Элективный курс Комбинации многогранников и круглых тел

Министерство образования и культуры Тульской области
ГОУ СПО ТО «Крапивенский лесхоз-техникум»












Элективный курс для
студентов 1 курса СПО
(учащихся 10-11 классов)

«Комбинации многогранников и круглых тел»












Выполнила преподаватель математики Ульянова Татьяна Викторовна






с. Селиваново, 2013
СОДЕРЖАНИЕ:
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc234591669" 14Введение 13 PAGEREF _Toc234591669 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc234591670" 14I. Элективный курс для школьников «Комбинации многогранников и круглых тел» 13 PAGEREF _Toc234591670 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc234591671" 14Пояснительная записка 13 PAGEREF _Toc234591671 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc234591672" 14Цели и задачи курса 13 PAGEREF _Toc234591672 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc234591673" 14Требования к уровню усвоения учебного материала 13 PAGEREF _Toc234591673 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc234591674" 14Содержание курса 13 PAGEREF _Toc234591674 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc234591675" 14Примерный учебно-тематический план 13 PAGEREF _Toc234591675 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc234591676" 14Литература 13 PAGEREF _Toc234591676 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc234591677" 14Календарно-тематическое планирование 13 PAGEREF _Toc234591677 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc234591678" 14Критерии оценивания 13 PAGEREF _Toc234591678 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc234591679" 14II. Примерный конспект лекций 13 PAGEREF _Toc234591679 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc234591680" 141. Введение 13 PAGEREF _Toc234591680 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc234591681" 142. Основные понятия параллельного проектирования 13 PAGEREF _Toc234591681 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc234591682" 143. Изображение пространственных фигур 13 PAGEREF _Toc234591682 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc234591683" 144. Вписанные многогранники 13 PAGEREF _Toc234591683 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc234591684" 144.1 Призма, вписанная в цилиндр 13 PAGEREF _Toc234591684 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc234591685" 144.2 Пирамида, вписанная в конус 13 PAGEREF _Toc234591685 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc234591686" 145. Описанные многогранники 13 PAGEREF _Toc234591686 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc234591687" 145.1 Призма, описанная около цилиндра 13 PAGEREF _Toc234591687 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc234591688" 145.2 Пирамида, описанная около конуса 13 PAGEREF _Toc234591688 \h 14211515
13 LINK \l "_Toc234591689" 146. Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (призма, пирамида) 13 PAGEREF _Toc234591689 \h 14221515
13 LINK \l "_Toc234591690" 146.1 Призма, вписанная в шар 13 PAGEREF _Toc234591690 \h 14231515
13 LINK \l "_Toc234591691" 146.2 Пирамида, вписанная в шар 13 PAGEREF _Toc234591691 \h 14241515
13 LINK \l "_Toc234591692" 147. Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (призма, пирамида) 13 PAGEREF _Toc234591692 \h 14251515
13 LINK \l "_Toc234591693" 147.1 Призма, описанная около шара 13 PAGEREF _Toc234591693 \h 14261515
13 LINK \l "_Toc234591694" 147.2 Пирамида, описанная около шара 13 PAGEREF _Toc234591694 \h 14281515
13 LINK \l "_Toc234591695" 148. Комбинации шара и круглых тел 13 PAGEREF _Toc234591695 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc234591696" 148.1 Описанные шары 13 PAGEREF _Toc234591696 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc234591697" 148.2. Вписанