; Р; О; И; С}; d) {Б; Р}; e) {К; А; М}; f) {О; И; С}.
a) {К; O; Ч; Р}; b) {Ч; O; Л; П; Н}; c) {К; O; Ч; Р; Л; П; Н}; d) {О; Ч}; e) {К;
4. Р}; f) {Л; П; Н}.
a) {4; 17; 2; 10; 6; 8}; b) {4; 2; 10}; c) {17}; d) {6; 8}.
5.
6. a) {А; Й; Ж; Н}; b) {Д; А; Н; И; Я}; c) {А; Й; Ж; Н; Д; И; Я}; d) {А; Н}; e) {Й; Ж}; f) {Д; И; Я}.
a) {Ц; Ю; Р; И; Х}; b) {Р; И; М}; c) {Ц; Ю; Р; И; Х; M}; d) {Р; И}; e) {Ц; Ю;
Х}; f) {M}.
Упр. 4 1. a) {1; 6; 8; 4; 2; 11}; b) {4; 2}; c) {6; 8}; d) {1; 11}; e) {1; 11}; f) {8; 6}; g) {1;
2. 6; 8; 11}; h) Ø; i) {1; 11}; j) {8; 6}; k) Ø; l) {1; 6; 8; 11}; m) {1; 4; 2; 11}; n) {6;
8; 4; 2}.
a) {☺; ☼; ♥; ♦; ♫}; b) {♥}; c) {☺; ☼; ♫}d) {♦}; e) {♦; ♪}; f) {☺; ☼; ♪; ♫}; g) {♦;
3. ♪; ☺; ☼; ♪; ♫}; h) {♪}; i) {♦}; j) {☺; ☼; ♫}; k) {♪}; l) {☺; ☼; ♦; ♪; ♫}; m) {♥; ♦;
♪}; n) {☺; ☼; ♥; ♪; ♫}.
a) {2; 7; 9; 14; 11}; b) {2; 7}; c) {9}; d) {14; 11}; e) {3; 14; 11}; f) {3; 9}; g) {3;
4. 9; 14; 11}; h) {3}; i) {14; 11}; j) {9}; k) {3}; l) {3; 9; 14; 11}; m) {3; 7; 14; 2;
11}; n) {3; 7; 9; 2}.
a) {В; Е; Т; Н; А; М}; b) {Е; А}; c) {В; Н}; d) {Т; М}; e) {Ь; Т; М}; f) {В; Ь;
Н}; g) {В; Ь; Т; Н; М}; h) {Ь}; i) {Т; М}; j) {В; Н}; k) {Ь}; l) {В; Ь; Т; Н; М}; m) {Ь; Е; Т; А; М}; n) {В; Ь; Е; Н; А}.
Упр. 5 Некоторые из возможных слов:
ЯК; ВОСК; КОЖА; КОСА.2) РОСТ; СОРТ; ВРАТА; ТАРА.
3) ОЧКИ; ПОЧКА; САЧОК; КОЧАН.4) СТАН; АСТРА; ТАРАН; РАНА.
Итоговые задания
А1 = А4 = А5; А2 = А8; А3 = А7; А6 не равно А9, потому что столица Испании Мадрид, а не Барселона.
2. a) {А; М; Е; Р; И; К}; b) {А; З; И; Я}; c) {А; Ф; Р; И; К}; d) {Е; В; Р; О; П; А}; e) {А; В; С; Т; Р; Л; И; Я}; f) {А; Н; Т; Р; К; И; Д}
a) Если в Вашем классе есть отличники, то неверно, иначе – верно.
b) Неверно, так как коричневый цвет не принадлежит к цветам ра- дуги. c) Неверно, так как Иссык-Куль является озером, а не морем.
Верно, так как Каспийское море является озером.
a) Неверно; b) Верно; c) Неверно, потому что {21; 9} является под- множеством, а не элементом S; d) Верно; e) Неверно; f) Верно; g) Неверно, так как 9ÝS; h) Неверно, так как {1; 18} является подмно- жеством S.
5. a) {5; 18; 4; 2; 7}; b) {18; 4; 2; 7}; c) {5}; d) Ø.
6. a) {А; Н; Р}; b) {А; З; Т}; c) {А; Н; Р; З; Т}; d) {А}; e) {Н; Р}; f) {З; Т}.
7. a) {Л; Е; Й; К}; b) {С; У; З; А; К}; c) {Л; Е; Й; С; У; З; А; К}; d) {К}; e) {Л; Е; Й};
f) {С; У; З; А}.
8. a) {6; 8; 14; 7; 2; 1; 0; 4}; b) {8; 2}; c) {6; 14; 7; 1}; d) {0; 4}.
9. a) {1; 7; 8; 4; 2; 5}; b) {4; 2}; c) {7; 8}; d) {1; 5}; e) {1; 6; 5}; f) {8; 7; 6}; g)
{1; 6; 5; 8; 7}; h) { 6 }; i) {1; 5}; j) {8; 7}; k) {6}; l) {1; 6; 7; 8; 5}; m) {1; 6; 4;
2; 5}; n) {7; 6; 8; 4; 2}.
Некоторые из возможных слов:
ШУБА; ДУША; ШТАБ; БЕДА.2) МЕСТО; ЛЕТО; ХОЛМ; МОТОР.
§ 4. Количество элементов множества
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
1. 332. 10583. 5974. 621
1. 42. 43. 154. 5
1. 302. 65
1. 2; 22. 3
Итоговые задания
1. 62 2. 8 3. 8 4. 22 5. 19 6.19
7. 4 8. 14 9. 55 10. 33 11. 64 12. 23
13. 63 14. 4 15. 4 16. 12 §5.Элементыгеометрии.Углыиихизмерение.Площадь прямоугольника
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
1. a) 170˚b) 100˚ c) 40˚d) 52˚
2. a) 70˚ b) 90˚c) 36˚d) 152˚
1. a) 15˚ b) 83˚e) 40˚f) 80˚g) 14˚
2. a) 152˚d) 108˚ e) 120˚g) 124˚
1. 1) h2) a3) g
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9
2. 1) a2) h3) a
1. 75˚ и 0˚ или 45˚ и 30˚.
2. 105˚ и 0˚ или 60˚ и 45˚.
1. cÆd = 32˚;c\d = 93˚;d\c = 8˚.
2. c»d = 160˚; c\d = 30˚;d\c = 85˚.
1. e = 66˚, f = 75˚.
Величину угла e однозначно определить нельзя. f = 154˚.
1. 48 см и 128 кв. см.2.46 м и 126 кв. м.
1. 238 см.2.460 м.
Площадь равна 72 кв. м. Периметр зависит от места выреза. Возможны 5 вариантов: 40 м; 44 м; 56 м; 36 м; 48 м.
Площадь равна 96 кв. м. Периметр зависит от места выреза. Возможны 3 варианта: 56 м; 60 м; 64 м.
Итоговые задания
Столько же.
2. a) 73˚; b) 97˚; c) 166˚; d) 22˚.
1) ДА. Если угол меньше 90˚, то он острый. 2) НЕТ. Угол тупой, если он больше 90˚. 3) НЕТ. Объединение смежных углов равно 180˚.
ДА. Разделив 90˚на 2 угла, получим два угла меньше, чем 90˚.
НЕТ ОДНОЗНАЧНОГО ОТВЕТА. 60˚ + 60˚ = 120˚ – тупой угол, но 30˚ + 30˚ = 60˚ – острый угол, а 45˚ + 45˚ = 90˚ – прямой угол.
НЕТ. Если c = 160˚; cÆd = 32˚, то c\d = 128˚. 7) ДА. Если разделить развернутый угол пополам, то получится два прямых угла. 8) НЕТ ОДНОЗНАЧНОГО ОТВЕТА. 150˚ = 140˚ + 10˚ – тупой и острый углы, но 150˚ = 80˚ + 70˚ – два острых угла, а 150˚ = 60˚ + 90˚ – острый и прямой углы. Если тупой угол разделить на 2 угла, то получится ту- пой и острый углы. 9) ДА. 170˚ = 85˚ + 85˚ – два острых угла. 10) ДА.
4. 90˚ и 0˚ или 53˚ и 37˚.
5. cÆd = 43˚; c\d = 109˚; d\c = 21˚.
6. c»d = 90˚; c\d = 13˚; d\c = 22˚.
7. e = 90˚. f = 44˚.
8. 210 см; 1764 кв. см.
9. 26 м и 36 кв. м.
10.138 см.
11.20 м2.
12.Площадь 508 кв. м. Периметр зависит от места выреза. Возможны 4 варианта: 112 м; 124 м; 156 м; 168 м.
13.144 г; 100 г; 44 г.
14.144 г. Азамат должен выбрать «Чёрное в белом», так как в этой шоколадке 48 г белого шоколада, а в «Чёрном квадрате» 44 г.
§ 6. Натуральные числа
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
1. 21
2. 3270
3. 7274
Нет, так как при условной записи каждая буква означает цифру,
аb = 42 не является цифрой.
Конечно, это утверждение неверно. Даже малыши знают, что 55 – 5 = 50. Дело в том, что число 55 записано в арабской позици- онной системе, и мы эту запись понимаем как 5 • 10 + 5.
6. 92
7. 5641
8. 7887.
1. 55; 57; 75 и 77
2. 48 и 84
3. 139; 193; 391; 319; 931 и 913
260; 620; 206; и 602. Числа 062 и 026 являются двухзначными.
a) нет b) да c) нет d) да
a) Да. 55 + 17 = 72. b) Нет. Даже произведение двух самых малень- ких двухзначных чисел трёхзначное число: 10 • 10 = 100. c) Нет, так как 10 цифрой не является.
7. 22; 24; 42; 44.
8. 88; 80.
9. 579; 597; 759; 795; 957; 975.
10.360; 306; 603; 630.
11.a) да b) нет c) да d) нет
12.a) Да. 55 + 75 = 130. b) Нет. Произведение двух самых больших двухзначных чисел четырёхзначное число: 99 • 99 = 9801. c) Да.
a) Нельзя, так как большим может оказаться как число слева, на- пример, 540 > 240, так и число справа, например, 140 < 240. b) Левое число больше, так как любое четырёхзначное число больше любо- го трёхзначного. c) Нельзя, так как большим может оказаться как число справа, например, 900 > 250, так и число слева, например, 900 < 950. d) Правое число больше, так как наименьшее из таких чисел это 920, а наибольшее из чисел, которые могут стоять слева 919. e) Нельзя, так как большим может оказаться как число слева,
Упр. 4
Упр. 5
например, 9600 > 9591, так и число справа, например, 8600 < 9591. f) Нельзя, так как большим может оказаться как число слева, напри- мер, 1010 > 991, так и число справа, например, 1019 и 11990.
a) Левое число больше, так как любое четырёхзначное число боль- ше любого трёхзначного. b) Нельзя, так как большим может ока- заться как число слева, например, 1010 > 994, так и число справа, например, 119 и 904. c) Левое число меньше, так как наибольшее из таких чисел – это 900, а наименьшее из чисел, которые могут стоять справа – 905. d) Нельзя, так как большим может оказаться как число слева, например, 959 > 929, так и число справа, например, 850 < 920.
Нельзя, так как большим может оказаться как число слева, на- пример, 9600 > 5191, так и число справа, например, 3600 < 5191. f) Нельзя, так как большим может оказаться как число слева, напри- мер, 96110 > 591, так и число справа, например, 6110 < 9591.
1. a) 4 b) 32c) 196
2. a) 2 b) 8c) 89
11 лет
20 лет
22 апреля
Она родилась или 8 августа, или 17 августа, или 26 августа.
12 лет
89 или 98 лет
28 мая
Она родилась или 7 декабря, или 16 декабря, или 25 декабря.
Упр. 6 1. е 2.е Упр. 7 1. a) 2 b) 8 c) 9 d) 12 e) 28 f) 61 g) 195
2. a) VII b) IX c) XVIII d) LXII e) CXLI f) IC g) CCLXXIII
3. a) Нет b) В римской системе верно
4. a) 3b) 7c) 10d) 11e) 24 f) 160 g) 145
5. a) VIb) XIVc) XVIId) LXXIII e) CLI f) XCV g) CCCXXVII
6. a) Нет b) В римской системе верно
Итоговые задания
1. 6
2. 10
3. Число 0 не является натуральным. Произведение меньше суммы.
4. 98 и 102
5. 10000 и 99999
6. 10 раз, так как 999 = 9 + 99 • 10.
Наибольшее число 723489.
Наименьшее число 12348.
Наибольшее число 94238.
Наименьшее число 12341.
11.18
12.19
13.6666
е
102 года.
Он подал три рыбы, составив из них число одиннадцать рим- скими цифрами.
17. Составить римское десять: X.
Составить римское шесть: VI. Составить римское четыре: IV.
Составить римское семь: VII. Составить римское двенадцать: XII.
Возможны 2 ответа: VI + IV = X или VI + V = XI.
§ 7. Cкорость, время, работа
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
1. a) 210 кмb) 280 кмc) 560 км d) 1190 км
2. a) 960 м b) 4480 мc) 8960 мd) 10560 м
1. a) 4500 мb) 3750 мc) 5130 м d) 4290 м
2. a) 17250 мb) 13875 м c) 25065 мd) 19950 м
1. 560 км2.50520 м
1.
S 90 км 512 м 616 км 1236 км 111 см 327 м
v 15 км/час 16 м/сек 77 км/час 103 км/час 3 см/сек 3 м/мин
t 6 часов 32 сек 8 часов 12 часов 37 сек 109 мин
2.
S 790 м 5121 км 126 сек 1260 м 391 м 3280 км
v 158 м/час 9 км/час 7 м/сек 105 м/мин 23 м/сек 40 км/мин
t 5 часов 569 часов 18 сек 12 мин 17 сек 82 мин
Упр. 5
Упр. 6

1. 10 км/час 2.75 км/час
1. a) 24 детали b) 48 деталейc) 60 деталей
2. a) 64 гаb) 88 гаc) 136 га
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9
3. a) 84 мb) 161 мc) 245 м
4. a) 90 стр.b) 126 стр.c) 222 стр.
1. 24 дня2.6 платьев3.За 12 дней4.16 пирожков
1. 6 га/час2.5 задач3.9 га/час4.3 часа
1. 10 баранов в день;2.3 м/мин
Итоговые задания
1. 114 м/мин – 14 м/мин = 100 м/мин
2. 1800 м/час
3. Скорость Саши не должна превышать 20 м/мин.
4. 673 км
71 км/час
13 часов
11 м/мин
8. a) 81 b) 108 c) 216 клиентов
9. a) 65 b) 158 c) 214 кирпичей/час
10. a) 402 b) 469c) 42 часа
11.14 Вариант 1. Решения и указания
Ответ легко увидеть непосредственно. Представьте, а лучше по- просите встать друг за другом трёх девочек. В результате увидите, что
Одна впереди двоих, одна посреди двоих, одна позади двоих.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его четырёх сто- рон: 4 + 2 + 4 + 2 = 12 метров. Площадь – произведение длины на ширину: 4 • 2 = 8 кв. метров.
Периметр и площадь, после того как длина и ширина уменьшатся в два раза, будут соответственно: 2 + 1 + 2 + 1 = 6 метров, 2 • 1 = 2 кв. м.
В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Общий рост 152 • 10 + 150 • 15 = 1520 + 2250 = 3770 сантиметров. Можно отме- тить, что первое слагаемое 1520 есть общий рост девочек, второе слагаемое 2250 – общий рост мальчиков.
Ответ легко получить, начав решение с конца. Если пруд полно- стью зарастает за 8 недель, то за 7 недель он зарастёт наполовину, а за 6 недель – на четверть.
Если предположить, что Бакыт пригнал две коровы, то наименьшее возможное число коров: 2 + 3 + 4 = 9.
Если предположить, что Темир пригнал пять коров, то наименьшее возможное число коров: 1 + 2 + 5 = 8, а если предположить, что
он пригнал три коровы, то наибольшее возможное число коров: 1 + 2 + 3 = 6.
Отсюдаполучается, что Бакытпригналоднукорову, а Темир– четыре. Следовательно, Бакыт мог пригнать 2 или 3 коровы. Так как 1 + 2 + 4 = 7, получаем ответ: Две коровы.
Средний по возрасту являлся отцом для младшего и сыном для старшего.
В семье одна девочка. Она является сестрой для каждого из сыновей.
Если в левой части записи 54321 = 60 три цифры будут стоять ря- дом, то результат больше ста. Если плюсики стоят между всеми цифрами, то 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. Следовательно, вместе долж- ны стоять две цифры. Объединим 5 и 4 и сразу же получим ответ: 54 + 3 + 2 + 1 = 60.
Далее нужно убедиться в том, что других ответов нет:
54 + 32 + 1 ≠ 60;54 + 3 + 21 ≠ 60;5 + 43 + 21 ≠ 60;
5 + 43 + 2 + 1 ≠ 60;5 + 4 + 32 + 1 ≠ 60;5 + 4 + 3 + 21 ≠ 60.
Из условия следует, что одна курица за три дня снесёт одно яйцо. За шесть дней одна курица снесёт два яйца, а шесть куриц 6 • 2 = 12 яиц. За девять дней одна курица снесёт три яйца. Соответственно, четыре курицы снесут 4 • 3 = 12 яиц.
Это простая задача на внимательность – в момент встречи велосипедисты находятся на одинаковом расстоянии от любого объекта. Информация о расстоянии между городами и о скоростях велосипедистов является излишней и приведена для отвлечения внимания.
11.Пятый с начала и шестой с конца совпадут, если число участников десять. Это легко увидеть на пальцах руки: положите руки перед собой. Большой палец левой руки будет пятым, если считать слева направо, и шестым, если считать справа налево.
Шоколада было 300 – 120 = 180 г, а мармелада 180 + 340 = 520 г. Отсюда следует, что поросята получили 300 + 180 + 520 = 1000 г сладостей.
В первый месяц он сдал 960 : 6 = 160 литров, и ему ещё оста- лось сдать 960 – 160 – 800 литров. Во второй месяц он сдал столько же: 800 : 5 = 160 литров. Следовательно, за два месяца Матроскин сдал 160 + 160 = 320 литров молока.
Нужно заметить, что числа – это номера букв в алфавите.
Вычитаем: 1934 – 1564 = 370 и получаем ответ.
§ 8. Порядок действий, скобки
Упр. 1
1. a) 42; b) 145; c) 121; d) 107; e) 1025; f) 1768; g) 319; h) 4927; i) 964; j) 300.
2. a) 25; b) 7; c) 20; d) 18; e) 802; f) 115; g) 432; h) 168; i) 215; j) 14.
Упр. 2
Упр. 3

1. a) 50; b) 99; c) 104; d) 112; e) 160; f) 684; g) 624; h) 89; i) 43; j) 504.
2. a) 28; b) 200; c) 54; d) 416; e) 420; f) 5828; g) 540; h) 22; i) 119; j) 3.
1. 2; 4ac; 2y; 101a.
2.
Одночлен 123 ac 3хy 77 15m 34c 35n 2678 45gf
Числовая часть 123 – 3 77 15 34 35 2678 45
Буквенная часть – ac хy – m c n – gf
3. 5f; 12; 9rp; 41c; 517st.
4.
Одночлен 2453 77kl 35хyz 49mn 1675m 243fc 935stn 2678 klm
Числовая часть 2453 77 35 49 1675 243 935 2678 –
Буквенная часть – kl xyz mn m fc stn – klm
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7

1. a) да b) нет c) нет d) да
2. a) 5 (12 – 6) : 3b) (5 • 12 – 6) : 3c) 5 (12 – 6 : 3)
3. a) (7 • 9 + 12) : 3 – 2b) (7 • 9 + 12) : (3 – 2)c) 7 (9 + 12 : 3) – 2
4. a) 270 + (120 + 390) : 3 • 5b) 270 + 120 + 390 : (3 • 5)
c) (270 + 120 + 390) : 3 • 5
5. a) нет b) да c) нет d) да
6. a) 1500 : (25 – 10 • 2)b) 1500 : (25 – 10) • 2c) (1500 : 25 – 10) • 2
7. a) 79 – (12 • 3 + 42) : 6 b) (79 – 12) • 3 + 42 : 6c)
79 – (12 • 3 + 42 : 6)
8. a) 60 • 5 + (12 – 9) : 3b) 60 • (5 + 12) – 9 : 3c) (60 • 5 + 12 – 9) : 3
1. a) 30 (x – y) b) х + 46c) 5c – 4d) 23te) 14х + 7y + 3
2. a) (30 – 3)х = 27хb) (16 + 4)х – 5 = 20х – 5
c) (17 – 5 – 4)c + 3 = 8c + 3d) (21 + 8)
t – 29s = 29t – 29s = 29 (t – s)
e) (91 – 51)х + (18 – 15) + (16 – 9)y = 40х + 3+7y
1. a) 540; b) 360; c) 1680; d) 23100; e) 294.
2. a) 1; b) 3600; c) 1290; d) 5160; e) 392.
1. a) 922; b) 5612; c) 4867; d) 77160; e) 2468; f) 252000; g) 500000; h)
123400.
2. a) 7794; b) 6123; c) 3465; d) 22770; e) 3696; f) 22468; g) 60000; h)
524800.
Упр. 8
Упр. 9

a) 25; b) 43; c) 2; d) Вычисление невозможно, так как подобная за- пись недопустима. e) 867; f) Вычисление невозможно, так как по- добная запись недопустима. g) 6; h) 20.
a) 54; b) 22; c) 1; d) 3; e) Вычисление невозможно, так как подобная запись недопустима. f) 0; g) Вычисление невозможно, так как по- добная запись недопустима. h) 5.
1. a) 9а – 108 b) 13 + 14 – 2x = 27 – 2хc) 7u – 12 – 6c
d)
121 – 51 – 17у = 70 – 17y e) 25 + 2[33 – 3х] = 91 – 6х
f) [41 – 4х] – 40 = 1 – 4х g) {[25х – 3 + 3y] – z} = 25х – 3 + 3y
– z
h) {2[5t + 30 – 6c)] – k} + 3 = {10t + 60 – 12c – k} + 3 = 10t + 63 – 12c – k
Раскрыть скобки невозможно, так как подобная запись недопусти- ма. Скобки обязательно должны быть одна внутри другой. В частно- сти, в данном пункте, так как квадратная скобка открылась раньше круглой, она должна закрыться позже. j) Подобная запись недопу- стима. Фигурная скобка не может быть закрыта раньше квадратной.
2. a) 14 – 2аb) 3х + 17c) 1 – 3сd) 4y – 51
e) 5х + 4 f) 2 – 8хg) 60 – 3х + 9y
Раскрыть скобки невозможно, так как подобная запись недо- пустима. Скобки обязательно должны быть одна внутри другой. В частности, в данном пункте, так как квадратная скобка открылась раньше круглой, она должна закрыться позже.
i) 10х – 20 + 5y–z j) 3 – {2[11 – 2 (5 – 3c)] – 5t} = 1 – 12c + 5t
Упр. 10
1. Ответов несколько. Три из них: 10 = 3 • 3 + 3 : 3; 10 = (44 – 4) : 4;
10 = 2 • 2 • 2 + 2. Поищите ещё.
Ответов много. Один из возможных вариантов: 12 = (2 + 2) • 2 + 2 + 2;12 = (3 + 3) • 3 – 3 – 3; 12 = 44 : 4 + 4 : 4;12 = 5 + 5 + (5 + 5) : 5; 12 = (6 – 6) • 6 + 6 + 6;12 = 7 + 7 – (7 + 7) : 7; 12 = 8 • 8 : (8 + 8) + 8;12 = 9 + (9 + 9 + 9) : 9;
12 = 10 + 10 : 10 + 10 : 10;12 = 11 + 11 : 11 + 11 – 11;
12 = 12 + 12 : 12 – 12 : 12;12 = 13 – 13 : 13 + 13 – 13;
12 = 14 – 14 : 14 – 14 : 14;12 = 15 – (15 + 15 + 15) : 15
Поищите ещё.
Задача имеет несколько ответов. Три из них: 11 = 4 + 4 + 4 – 4 : 4; 11 = 77 : 7 + 7 – 7; 11 = 4 • 4 – 4 – 4 : 4. Поищите ещё.
Задача имеет несколько ответов. Два из них: 13 = 6 + 6 + 6 : 6 + 6 – 6;
13 = 5 +5 + 5 – (5 + 5) : 5. Поищите ещё.
Упр. 11
Ответов много. Один из возможных вариантов:
12 – 3 = 9;1 + 2 + 3 + 4 = 10;(1 + 2 + 3 + 4) : 5 = 1 + 1;
12 + 3 – 4 – 5 + 6 = 12;(1 + 2) 3 – 4 – 5 + 6 + 7 = 13;
12 • 3 : 4 + 5 + 6 – 7 – 8 = 1 + 4;123 – 45 + 6 – 78 + 9 = 15.
Поищите ещё.
Ответов много. Один из возможных вариантов:
12 : 3 = 4;(1 + 2) 3 = 4 + 5;12 + 3 = 4 + 5 + 6;
1 + 2 • 3 = 4 • 5 – 6 – 7;1 + 2 – 3 = 4 + 5 + 6 – 7 – 8;
12 – 3 = 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9;
Поищите ещё.
Покажем, как можно освободить Одиссея и 5 его товарищей. 12 : 3 : 4 = 5 + 6 + 7 – 8 – 9; 1 + 2 • 3 – 4 = 5 + 6 – 7 + 8 – 9;
1 + 2 + 3 + 4 = 56 : 7 • 8 + 9; 12 – 3 • 4 = (56 – 7 • 8) 9;
(1 + 2 – 3) 4 = (56 : 7 – 8) 9;12 : 3 – 4 = 5 + 67 – 8 • 9.
Постарайтесь освободить ещё несколько человек.
Ответов много. Один из возможных вариантов:
(1 + 2) : 3 = 1;12 : 3 : 4 = 1;(12 – 3) : (4 + 5) = 1;
1 • 2 • 3 – 4 + 5 – 6 = 1;1 • (23 + 45 – 67) = 1;
1 • 2 + 3 – 4 + 56 – 7 • 8 = 1;
(12 • 3 : 4) : (56 – 7 • 8 + 9) = 1. Поищите ещё.
Ответов много. Один из возможных вариантов:
1 = 2 – (3 • 4 • 5 : 6 + 7) : (8 + 9);12 = 34 – 5 • 6 + 7 – 8 + 9;
1 • 2 + 3 = 4 + 5 + 6 + 7 – 8 – 9; 1 (2 + 3) + 4 = 56 : 7 – 8 + 9;
1 (23 + 4 • 5) = 6 • 7 – 8 + 9;12 – 3 + 4 + 5 + 6 = 7 + 8 + 9;
1 + 2 • 3 + 4 + 5 – 6 + 7 = 8 + 9; 1 • 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 = 9.
Поищите ещё.
Покажем, как можно освободить Одиссея и 5 его товарищей. 9 + 8 – 7 + 6 = 5 + 4 + 3 • 2 + 1; 98 – 76 = (54 – 32) 1;
9 – 8 + 7 + 6 = 5 • 4 – 3 – 2 – 1; 9 – 8 + 7 + 6 = 5 + 4 • 3 – 2 – 1;
9 + 8 – 7 + 6 = 54 : 3 – 2 • 1;9 • 8 – 7 • 6 = 5 • 4 • 3 : 2 • 1.
Постарайтесь освободить ещё несколько человек.
Итоговые задания
1. a) 2150; b) 600; c) 382; d) 601.
2. a) 200; b) 169; c) 36; d) 8; e) 36; f) 7.
3. 21; 5v; 14ad; 4a17; 5r
4. a) 252; b) 6133; c) 784; d) 3168; e) 468; f) 25200.
5. a) 20 + (12 • 5 + 39) : 3 = 53; b) 20 + 12 (5 + 39 : 3) = 236.
6. a) 12 (a – b)b) 11 (х – 4) c) 4 (3d – 1) d) 29 (t – s) e)
2 (5х + 2y – 2)
7. a) 360; b) 1200; c) 387.
8. a) 221; b) 10; с) 2; d) 7.
9. a) 5а + 2; b) 27 – 2х; c) c – 30; d) 14y – 35; e) 13х + 48; f) 119 – 15х.
10.Существуют разные варианты решения этой задачи. Один из них:
3 = 2 + 1;4 = 3 + 2 – 1; 5 = 4 + 3 – 2 • 1; 6 = (5 + 4) : 3 + 2 + 1;
7 = 6 + 5 – 4 – 3 + 2 + 1;8 = 7 + 65 – 43 – 21;
9 = 8 + 7 – 6 – 5 + 4 + 3 – 2 • 1,10 = (98 – 76 – 5 • 4)
(3 + 2 • 1). Поищите ещё.
11.Существуют разные варианты решения этой задачи. Один из них: 0 = 1 + 2 – 3; 0 = 12 : 3 – 4; 0 = 12 – 3 – 4 – 5;
0 = (12 – 3 • 4) • 56;
0 = 1 + 2 + 34 – 5 • 6 – 7;0 = 12 – 3 • 4 + 56 – 7 • 8;
0 = (1 + 2) 3 + 4 + 5 + 6 – 7 – 8 – 9. Поищите ещё.
12.Существуют разные варианты решения этой задачи. Один из них:
1 • 2 = 3 + 4 – 5;1 • 2 = (3 + 4 + 5) : 6;
1 + 2 = 3 • 4 • 5 : 6 – 7;12 = 34 + 56 – 78;
12 = 3 + 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 или 1 • 2 = (3 + 4 – 5) 6 + 7 – 8 – 9.
Поищите ещё.
§ 9. Целые числа
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
1. a) – 3; b) – 40; c) – 15; d) – 527; e) – 982; f) – 15860; g) – 7; h) 14; i) 15.
2. a) – 21; b) – 14; c) – 109; d) – 107; e) – 1486; f) – 15092; g) – 71; h) – 46; i)
27.
1. a) – 5; b) 10; c) 1235; d) – 21451.
2. a) 51; b) – 210; c) – 123; d) 451.
Самое маленькое из этих чисел – 3, следующее – 1, затем 1, далее 2 и потом 5.
Самое маленькое из этих чисел – 5, следующее – 2, затем 4, и по- том 6.



Самое большое по модулю из этих чисел 5, следующие – это чис- ла 3 и – 3, которые равны по модулю, затем 2 и самые маленькие по модулю это числа 1 и – 1, которые также равны по модулю.
Самое большое по модулю из этих чисел – 7, следующее 4, затем
– 3. Самые маленькие по модулю – это числа 2 и – 2, которые равны по модулю.



Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9

1. a) 9 b) 2c) 4d) 9e) 5
2. a) 4 b) 3c) 9d) 5
1. a) 164b) 414 c) 189 d) 61e) 160 f) 16
2. a) 39b) 28c) 19d) 22e) 50f) 110
1. a) 125 л b) 50 лc) – 25 лd) – 700 л
2. a) 290 кгb) 130 кгc) 30 кгd) – 50 кг
Андабек должен проехать 104 км до Джалал-Абада, а затем 100 км
до Оша.
Николай должен проехать 41 км до Кемина, а затем 160 км до Кара-Балты.
1. $8592.$484
Упр. 10
1. a) – 83; b) – 36; c) – 89; d) – 209; e) – 160; f) – 3; g) 11; h) – 143; i) – 152; j)
296.
2. a) – 69; b) – 806; c) – 23; d) – 187; e) – 26; f) – 8; g) – 119; h) – 127; i) – 38;
j) 185.
Упр. 11
1. a) 1) – 13 – (– 28) = – 13 + 28 = 15 2) – 37 – 82 = –(37 + 82) = – 119
b) 1) – 51 + 87 = 87 – 51 = 362)
17 + (– 72) = 17 – 72 = –(72 – 17) = – 55
c) 1) – 15 (– 4) = 602) – 11 • 17 = – 187
d) 1) – 105 : (– 7) = 152) 152 : (– 4) = – 38
2. a) 1) 37 – (– 82) = 37 + 82 = 1192) – 7 – (– 42) = – 7 + 42 = 35
b) 1) – 112 + 79 = –(112 – 79) = – 332) 173 + (– 28) = 173 – 28 = 145
c) 1) 5 ( – 42) = – 2102) – 8 • (– 71) = 568
d) 1) – 136 : (– 17) = 82) 520 : (– 26) = – 20
Упр. 12
1. a) 912; b) 5613; c) 0; d) 77210; e) – 34; f) – 2534; g) – 2501234; h) – 48234.
2. a) 1; b) 2862; c) – 0 = 0; d) 120; e) – 6634; f) 254; g) – 92501734; h)
2231234.
Упр. 13
a) Задача не имеет решения. b) задача не имеет решения. с) 6 компьютеров.
a) 5 столов. b) четыре с половиной стола. с) задача не имеет решения.
Упр. 14
23 – 9 5
85 53 67
92 60 74
31 52 – 12
– 13 8 – 56
28 49 – 15
a)b)
16 62 15
7 53 6
– 37 9 – 38
8 49 – 5
– 13 28 – 26
30 71 17
a)b)
Итоговые задания
1. a) – 13˚; b) 6˚; c) – 5˚; d) – 2˚; e) – 2˚; f) – 2˚; g) – 9˚; h) – 18˚; i) – 16˚; j) – 26˚.
2. a) 560; b) 2448; c) 36; d) 12; e) 406; f) 78; g) 295; h) 192; i) 5388; j) 4396.
3. 0
4. 198
5. 1003
6. – 215
7. – 45
a) 119. b) задача не имеет решения. с) задача не имеет решения.
Ответов много. Например, – 2; 3; – 2 или – 12; 153; – 150.
Ответов много. Например, 3; – 4; 3; – 4;3.
3 – 9 5
65 53 67
83 71 85
11 52 – 7
– 13 28 – 31
23 64 5
b)
§ 10. Задачи на составление уравнений
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
a) нет; b) да; c) нет; d) нет; e) да; f) нет.
a) нет; b) да; c) нет; d) да; e) да; f) да.
1. a) – 3; b) 8; c) 5; d) – 30; e) 2; f) 4; g) 2; h) 5.
2. a) – 12; b) 6; c) – 1; d) – 5; e) – 3; f) 1; g) 26; h) 2.
1. 1000 сомов2.500 сомов
1. 3 кг2.20 с/литр
1. 992.67
1. 20702.37
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9

1. 44952.64
1. 40 яблок2.75 тонн
8 берез, 18 стрекоз.2. Две.
Упр. 10
1. 60 литров 2. 40 тонн
Упр. 11
1. 12 2. 70
Упр. 12
1. 7 2. 1
Упр. 13 Задача решения не имеет, так как количество банок не может быть дробным.
Задача решения не имеет, так как количество цветков не может быть дробным.
Упр. 14
1. 135 2.45 Упр. 15
1. 90 2.Решения нет 3.72 4.891
Итоговые задания
1. a) 4 b) 4 c) – 4 d) 18 e) 2 f) 8 g) 18 h) 20 i) 2 j) 3 k) 4 l) 144 m) – 4 n) 3.
2. 339 и 253 3.394.305.50
6. 107.1204 сома8.15 сомов9.3 пары
10.511.$50412. 400 г
Пистолетик – 9 сомов, машинка – 45 сомов, книжка – 225 сомов.
Носки – 30 сомов, футболка – 120 сомов, платье – 480 сомов.
25000 рублей
16.23 17.418.12 кг, 6 кг, 15 кг
19.Задача решения не имеет, так как получается, что в третьей фляге – 1 л молока.
20.36
21.800 г; 2400 г; 1600 г
22.24 23.Решения нет. 24.895
§ 11. Элементы геометрии. Площадь и объём прямоугольных геоме- трических фигур
Упр. 1
1. 30 кв. см 2.24 м3.150 кв. см4.60 м
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9

1. 12 кв. м2.28 кв. м
1. 90˚ и 63˚
В прямоугольном треугольнике углы не могут быть больше 90˚.
3. 90˚ и 17˚ 4.90˚ и 68˚
1. 90˚; 16˚; 74˚ или 90˚; 37˚; 53˚2.90˚; 45˚; 45˚ или 90˚; 30˚;
60˚
3. 90˚; 62˚; 28˚ или 90˚; 14˚; 76˚4.90˚; 10˚; 80˚ или 90˚; 9˚;
81˚
1. 168 м2.70 мм
1. 16 м2.23 см
Задача решения не имеет, так как длина первой стороны получает- ся равной – 1 м.
Задача решения не имеет, так как длина четвёртой стороны 13 м получается больше суммы длин остальных сторон.
Нет,таккакплощадьповерхностипервогокуба600 м2, второго – 2400 м2.
Нет,таккакплощадьповерхностипервогокуба24 см2, второго – 384 см2.
1. 100 см2 2. 125 мм3; 60 мм
Упр. 10
1. 120 м2 2. 20 см
Упр. 11
1. 40 2. 24
Упр. 12
1. 72 дм2 2. 1200 м3, 280 м2, 880 м2
Упр. 13
1. 120 дм2 2. 168 м3
Упр. 14 1. 840 м3, 408 м22.972 см3, 648 см2
Упр. 15
1. 360 м2, 180 м22.918 мм2, 952 мм2
Итоговые задания
Площадь 116 кв. м. Периметр зависит от места выреза. Возможны 4 варианта: 44 м; 52 м; 56 м; 60 м.
Площадь 90 кв. м. Периметр зависит от места выреза. Возможны 4 варианта: 38 м; 42 м; 44 м; 46 м.
48 м 5. 2592 кв. м 6. 56 кв. м
e 9. h = 3 м 10. 27
3. 54 кв. см 4.
7. 90˚, 13˚8.
11.
Длина 2 см 10 см 6 м 5 см
Ширина 5 см 3 см 1 м 3 см
Высота 4 см 20 см 3 м 3 см
Площадь основания 10 см2 30 см2 6 м2 15 см2
Объём 40 м3 600 см3 18 м3 45 см3
12.300 см
13.
Длина 12 см 4 м 6 м 3 см
Ширина 3 см 30 м 1 м 5 см
Высота 2 см 2 м 3 м 5 см
Площадь основания 36 см2 120 м2 6 м2 15 см2
Объём 72 см3 240 м3 18 м3 75 см3
Площадь боковой поверхно-
сти 60 см2 136 м2 42 м2 80 см2
Площадь полной поверхности 96 см2 376 м2 48 м2 95 см2
14.90 дм2
15.90˚; 26˚; 64˚ или 90˚; 13˚; 77˚
16.80 км2; 48 км
17. 4 (13 + 14 + 2) = 116 м
18.V = 15 • 4 • 2 = 120 м3; 76 м2
19.7 мм, 5 мм, 15 мм, 11 мм
Задача решения не имеет, так как длина 4-ой стороны получа- ется равной – 2 м.
Задача решения не имеет, так как длина третьей стороны 30 мм получается больше суммы длин остальных сторон.
7 см
Ответ 7 см недопустим, потому что в результате преобразова- ния получается прямоугольник с «отрицательной» стороной.
24.3700 см2; 15000 см3; 3 м
25.75 м2; 8 рулонов
26.4; 3 или 4; 2
§ 12. Выручка, затраты, прибыль, убытки
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9
1. 1)a) 99 дирхемовb) 132 дирхемаc) 407 дирхемов
a) 210 дирхемовb) 252 дирхемаc) 384 дирхема
a) 37 дирхемовb) 52 дирхемаc) 127 дирхемов
2. 1)a) 194700b) 396000c) 240900
2)a) 67360b) 91920c) 51680
3)a) 22500b) 30000c) 67500
1. a) – 13b) – 43c) – 23
2. a) – 15000b) – 5000c) – 7500
a) 26 ящиков b) 34 ящикаc) 21 ящик
a) 250 книгb) 270 книгc) 240 книг
1. a) 150 дирхемовb) 162 дирхема c) 194 дирхема
2. a) 62000b) 65000c) 68000
a) 3 дублона b) 5 дублоновc) 10 дублонов
2. a) 14b) 32c) 92
1000 сомов 2. 310 сомов
520 сомов 2. 330 сомов
15 сомов 2. 35 сомов
2 бутылки 2. 3 кг
1.
1.
1.
1.
Упр. 10
1. 4854
У Карлыгаш стадо увеличилось на 112 овец, у Адилета сократилось на 50 овец.
Итоговые задания
1. 1) a) 171 b) 243 c) 783
2) a) 385 b) 470 c) 540
3) a) 36 b) 48 c) 108 2. a) 65 b) 71 c) 62 a) 300 сольдо b) 362 сольдоc) 393 сольдо
a) 93 рубляb) 77 рублейc) 96 рублей
72 сома6.1177 сомов 7.42 сома8.17 сомов
9. 5 шариков10.7 ручек11. – 500; 7530
Вариант 2Решения и указания
Если крышку стола распилить по диагонали, то останется 3 угла. Если же отпилить меньший кусок, то у стола станет 5 углов.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле P = a + b + a + b, где a и b – длина и ширина прямоугольника. Если и длина, и ши- рина увеличатся в два раза, то вместо a и b нужно написать 2a и 2b. Тогда периметр увеличенного прямоугольника будет равен 2a + 2b + 2a + 2b, то есть в два раза больше.
Площадь прямоугольника находится по формуле S = ab. Площадь увеличенного прямоугольника будет 2a • 2b = 4ab = 4S.
Обозначим количество мальчиков через x. Тогда и количество девочек x. Первая раздача ирисок описывается уравнением 5x + 4x = 108. Отсюда: 9x = 108 и x = 12.
Следовательно, во второй раз он принёс 6 • 12 + 7 • 12 = 156 ирисок.
Если вытащить меньше пяти карандашей, то может оказаться, что все вытащенные карандаши красные.
Возьмите 6 из 9 мячей и положите по 3 на каждую сторону весов. Если тяжёлый мяч не в этой группе шаров, у вас есть ещё 3, 2 из ко- торых надо положить на весы и решить задачу: если шары одинако- вы, то нужный шар – оставшийся, иначе тот, который тяжелее. Если тяжёлый шар в первой группе из 6 шаров, берите 3, которые пере- весили во время первого взвешивания. Из этих трёх два положите на чаши весов. Если один перевесит, то вы его нашли. Если же они весят одинаково, то значит, ваш мяч – тот, который вы отложили.
За столом 3 человека, если это бабушка с дочкой и внучкой. Четверо, если за столом женщина с дочкой, невесткой и внучкой от невестки. Пятеро, если за столом две сестры: одна с невесткой и внучкой, другая с дочкой. Их шестеро, если сидели три сестры: две с дочками и одна с внучкой.
Шесть, потому что если в каждом углу стоит бюст, то его видят бю- сты, стоящие в остальных пяти углах.
Перепилив бревно длиной 6 метров 5 раз, получим 6 чурбаков. Следовательно, 30 чурбаков можно получить, распилив 5 брёвен и сделав 25 распилов.
Если пилить бревна длиной 5, то 5 чурбаков получатся в результате 4 распилов, и, соответственно, 30 чурбаков в результате 4 • 6 = 24 распилов.
Удобно начинать с Алёши Поповича. Он срубил меньше всех. Самое меньшее количество – один. Тогда на долю Ильи Муромца и Добрыни Никитича остаются восемь голов. Если Добрыня срубил две головы, то Илья шесть, а если Добрыня срубил три головы, то
Илья пять. Если же на долю Алёши Поповича пришлись две голо- вы, то Добрыня срубил три головы, а Илья четыре.
Если записать вместе три цифры, то получится число, превос- ходящее 100. Поэтому вместе могут стоять не более двух цифр. Начнём с конца, так как там стоят самые большие цифры. Если взять 67, то нельзя брать 45 или 34, так как их сумма с 67 пре- взойдёт 100. Далее, берём 23, его сумма с 67 даёт 90, и, на наше счастье, сумма оставшихся цифр равна 100. Итак, получили ответ: 1 + 23 + 4 + 5 + 67 = 100.
Следующий вариант – пропустить 7 и взять 56. Далее, берём 34, его сумма с 56 даёт 90, а сумма оставшихся цифр равна 10.
В итоге имеем второе решение: 1+2 + 34 + 56 + 7 = 100.
В случае, когда пропускаем 7 и 6, прибавляя к 45 число 23 и остав- шиеся цифры, получим число, меньшее, чем 100. Далее будут по- лучаться меньшие числа. То есть других решений нет.
11.Эти числа: 6, 7, 8, 9.
Винни-Пух в июле съел 342 + 44 = 386 г мёда, а в ав- густе 342 + 386 – 236 = 492 г мёда. Винни за лето съел 342 + 386 + 492 = 1220 г мёда.
Так как жук двигается в 5 раз быстрее улитки, исходное рассто- яние он преодолеет за 25 : 5 = 5 мин. Следовательно, расстояние, в 7 раз большее, он преодолеет за 5 • 7 = 35 мин.
Среднее число есть сумма цифр, которыми записаны крайние числа.
Вычтем из 2011 возраст 255 лет и узнаем год рождения Моцарта: 2011 – 255 = 1756 год. Прибавив к этому числу 150, узнаем год рождения А. Малдыбаева: 1756 + 150 = 1906 год.
§ 13. Задачи на составление уравнений
Упр. 1
1. 15 мин 2. 35 мин
Упр. 2 1. 9 мин 2. 15 мин
Упр. 3 1. 40 км/час 2. 84 км/час
Упр. 4 1. 12 груш и 12 персиков 2. 11 ч
Упр. 5 1. 8 ч 2. 21 месяц
Упр. 6 1. – 69° 2. – 12°
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9

1. 212.43.94.5
1. 5 коз2.5 столов, 30 стульев и 20 табуреток
Ответ «11 конфет» является неверным, потому что у Женгиса отри- цательное число.
Ответ «14 замечаний» является неверным, потому что у Курванжана отрицательное число.
Упр. 10
1. 80 км/час 2. 3 км/час
Упр. 11
1. 10 2. 12
Упр. 12
1. 68 м/мин 2. 135 м/мин
Итоговые задания
1. 26 км; 34 км; 30 км2.100 м/мин
a) нет; b) нет; c) да; d) нет; e) да; f) да; g) да; h) нет; i) да; j) да; k) нет.
4. 3 мин5.33750 м
6. Успела. В дороге она была 9 часов. Мушкетёры же за 7 часов прео- долели 210 км.
7. 20
Незнайка опять что–то напутал. Число правильных ответов не мо- жет превысить 7 • 17 = 119 баллов.
Незнайка опять что-то напутал. Число правильных ответов должно быть целым числом.
Незнайка опять что-то напутал. Число вопросов должно быть целым числом.
11.84000 метров
Аджара – 140; Бектен – 100; Султан – 80 пельменей.
Если Бакыт прочитывает более 52 страниц в час, читает бы- стрее он, в других случаях – Асель.
14.16 кг, 32 кг
§ 14. Соотношения между единицами измерения
Упр. 1.1
Они придут одновременно, потому что 1 час 40 минут – это 100 минут.
25 минут + 55 минут = 80 минут = 1 час 20 минут.
Упр. 1.2
a) 1 час = 3600 секунд;
7 минут = 420 секунд;
c) 5 часов 52 минуты 5 секунд = 5 • 3600 + 52 • 60 + 5 = 21125 се- кунд;
d) 1 сутки = 24 • 60 = 1440 минут;
e) 3 суток 5 часов = 3 • 24 • 60 + 5 • 60 = 4620 минут;
f) 5 суток 22 часа = 5 • 24 • 60 + 22 • 60 = 8520 минут;
g) 10 суток 15 часов 52 минуты = 10 • 24 • 60 + 15 • 60 + 52 = 15352 минут;
h) 3 недели = 3 • 7 • 24 = 504 часа;
i) 2 недели 6 дней = 2 • 7 • 24 + 6 • 24 = 480 часов;
j) 4 недели 5 часов = 4 • 7 • 24 + 5 = 677 часов;
k) 3 недели 2 дня 6 часов = 3 • 7 • 24 + 2 • 24 + 6 = 558 часов;
июнь и ещё 2 недели = 44 дня;
июль и ещё 3 недели = 52 дня.
a) 4 часа = 240 минут;
b) 5 минут = 300 секунд;
c) 6 часов 2 минуты 52 секунды = 6 • 3600 + 2 • 60 + 52 = 21772 секунд;
d) 5 суток = 5 • 24 • 60 = 7200 минут;
e) 2 суток 11 часов = 2 • 24 • 60 + 11 • 60 = 3540 минут;
f) 3 суток 2 часа = 3 • 24 • 60 + 2 • 60 = 4440 минут;
g) 5 суток 9 часов 3 минуты = 5 • 24 • 60 + 9 • 60 + 3 = 7743 минут;
h) 2 недели = 2 • 7 • 24 = 336 часов;
i) 3 недели 5 дней = 3 • 7 • 24 + 5 • 24 = 624 часа;
j) 2 недели 15 часов = 2 • 7 • 24 + 15 = 351 час;
k) 1 неделя 22 дня 5 часов = 1 • 7 • 24 + 22 • 24 + 5 = 701 час;
август и ещё 4 недели = 59 дней;
ноябрь и ещё неделя = 37 дней.
Упр. 1.3
a) 70 секунд = 1 минута 10 секунд;
147 секунд = 2 минуты 27 секунд;
247 минут = 4 часа 7 минут;
29 часов = 1 сутки 5 часов;
53 часа = 2 суток 5 часов;
15 суток = 2 недели 1 сутки;
27 суток = 3 недели 6 суток.
a) 87 секунд = 1 минута 17 секунд;
272 секунд = 4 минуты 32 секунды;
427 минут = 7 часов 7 минут;
39 часов = 1 сутки 15 часов;
63 часа = 2 суток 15 часов;
19 суток = 2 недели 5 суток;
29 суток = 4 недели 1 сутки.
Упр. 2.1
1. 247 мин; 55 мин2.87 мин; 575 мин
Упр. 2.2
a) 1 час 45 мин; b) 2 часа 10 мин; c) 2 суток 4 часа; d) 3 суток 19 часов 25 мин.
a) 1 час 58 мин; b) 2 часа 9 мин; c) 1 сутки 23 часа; d) 3 суток 3 часа 7 мин.
Упр. 2.3
1. a) 1 дм = 100 мм; b) 7 дм = 70 см; c) 5 дм 2 см 9 мм = 529 мм; d) 3 м = 300 см; e) 13 м 5 дм = 1350 см; f) 125 м 22 см = 12522 см; g) 10 км 15 м = 10015 м; h) 2 км 192 м = 2192 м; i) 13 км 573 м = 135730 дм.
2. a) 7 см = 70 мм; b) 2 дм = 200 мм; c) 4 дм 8 см 1 мм = 481 мм; d) 35 м = 350 дм; e) 813 м 5 дм = 81350 см; f) 257 м 92 см = 25792 см; g) 5 км 522 м = 5522 м; h) 292 км 92 м = 292092 м; i) 33 км 738 м = 337380 дм.
Упр. 2.4
1. a) 270 мм = 2 дм 7 см; b) 147 см = 14 дм 7 см; c) 247 дм = 24 м 70 см; d) 2935 м = 2 км 935 м; e) 54063 м = 54 км 63 м; f) 15321 м = 15 км 321 м; g) 275160 дм = 27 км 516 м.
2. a) 790 мм = 7 дм 9 см; b) 467 см = 46 дм 7 см; c) 47 дм = 4 м 70 см; d) 9135 м = 9 км 135 м; e) 95063 м = 95 км 63 м; f) 71329 м = 71 км 329 м; g)
735170 дм = 73 км 517 м.
Упр. 2.5
a) 6 м 6 дм 9 см; b) 3 км 727 м; c) 56 см 1 мм; d) 4 дм 5 см 5 мм; e) 1 км
892 м; f) 12 м 9.
a) 4 м 9 дм 5 см; b) 7 км 144 м; c) 17 см 4 мм; d) 3 дм 4 см 7 мм; e) 91 км
91 м; f) 18 м 7 дм 3 см.
Упр. 3
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7

1. 25 м2.165 см
1. 2 дм2.56 см
1. a) 1 см2 = 1 см • 1 см = 10 мм • 10 мм = 100 мм2;
b) 1 км2 = 1 км • 1 км = 1000 м • 1000 м = 1000000 м2.
2. a) 1 м2 = 1 м • 1 м = 100 см • 100 см = 10000 см2; b) 1 дм2 = 1 дм • 1 дм = 10 см • 10 см = 100 см2.
1. a) 1 га = 100 м • 100 м = 10000 м2; b) 1 га = 10000 м2 = 100 • 100 м2 = 1
00 а.
2. a) 1 км2= 1000000 м2 = 100 • 10000 м2 = 100 га; b) 1 а = 10 м • 10 м = 100 м2.
1. 12 • 50 = 600 тонн картофеля 2.2400 : 150 = 16 тонн
Упр. 8
Упр. 9

1. 90 мм2.16 дм2
1. a) 1 см3 = 1 см • 1 см • 1 см = 10 мм • 10 мм • 10 мм = 1000 мм3 = 103 м м3;
b) 1 км3 = 1 км • 1 км • 1 км = 1000 м • 1000 м • 1000 м = 1000000000 м3 = 109 м3.
2. a) 1 м3 = 1 м • 1 м • 1 м = 100 см • 100 см • 100 см = 1000000 см3 = 106
см3;
b) 1 дм3 = 1 дм • 1 дм • 1 дм = 10 см • 10 см • 10 см = 1000 см3 = 103 см
3.
Упр. 10.1
1. 62 дм22.20 см
Упр. 10.2
1.
Длина 2 дм 5 см 6 дм 2 км
Ширина 5 см 6 см 100 дм 8 м
Высота 4 см 2 дм 3 м 3 м
Площадь основания 100 см2 30 см2 600 дм2 16000 м2
Объём 400 см3 18000 м3 48000 м3
2.
Длина 2 дм 50 мм 100 см 3 км
Ширина 5 м 6 мм 6 дм 3 м
Высота 7 см 2 см 3 дм 5 м
Площадь основания 100 см2 3 см2 60 дм2 9000 м2
Объём 700 см3 6 см3 180 дм3 45000 м3
Упр. 11.1
1. 9800 м 2. 12 м/сек 3. 144 дм
4. 6800 м 5. 15 м/сек 6. 180 м
Упр. 11.2
1. a) 17 г = 17000 мгb) 3 кг = 3000000 мгc) 7 кг 9 г = 7009 г d) 13 ц = 1300 кгe) 3 ц 5 кг = 305 кгf) 2 ц = 200000 г g) 10 т 165 кг = 10165 кг h) 2 т 92 кг = 2092 кгi) 13 т 3 ц = 133 ц
2. a) 9 г = 9000 мгb) 4 кг 100 г = 4100000 мг c) 17 кг 91 г = 17091 г d) 73 ц = 7300 кгe) 39 ц 55 кг = 3955 кгf) 1 ц 1 кг = 101 кг
g) 8 т 659 кг = 8659 кгh) 12 т 27 кг = 12027 кгi) 343 т 9 ц = 3439 ц
Упр. 11.3
1. a) 2970 мг = 2 г 970 мгb) 7435 г = 7 кг 435 г c) 91035 г = 91 кг 35 гd) 247 кг = 2 ц 47 кг e) 2905 кг = 29 ц 5 кгf) 540 ц = 54 т 0 ц
g) 15321 кг = 15 т 3 ц 21 кгh) 770644 кг = 770 т 6 ц 44 кг
2. a) 32703 мг = 32 г 703 мг b) 170435 г = 170 кг 435 г
c) 67038 г = 67 кг 38 гd) 742 кг = 7 ц 42 кг
e) 90512 кг = 905 ц 12 кгf) 4103 ц = 410 т 3 ц
g) 53721 кг = 53 т 7 ц 21 кгh) 870694 кг = 870 т 6 ц 94 кг
Упр. 11.4
1. 9896 кг2.9892 кг
Итоговые задания
a) 608 часов 9 мин = 25 суток 8 часов 54 мин
21 сутки 15 часов = 519 часов
946 часов = 39 суток 10 часов
m = 4 недели 2 суток 3 часа = 30 суток 3 часа
4. 500 см 5. 4800 см 8. 72 км 9. 6 м/сек 11. 6120 г 12. 4093 кг 1 3 .
2. 2800 м3.3900 см2
6. 2 м7.252 км
10.606300 м
35 см
14.7750 м
§ 15. Обыкновенные дроби
Упр. 1.1
1. a) 51b) 63c) 35d) – 36
2. a) 164b) 10с) 68d) – 48
Упр. 1.2
1. 10 мальчиков2.2400 сомов
24
10
; g)
Упр. 2

1. a)

7
15 ; b)

60
60
37 ; c)

9 ; d)

10
3 ; e)

787
10000

11
; f)
100

719 100

; h)
.
; g)
; h)
.
27 10
Упр. 3
a)
2 ; b)
17 ; c)
11
100
333
; d)
1000
77
; e)
10000
27
; f)
10000
378
1000
72
10
1. 1) 1 сом; 3 1 ; 2) 2 сома; 6 2 .
33 12
83 26
25
7
.
Упр. 4
2. 1) 12 сомов; 2 19 ; 2) 26 сомов; 2 87 .
21
71
8
70
7
a)
64 ; b)
140 ; c)
154 = 14; d)
300 = 12; e)
55 ; f)
42 13
27
11
17
a)
; d)
54
58
.
54
Упр. 5.1
24 ; b)
215 ; c)
144 = 18; d)
1540 = 22; e)
620 ; f)
234
.
37
1. a)
4 ; b)
12
125
21
; c)
187
65 ; e)
120 ; f) 7
2. a)
5 ; b)
27 = 9 ; c)
18 ; d)
119 ; e)
220 ; f)
21 .
63
6415953
2201
92282
145
Упр. 5.2
1. 1/8; 1/102.1/6; 25 сомов.
Упр. 6

a) да; b) нет, так как 5 ≠ 1 ; c) да; d) нет, так как

72 ≠ 8 ; e) да; f)
70
да; g) да; h) нет, так как
16
7• 4 = 7 , а не
7• 4 = 7 .
24030
246248
a) да; b) нет, так как
5 ≠ 1 ; c) нет, так как 2 ≠ 1 ; d) да; e) нет, так
18 3
214
9• 6
13868
3
Упр. 7
как 20 ≠ 2 ; f) да; g) да; h) нет, так как 24
≠ 18 .
1. a)
25 > 19d) – 72 < – 72g) – 81 < – 9
15 6161

230
320
6213
b) 210
> 15e)
3 < 63h) – 1 = – 7
81
270
10200
1284
c) – 62 > – 92f)
15 > 75
35
6219
21120
210

2. a) 255
> 255
d) 72 < 3g) – 13 < –
57
57
25010
268

b) 210 > 221
e) 5 > 1h) – 136
> – 7
100
25
408
c) 2 =
1f) 50 > 5
1366821022
Итоговые задания
1. a) 25; b) 21; c) 30; d) 14; e) 44; f) 18; g) – 51; h) – 84.
2. 12
3. 36000 сомов
4. 1) 5/24; 2) 30/3600; 3) 17/10; 4) 38/10; 5) 737/10000; 6) 287/100; 7) 370/1000; 8) 712/1000000.
5. 110 сомов6.42 сома7.250 сомов
8. 10 сомов 9.1/810. 1/10; 25
11.
a) 25 < 25e) 63 > 63i) 17 < 193m) – 5 > – 1
6261
190200
25250
15025
b) 15 < 17f)
135 < 75j)
57 = 19n)
50 > 15
270270
240120
21070
21070
c) – 81 < – 81g) – 81 < – 19k)
2 < 11o)
2 > 10
6267
5213
1768 13
1378
d) – 72 > – 77 h) – 1 > – 7l) – 72 < –p) 2 > – 7

320
320
1584
25050
136
418
12.Нужно заметить, что 5/7 = 25/35.
a) A»B = {4/7; 5/7; 6/7; 5/6; 5/8}; b) AÆB = {5/7}; c) A\B = {4/7; 6/7}; d) B\A = {5/6; 5/8}.
§ 16. Десятичные дроби. Сложение и вычитание
Упр. 1
Упр. 2
1. a) 0,15; b) 1,2; c) 0,107; d) – 0,117; e)– 2,19;
f) 0,01; g) – 71,012; h) 0,017; i) 0,00117; j) – 12,0009.
2. a) 0,5; b) 1,21; c) 0,3107; d) – 0,72; e)– 25,919;
f) 0,011; g) – 23,0912; h) 0,007; i) 0,0011; j) – 11,00091.
1. a) 13,17 > 12,45; b) 7,812 > 7,343; c)– 10,17 < 9,03; d) 0,17 > 0,122; e)
– 2,9 < – 2,56;
f) – 12,79 < – 3,506; g) 110,7 < 110,72; h) 3,152 < 3,156; i)
– 2,1509 < – 2,1506
Упр. 3
Упр. 4
2. a) 9,7 > 2,9; b) 3,812 < 3,943; c) – 90,73 < 9,03; d) 0,712 > 0,432; e)
– 8,19 > – 8,56;
f) – 12,079 > – 33,506; g) 90,97 > 90,9; h) 315,2 < 315,6; i)
– 32,50973 > – 32,50976
1. 1) 14,62; 2) 8,155; 3) 1,14; 4) 0,148; 5) 0,66; 6) – 16,296; 7) – 11,3; 8)
32,156; 9) – 2,7494.
2. 1) 22,632; 2) 78,55; 3) 4,25; 4) 0,683; 5) 1,42; 6) – 16,296; 7) 10,48; 8)
32,12; 9) – 4,664.
1. 17,24 кг; 0,886 кг.2.13,31 кг; 1,586 кг.
Упр. 5.1
1. 1) Нет, так как 2,45 + 19,97 = 22,42, а 22,42 < 22,57 см.
2) Да, так как 7,812 + 1,9343 = 9,7463, а 9,7463 < 9,31.
3) Да, так как 10,147 + 9,03 = 19,177, а 19,177 > 19,108.
Нет, так как длина отрицательной не бывает.
2. 1) Да, так как 225,7 + 199,73 = 425,43, а 245 < 425,43.
2) Нет, так как длина отрицательной не бывает.
3) Да, так как 1,47 + 0,8367 = 2,3067, а 2,3067 > 2,281.
4) Нет, так как 10,7 + 8,49 = 19,19, а 19,19 < 19,22.
Упр. 5.2
1. 28,87 см2.91,322 м
Упр. 6
1. 2,25 кг2.1,05 упаковки
Упр. 7.1
Есть несколько вариантов. Один из них: 8,03 = 1,67 + 5,01 + 1,35.
Есть несколько вариантов. Один из них: 8,03 = 4,26 + 3,45 + 0,32.
Упр. 7.2
31.08.31 августа – главный праздник Кыргызской Республики: День независимости.
23.02.23 февраля – День защитника Отечества.
Упр. 8

1. 1) 15,7а; 2) 9,69х; 3) – 11,84у + 4,5; 4) 3,1х – 7а + 10,22; 5) 3,1х + 5,66у;
6) 10,1а – 3,5 + 3,21у.
2. 1) 31,7а; 2) 14,541у; 3) 385,85m + 9у; 4) – 19а + 82,42х; 5) 21,82х – 2,15у;
6) 10,01а – 3,795.
Итоговые задания
2
1. 1 1 и 1,5 2.2,39 км2; 1,51 км2
3. a) 23672,16; b) 19811,3; c) 7090,53; d) 7478,24; e) 9626,73; f) 9397,06
(Все числа выражают тысячи квадратных километров)
4. a) 270,18; b) 361,1; c) 102,45; d) 76,81; e) 10,89 (Все числа выражают миллионы квадратных километров)
5. 44,44 см 6.33,432 м7.5,929 см
8. Брутто – 57,763 кг; нетто – 52,5 кг
9. 9,06
10.1) 66,47а; 2) 71,6121у; 3) 342,21m + 4 + 6,85у; 4) – 2,182х + 6,3а;
5) 9,3х + 2,616у; 6) 10,56а – 9,405.
§ 17. Умножение и деление десятичных дробей
Упр. 1
1.
1 мм = 0,1 см = 0,01 дм = 0,001 м = 0,000001 км
10 мм = 1 см = 0,1 дм = 0,001 м = 0,00001 км
100 мм = 10 см = 1 дм = 0,1 м = 0,0001 км
1000 мм = 100 см = 10 дм = 1 м = 0,001 км
1000000 мм = 100000 см = 10000 дм = 1000 м = 1 км
2.
1 г = 0,001 кг = 0,00001 ц = 0,000001 т
1000 г = 1 кг = 0,01 ц = 0,001 т
100000 г = 100 кг = 1 ц = 0,1 т
1000000 г = 1000 кг = 10 ц = 1 т
Упр. 2
Упр. 3

1. 1) 170; 2) 238,94; 3) 73; 4) 627030; 5) 100570; 6) 12300; 7) 5813,47.
2. 1) 10,7; 2) 1234; 3) 17273; 4) 36270,3; 5) 51,7; 6) 93; 7) 31,7.
1.
1000000 г = 1000 кг = 10 ц = 1 т
100000 г = 100 кг = 1 ц = 0,1 т
1000 г = 1 кг = 0,01 ц = 0,001 т
1 г = 0,001 кг = 0,00001 ц = 0,000001 т
2.
1000000 мм = 100000 см = 10000 дм = 1000 м = 1 км
1000 мм = 100 см = 10 дм = 1 м = 0,001 км
100 мм = 10 см = 1 дм = 0,1 м = 0,0001 км
10 мм = 1 см = 0,1 дм = 0,001 м = 0,00001 км
1 мм = 0,1 см = 0,01 дм = 0,001 м = 0,000001 км
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6

1. 1) 0,2; 2) 1,7; 3) 0,07; 4) 27,363; 5) 0,05; 6) 0,023; 7) 7,265; 8) 0,00057; 9)
0,03.
2. 1) 21,3; 2) 0,07; 3) 0,02; 4) 0,003; 5) 0,0002; 6) 2,153; 7) 0,065; 8) 0,05; 9)
37,18.
1. 1) Да, так как 25,7 – 24,5 < 19,97.2) Нет, так как 8,212 < 9,31 – 0,9343.
2. 1) Да, так как 1,47 – 0,903 < 1,08. 2) Нет, так как 10,7 – 9,22 > 1,049.
1. 1) 17,6 г; 2) 19,25 г; 3) 20,152; 4) 21,12.
2. 1) 5,6 г; 2) 4,2; 3) 10,7296; 4) 8,4.
Упр. 7.1
1. 29,7 км2.1732 кг
Упр. 7.2
1. 1) 24,34; 2) 2,401; 3) – 20,6451; 4) 0,00374; 5) – 0,070534; 6) 38,44674; 7)
3,132; 8) 31,779; 9) – 4,42; 10) 61,46.
2. 1) 34,34; 2) 2,13; 3) – 441,8403; 4) 1,284; 5) 1,07814; 6) 27,029079; 7)
19,62; 8) 7,7; 9) 5,1585; 10) – 0,5718.
Упр. 8
Упр. 9

1. (6,4 • 9,92 • 4,5) • 0,6 = 171,4176 ц2.
5,25 • 12,6 • 15,8 = 1045 см3
1. 1) 8,5; 2) 1,75; 3) – 0,37; 4) 0,7; 5) – 0,0007; 6) – 11,6; 7) 0,68; 8) 0,4275;
9) 1,31; 10) 0,075; 11) – 0,156; 12) – 55,8.
2. 1) 4,5; 2) 2,5; 3) – 4,7; 4) – 7; 5) – 0,027; 6) – 2,96; 7) 0,56; 8) 1,7775; 9)
1,95; 10) 0,015; 11) 1,04; 12) 0,596.
Упр. 10
1. 36 2.56
Упр. 11
1. 14 2.400 г
Упр. 12 1) умножение; 2) деление; 3) сложение; также можно поставить запятую.
1) сложение; также можно умножение; 2) деление; также можно вы- читание; 3) запятая.
Упр. 13
Да, так как Мирлан догонит Бегимай за 0,8 часа. За это время Бегимай проедет 0,8 • 76 = 60,8 км.
Нет, так как Азиз может догнать Венеру за 0,5 часа. За это время Венера может проехать 0,5 • 66,2 = 33,1 км.
Упр. 14
1. 2,5 часа2.2,75 часа
Итоговые задания
7 см
a) умножение; b) вычитание; c) сложение; также можно умножение;
d) деление; так же можно вычитание; e) запятая.
3. 1) 86; 2) 28,77; 3) – 3,52; 4) 0,035; 5) – 0,63; 6) – 14,036; 7) 4,25; 8) 3,42;
9) 1,0611; 10) 4,9; 11) – 5,58; 12) – 257,796.
4. 214,83 см2
5. 27,3 м2; 21,8 м; 73,6 м2; 34,4 м
6. 0,432 литра
7. 274,66 см2; 494,388 см3
8. 1249,5 м2; 143,8 • 450 = 64710 сомов.
9. Армии пройдут (4,1 + 5,3) 2,5 = 23,5 км. Поэтому, останется 42,3 – 23,5 = 18,8 км.
10.1) 55,5; 2) 8,75; 3) – 0,25; 4) 0,058; 5) – 0,0004; 6) 0,38; 7) 0,056; 8)
0,1185; 9) 1,95; 10) 0,003; 11) – 0,08; 12) – 0,4.
11.1) 1,95; 2) 0,66; 3) 5,328; 4) – 1,286; 5) 0,179; 6) 5.
2,4 часа
Нет, так как Нуржан может догнать Назгуль за 1,1 часа. За это время Назгуль может проехать 1,1 • 69 = 75,9 км.
За 30 минут они вместе проедут 70,2 км. Поэтому, между ними 164 – 70,2 = 93,8 км.
15.200 м
§ 18. Бесконечные десятичные дроби. Округление. Уравнения с модулем
Упр. 1.1
1. a) 4,5; b) 4,6; c) 5,125; d) 0,75; e) 0,875.
2. a) 0,36; b) 3,5; c) 10,25; d) 46,5; e) 3,75.
Упр. 1.2
1. a) 0,9; b) 2,83; c) 3; d) 0,9; e) 4,8.
2. a) 7,05; b) – 2,77; c) 1; d) 0,448; e) 2.
Упр. 2

1. 1) 8,8(3); 2) 2,(81); 3) – 0,35(0); 4) 0,0241(6); 5) 0,10(6); 6) 1,9(54); 7)
6,125(0); 8) – 6,0(6).
2. 1) 4,(6); 2) 1,8(3); 3) 0,3(0); 4) 0,93(18); 5) 2,01(3); 6) – 2,(4); 7) – 0,01(6);
8) – 50,6(1).
Упр. 3.1
1. 1a) 5231b) 5001c) 523,16
2a) 160 2b) 200 2c) 160,21
3a) 5753 3b) 5800 3c) 5753,24
4a) 1756 4a) 1800 4a) 1755,60
2. 1a) 530 1b) 527,2 1c) 527,157
2a) 160 2b) 160,3 2c) 160,251
3a) 50 3b) 53,2 3c) 53,239
4a) 10 4a) 5,6 4a) 5,631
Упр. 3.2
1. 1) – 3100; 2) – 123; 3) 3,9; 4) 0,63.
2. 1) 17,77; 2) – 40; 3) 0,051; 4) 0,0505.
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9
1. 5,29 м2.1425
1. 1a) 19,(5) = 19,5… 201b) 19,(5) = 19,55… 19,6
1c) 19,(5) = 19,555… 19,561d) 19,(5) = 19,5555… 19,556
2a) 6,27(8) = 6,2… 62b) 6,27(8) = 6,27… 6,3
2c) 6,27(8) = 6,278… 6,282d) 6,27(8) = 6,2788… 6,279
3a) 3,(28) = 3,2… 33b) 3,(28) = 3,28… 3,3
3c) 3,(28) = 3,282 … 3,283d) 3,(28) = 3,2828… 3,283
4a) 5,01(61) = 5,0… 54b) 5,01(61) = 5,01… 5
4c) 5,01(61) = 5,016… 5,024d) 5,01(61) = 5,0161… 5,016
2. 1a) 92,(7) = 92,7… 931b) 92,(7) = 92,77 … 92,8
1c) 92,(7) = 92,777 … 92,781d) 92,(7) = 92,7777 … 92,778
2a) 0,2(81) = 0,2… 02b) 0,2(81) = 0,28… 0,3
2c) 0,2(81) = 0,281… 0,282d) 0,2(81) = 0,2818… 0,282
3a) 59,23(8) = 59,2… 593b) 59,23(8) = 59,23… 59,2
3c) 59,23(8) = 59,238… 59,243d) 59,23(8) = 59,2388… 59,239
4a) 1,0(637) = 1,0… 14b) 1,0(637) = 1,06… 1,1
4c) 1,0(637) = 1,063… 1,064d) 1,0(637) = 1,0637… 1,064
Площадь России в 83,375; Казахстана в 13,585; Узбекистана в 2,235; Таджикистана в 0,715 раз.
Байкал глубже в 2,4; Танганьика в 2,2; Каспийское море в 1,5; Ньяса в 1,1 раз.
1. 1) 2,574 км 2) 593,33 м
2. 1) 69,12 км 2) 1539 м
1. 1) c 2) a3) f4) c5) e
2. 1) c 2) c3) d4) f5) a
1. 1) |AB| = 12,782; 2) |AC| = 17,597; 3) |AD| = 1,969; 4) |BC| = 4,815; 5)
|BD| = 14,751; 6) |CD| = 19,566.
2. 1) |AB| = 1,078; 2) |AC| = 0,898; 3) |AD| = 5,672; 4) |BC| = 1,976; 5)
|BD| = 6,75; 6) |CD| = 4,774.
Упр. 10
1. a) 7,2; 3,2b) 103,21; – 100,79c) 18,3; – 23,7d) – 11,7; – 13,7
2. a) 2,2; – 1,8 b) 1,67; 1,33c) 16,1; – 19,9d) – 13,29; – 15,31
Упр. 11
1. 178 км; 333 км2.20 км; 15,7 км
Упр. 12
1. 0,75 часа; 1,05 часа2.4,2 часа; 5,88 часа
Упр. 13
1. a) 0,625; – 0,625b) 2,95; – 2,55c) нет решения.
2. a) 3,5; – 3,5b) – 0,38; – 0,46c) – 2,5; – 3,5.
Итоговые задания
1. 1) – 10,(6); 2) 1,0(7); 3) – 0,1(6); 4) 0,81(6); 5) 0,0(35); 6) 0,93(18); 7) 1,5(0);
8)– 60,(6).
2. 1a) 23; 1b) 23,2; 1c) 23,158; 2a) 1; 2b) 1,4; 2c) 1,427; 3a) 7; 3b) 7,4; 3c)
7,382; 4a) 1; 4b) 0,6; 4c) 0,620.
3. 10,31 м/сек = 37,12 км/ч. В 2,7 раз.
4. 1a) 1,9(5) = 1,9… 2;1b) 1,9(5) = 1,95… 2;
1c) 1,9(5) = 1,955… 1,96;1d) 1,9(5) = 1,9555… 1,956;
2a) 6,2(78) = 6,2… 6;2b) 6,2(78) = 6,27… 6,3;
2c) 6,2(78) = 6,278… 6,28;2d) 6,2(78) = 6,2787… 6,279;
3a) 3,(628) = 3,6… 4;3b) 3,(628) = 3,62… 3,6;
3c) 3,(628) = 3,628… 3,63;3d) 3,(628) = 3, 6286… 3,629;
4a) 5,(2061) = 5,2… 5;4b) 5,(2061) = 5,20… 5,2;
4c) 5,(2061) = 5,206… 5,21;4d) 5,(2061) = 5,2061… 5,206.
5. 208,23 дм
6. Указание: для удобства, будет полезно преобразовать обыкновен- ные дроби в десятичные.

Самое маленькое из этих чисел – 6,73, следующее –23/4 = – 5,75, за- тем –7/3 = – 2,(3), далее 1,52 и потом 4,126.
7.

Самое большое, по модулю, из этих чисел – 7,07, следующие – два числа: 4,2 и – 4,2, которые равны по модулю, затем 2,3.
8. a) 0,45b) – 0,37c) 0,34
9. a) 6,625;– 5,625b) нет решения c) 0,5; – 2,3
10.1,75 ч; 3,25 ч
Вариант 3. Решения и указания
В первой строке будет 4 интервала длиной 3 см, а на второй строке – 6 интервалов длиной 2 см.
2.
Периметр равен /AB/ + /BC/ + /CD/ + /DE/ + /EF/ + /FG/ + /GH/ + /HA/. При этом /AB/ = /CD/, /EF/ = /GH/, а /BC/ = /DE/ + /FG/ + /HA/.
Поэтому периметр равен 40 + 140 + 40 + 10 + 10 + 140 = 380 метров.
Площадь можно вычислить как разность площадей прямоугольни- ков ABCD и EFGH. При этом для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника EFGH, нужно знать длину GF.
Площадь ABCD: 40 • 140 = 5600, площадь EFGH: 10 • 30 = 300. Следовательно, искомая площадь: 5600 – 300 = 5300 кв. м.
Предполагаем, что кастрюля в разрезе даёт прямоугольник. Диагональ делит прямоугольник пополам.
Если они сыграют каждый с каждым, то они сыграют по две партии. Если Марина с Ларисой сыграют две партии, а затем Марина сыграет с Рашидом, то Марина сыграет три партии, Лариса две, а Рашид одну. Рассмотрите ситуацию, в которой три партии сыграет Лариса, а также ситуацию, в которой три партии сыграет Рашид.
Нужно взять одну шоколадку от 1-й машины, две от 2-й, и три от 3-й.
Если бы все машины были в порядке, то вес был бы 600 грамм. В на- шем случае вес будет меньше. Его надо отнять от 600 и разделить на 5. Ответ даст номер машины, которая разладилась.
Так как площадь прямоугольного участка 4800 кв. м, ширина 60 м, его длина равна 4800 : 60 = 80 м. Поэтому периметр равен 2 (60 + 80) = 280 м.
Все стороны квадрата равны друг другу.
Обозначим площадь луга x. Тогда, на 2-ой день осталось 0,5x. Решаем задачу с конца. В третий день скошено 2 • 3 = 6 га. Во второй день ско- сили 0,5 (0,5x) + 1 га. Следовательно, на третий день: 0,5 (0,5x) – 1 га. Из условия следует, что половина этого выражения равна 3 га. Поэтому: 0,5 (0,5 (0,5x) – 1) = 3.
Разделив уравнение на 0,5, получим: 0,5 (0,5x) – 1 = 6. Перенесём единичку вправо: 0,5 (0,5x) = 7 и ещё раз поделим на 0,5: 0,5x = 14. Повторив деление ещё раз, получим x = 28.
Итак, мы получили, что площадь луга 28 га.
Нарисовать картинку, на которой часть треугольника лежит внутри квадрата. На этой части поставить одну точку.
Если записать вместе три цифры, то получится число, превосходящее
100. Поэтому вместе могут стоять не более двух цифр. Начнём с са- мых больших цифр. Записать 7 и 6 вместе нельзя, так как, прибавив к 76 остальные цифры, получим число, меньше, чем 100; в то же вре- мя нельзя брать 54, 43 или 32, так как их сумма с 76 и оставшимися цифрами превзойдёт 100. А вот добавив к 65 число 21 и оставшиеся цифры, получим сто: 7 + 65 + 4 + 3 + 21 = 100.
Следующий вариант – число 54. Его сумма с 32 и оставшимися цифрами также равна ста: 7 + 6 + 54 + 32 + 1 = 100.
Во всех оставшихся случаях сумма меньше ста.
Если использовать все карманы и в каждый положить по 2 монеты, то будут разложены 24 монеты. В карманах, в которые будут положены оставшиеся монеты, будет больше двух монет.
Из подсчетов Тёмы следует, что один автомобиль из десяти является
«мерседесом». Если «мерседесов» 5 тысяч, то автомобилей будет 50 тысяч.
А теперь страшная тайна. Не говорите об этом взрослым дядям и тетям, которые считают, что вам рано об этом знать. Про факт, который установил Тёма: один автомобиль из десяти является
«мерседесом», взрослые иногда говорят, что вероятность того, что следующая проехавшая машина будет «мерседесом», равна одной десятой. Подробнее об этом мы будем говорить позднее.
После того как переливания закончатся, в стаканах будет одинако- вое количество жидкости. Следовательно, на место молока «пришло» столько чая, сколько «ушло» молока, и наоборот.
Каждое число, начиная с третьего, есть сумма двух предыдущих. Эти числа называются числами Фиббоначчи.
Разделив 616 м на 7 минут, узнаем скорость Тигры: 616 : 7 = 88 м/мин., а скорость Иа узнаем, разделив 616 м на 8 мин: 616 : 8 = 77 м/мин. Поэтому скорость Тигры больше скорости Иа на 88 – 77 = 11 м/мин.
§ 19. Проценты
Упр. 1
Нет, потому что двадцатая часть – это 1/20 = 0,05 = 5%. 2. Да, так как пятая часть – это 1/5 = 0,2 = 20%. Соответственно, 4/5 = 0,8 = 80% не болеет за Барселону.
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
Упр. 5
Упр. 6
Упр. 7
Упр. 8
Упр. 9
1. 1) a) 9%; b) 120%; c) 3,7%; d) 1500%; e) 0,7%; f) 321%.
2) a) 0,17; b) 0,024; c) 0,0046; d) 1,56; e) 0,207; f) 0,00321.
2. 1) a) 15%; b) 1122%; c) 503,7%; d) 1,5%; e) 0,27%; f) 3200%.
2) a) 0,07; b) 0,52; c) 0,0416; d) 5,06; e) 0,0027; f) 0,00003.
1. 3102.7
1. a) 3; b) 5,4; c) 3; d) 3.
2. a) 4,4; b) 46,8 c) 110,4; d) 1,06.
1. 3907,8 млн;2.113,5 млнкм2.
1. 962.400 кг
1. a) 120; b) 5; c) 1; d) 400; e) 150; f) 1100.
2. a) 1100; b) 48; c) 16; d) 200; e) 250; f) 21500.
1620 м; 2. 7439 м.
72 тыс. сомов; 2. 365 млнкм2.
1.
1.
Упр. 10
1. a) 70; b) 48; c) 720; d) 280.
2. a) 57; b) 36; с) 6; d) 871.
Упр. 11
1. 27,5%2.78,5%
Упр. 12
1. a) 12,5%; b) 25%; c) 187,5%; d) 2000%.
2. a) 25%; b) 187,5%; c) 0,125%; d) 17%.
Упр. 13
a) 88 сомов; b) 51 рубль; c) 81,2 евро; d) 1455 сомов
2. a) 101,2 сомов; b) 390 рублей; с) 98880 сомов; d) $120,9
Упр. 14
1. a) 75 сомов; b) 156 рублей; c) 148,4 евро; d) 386,8 сомов
2. a) 644,38 сомов; b) 1368 рублей; с) 9528,4 сомов; d) $4292,4
Упр. 15
1. 8500 см2, 50000 см3; 9900 см2, 63000 см3
2. 70 см, 300 см2; 72 см, 324 см2; 72 см, 288 см2
Упр. 16
1. 182.42
Упр. 17
1. 112.1,25 кг
Итоговые упражнения
1. a) 17%; b) 1200%; c) 317%; d) 12,15%; e) 0,27%. 2. a) 0,21; b) 0,3241; c) 2,46;
d) 0,00156; e) 20,07. 3. a) 3; b) 1,4; c) 55; d) 0,55. 4. 22,4 км. 5. 12. 6. 230 000.
7. 184. 8. 53 000 сомов. 9. 1293. 10. 874. 11. 40 конфет. 12. 3. 13. 25. 14. 32.
25%. 16. 3 сома. 17. 178 кг. 18. 300. 19. Победит Миша. Когда он преодоле- ет расстояние, равное nd, где n количество шагов, а d –длина его шага, Маша пробежит расстояние, равное 0,96nd. 20. 4 кг.
§ 20. Организация данных
а)
Размер обуви 15 16 17 18 19 20 21 22
Частота 2 3 2 3 1 2 1 2
b) 11. c) 6.
2.
Результат теста Частота
Синий 4
Красный 4
Зелёный 3
Жёлтый 3
3.
Группа (или Рост) Частота
100–109 3
110–119 3
120–129 4
130–139 3
140–149 3
150–159 1
160–169 1
4.
Группа (или Время) Частота
0–9 3
10–19 5
20–29 3
30–39 1
40–49 2
50–59 1
60–69 1
а)
Количество конфет Частота
22 4
23 5
24 7
25 4
b)
7
6
Частота
5
4
3
2
1
0
22232425
Количество конфет
7.
а)
10
9
8
7
Частота
6
5
4
3
2
1
0
102030405060
Время
9
8
7
Частота
6
5
4
3
2
1
0
120125130135140145150
Рост (см)
b) 130–134; 130–134; 145–149
a)
Высота (см) Частота Серединная точка
10 ≤ В < 20 3 15
20 ≤ В < 30 5 25
30 ≤ В < 40 9 35
40 ≤ В < 50 4 45
b)
10
8
Частота
6
4
2
55
10
50 ≤ В < 60
45
8
40 ≤ В < 50
Частота
a)
0
1020304050
Высота (см)
Высота (см)
Серединная точка

60 ≤ В < 70
65

75
2
70 ≤ В < 80
6
b)
10
8
Частота
6
4
2
5591518384920
4050607080
Вес (кг)
с) 26. d) 9/13
Шорты 20%
Кино
5%
Сбережения 35%
Кафе 10%
Кроссовки 30%

ХимияФизика
12,5%12,5%
Английский 18,75%
Математика 37,5%
Испанский 18,75%
a)
b) 38%
899993232372
1.
Результат теста 1 2 3 4 5 6
Частота 3 3 4 5 1 4
2.
Группа 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69
Частота 2 4 6 4 2
a)
Баллы 0–19 20–39 40–59 60–79 80–99
Частота 8 24 33 11 6
b)
35
30
Частота
25
20
15
10
5
0
020406080100
Баллы
a) 7 учеников b)
Вес 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79
Частота 5 6 12 7 3
с) 29,5. d) 79,4.
Время (мин) 10–19
20–29
30–39
40–49
Частота 2
4
10
3
Серединная точка 14,5
24,5
34,5
44,5
a)
b)
10
8
Частота
6
4
2
0
1020304050
Время (мин)
Книги 10%
Зарплата 55%
Ремонт 15%
а)
b) $40 000
8.а) $20000. b) Игрушки = $1800, компьютеры = $3600, зарплата = $6400, книги = $5200.
9.а) 12,5%. b) x = 33,33%, y = 17%.
§ 21. Задачи на составление уравнений
Упр. 1
1. a) 11; b) 1,75. 2. a) 24; b) 3.
Упр. 2
1. a) 126; b) – 28. 2. a) – 45; b) 15.
Упр. 3
8 20 19
5 17 16
– 2 10 9
1.
– 2 1 5
3 6 10
11 14 18
2.
Упр. 4
1. 4 2. 1670
Упр. 5
1. 26400 2. 46875
Упр. 6
1. 18 2. 24
Упр. 7 1. 14. 2. 23,1.
Упр. 8
1. 6. 2. 9.
Упр. 9
1. Дочке 12 лет, матери 32. 2. Аджаре 15 лет, Азату 55.
Упр. 10
1. Кариму 33 года, Анвару 12 лет. 2. Бермет 36 лет, дочери 12 лет.
Упр. 11
1. 0,75. 2. 1,6.
Итоговые задания
1. a) 3,8; b) – 1,2; 2. a) – 0,5; b) 2;
7 11 – 2
5 9 – 4
10 14 1
– 3 7 15
23 33 41
5 15 23
3.a)b)
4. 25,5. 5. 15. 6. 66. 7. 36; 27. 8. Отцу 51, сыну 17 лет.9.Ване15лет.
Через 5 лет. 11. 36 маме и 12 дочке. 12. 30 папе и 12 дочке. 13. 32 маме и 11 сыну. 14. 240. 15. 129. 16. 187.
Вариант 4. Решения и указания
Периметр этой фигуры состоит из 16 сторон квадрата.
Следовательно, сторона каждого квадрата равна 32 : 16 = 2 см. Тогда площадь каждого квадрата 2 • 2 = 4 см2, а площадь всей фигу- ры 4 • 7 = 28 см2.
Возможно, если Барон Мюнхгаузен поставил одну точку на пересече- нии двух прямых.
Четвёртая парта от доски и четвёртая парта от задней стенки – это одна и та же парта. То есть Кошой и Бермет сидят за одной партой. Следовательно, за остальными партами сидит по одному школьнику.
Каждый обменивается рукопожатиями с тремя остальными.
Тогда 4 • 3 = 12. При этом получается, что каждое рукопожатие по- считано дважды – со стороны каждого, участвующего в рукопожа- тии. Поэтому нужно разделить 12 на 2. Ответ: Было 6 рукопожатий. Можно рассуждать и по-другому. Встретившись, двое пожали друг другу руки. Затем подошёл третий и пожал руки первым двоим. И,
наконец, подошёл четвёртый и обменялся рукопожатиями с первы- ми тремя. В итоге получилось 1 + 2 + 3 = 6 рукопожатий.
Взяв по одной шоколадке от каждой машины, можно узнать, в какую сторону и на сколько изменился вес шоколадки на перенастроенной машине. А затем поступить, как в задаче 5 варианта 3.
Из утверждения, что команда «Алга» в 30 матчах не проиграла, сле- дует, что она проиграла 38 – 30 = 8 матчей, из утверждения, что в 15 матчах не выиграла, следует, что она выиграла 38 – 15 = 23 матча. Следовательно, команда «Алга» закончила вничью 38 – 8 – 23 = 7 матчей.
Вычитаем из 30 лет и 2 месяцев 28 лет и 3 месяца и получаем, что сын старше дочери на 1 год и 11 месяцев. Добавив этот срок к возрасту дочери – 5 лет и 8 месяцев, получим возраст сына – 7 лет и 7 месяцев. Далее, прибавив возраст дочери к возрасту отца на момент её рожде- ния, – 30 лет и 2 месяца, получим возраст отца – 35 лет и 10 месяцев.
Между 1-м и 16-м этажами имеются 15 этажей, между 1-м и 4-м этажами – 3 этажа.
Количество голов, срубленных Сыргаком, является целым числом, меньшим, чем 7, и большим, чем один. Поэтому общее число срублен- ных голов меньше 15 и больше 9. А так как у каждого дракона было срублено по 3 головы, то драконов было 4, число срубленных голов
12. Из них на долю Сыргака пришлось 4 головы.
Если записать вместе три цифры, то получится число, превосходящее
100. Поэтому вместе могут стоять не более двух цифр. Начнём с са- мых больших цифр. Записать 9 и 8 вместе нельзя, так как, прибавив к 98 остальные цифры, получим число, больше, чем 99. То же можно сказать про 87. Если взять 76, то нельзя брать 54, 43, 32 или 21, так как их сумма с 76 и оставшимися цифрами превзойдёт 99. Далее берём
65. Его нельзя суммировать с 43, 32 или 21, так как их сумма с 65 и оставшимися цифрами превзойдёт 99. В то же время сумма 65 и всех оставшихся цифр равна 99 – получили решение задачи:
9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99.
Следующий вариант – число 54. Его нельзя суммировать с 32 или 21, так как их сумма с 54 и оставшимися цифрами превзойдёт 99. В то же время сумма 54 и всех оставшихся цифр меньше 99.
Далее берём 43, его сумма с 21 и оставшимися цифрами равна 99. В итоге имеем второе решение: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 99.
Несложно установить, что Малыш может съесть 100 г варенья за 1 мин, а Карлсон – 200 г за 1 мин. То есть за 1 мин они вдвоём могут съесть 300 г варенья. Соответственно, 600 г за 2 мин.
1о2л.овПинамёда весит 5 – 3 = 2 кг. Следовательно, Винни-Пуху подари- ли 2 • 2 = 4 кг килограмма мёда.
Нужно увидеть, что площадь 4-го прямоугольника равна 12 см2.
Нужно заметить, что последовательно прибавляются числа 1, 2, 3, 4,
… .
Эту задачу несложно решить, начав с конца. После 3-го сторожа у неё осталось одно яблоко, значит, до него у неё было (1 + 1) 2 = 4 яблока. Соответственно, перед 2-м сторожем было (4 + 1) 2 = 10 яблок, а перед 1-м: (10 + 1) 2 = 22 яблока.
§ 22. Криптография
Упр. 1
Упр. 2
Упр. 3
Упр. 4
КЫРГЫЗСТАН
ОШ ЮЖНАЯ СТОЛИЦА
1А.РЫН НСЫРДАРЬЯ
2. 18 + 38 – 19 – 49 + 38 = 1937 + 50 + 31 – 45 – 37 + 50 – 31 – 41 + 39
= 30
ВАЛЕРИЙ ЧКАЛОВ
4. 29 – 33 + 50 + 36 – 27 + 30 – 42 + 32 – 39 – 41 = 45 46 + 30 – 28 = 41
14.+356 – 34 + 41 – 35 = 2432 + 41 + 33 – 41 – 41 + 51 = 22
2. 42 + 40 + 36 – 57 + 49 – 48 + 20 – 42 – 38 + 51 = 44
49 + 32 + 60 – 31 – 60 + 47 – 51 + 26 = 32
1А.ТКБЕНСКИЕАБРИКОСЫ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЕН
Итоговые задания
. a КОРАБЛЬ ГОТОВ К ОТПЛЫТИЮ
b) СУНДУК МЕРТВЕЦА И БУТЫЛКА РОМА
a) Я ГЕНИЙ
b) ТЕМА ДАЙ ПОНЧИК
a) ОМАР ХАЙАМ
b) МЕН БИШКЕКТИ СYЙӨМ
4. a) 44 – 53 + 30 = 3728 + 39 – 35 – 55 + 16 = 44
b) 33 – 37 = 2934 + 29 – 32 – 39 = 37
25 – 41 = 2552 + 29 – 55 – 15 + 51 – 25 + 38 = 12
Содержание
тО авторов3
§ 1.Задачи на повторение программы начальной школы5§ 2.Волшебная таблица9§ 3.Множества20§ 4.Количество элементов множества32§ 5.Элементы геометрии. Углы и их измерение. Площадь прямоугольника. . . 40
§ 6.Натуральные числа53§ 7.Скорость, время, работа63§ 8.Порядок действий, скобки74§ 9.Целые числа87§ 10. Задачи на составление уравнений101§ 11. Элементы геометрии. Площадь и объём прямоугольных геометрических фигур118§ 12. Выручка, затраты, прибыль, убытки134§ 13. Задачи на составление уравнений 2145§ 14. Соотношения между единицами измерения159§ 15. Обыкновенные дроби171§ 16. Десятичные дроби. Сложение и вычитание181§ 17. Умножение и деление десятичных дробей190§ 18. Бесконечные десятичные дроби. Округление. Уравнения с модулем . . . 205
§ 19. Проценты216§ 20. Организация данных228§ 21. Задачи на составление уравнений 3237§ 22. Криптография249Ответы и указания255При написании данной книги были использованы задачи международно- го математического конкурса «Кенгуру», материалы из большого количества книг, в том числе:
Бекбоев И. и др. Математика. 5 класс. – Бишкек: Бийиктик, 2005. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. – М.: Ювента, 2002. Фарков А. Ф. Математические олимпиады в школе. – М.: Айрис–пресс,
2005.
Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1988.
Акимова С. Занимательная математика. – С.-П.: Тригон, 1998. Атышов К. Мы меняем мир. – Бишкек: КЭУ, 2009.
Гарднер М. А ну-ка догадайся! – М.: Мир, 1984. Остер Г. Физика. – М.: Росмэн, 1998.
Антология мирового анекдота. И тут Вовочка сказал… – Киев: Довира, 1994.
С. К. Кыдыралиев А. Б. Урдалетова
МАТЕМАТИКА:
5 класс
Учебник для 5 класса средней школы
Тех. редактор В. А. Грибинюк Компьютерная верстка С. Ю. Дранников Художник Н. Джумакалиев
Подписано в печать --.--.2017 г.
Печать офсетная. Бумага офсетная.
16
Формат 170 х 240 1/ . Гарнитура Arial. Объем 19,125 п. л.
Тираж … экз. Заказ № …
Издательская подготовка осуществлена ОсОО «Издательство Аркус»
720016, Кыргызская Республика, г. Бишкек, ул. Самойленко, 7 В
Отпечатано в типографии ОсОО «ST.art Ltd»
720040, Кыргызская Республика,
г. Бишкек, ул. Тыныстанова, 199-46


Приложенные файлы


Добавить комментарий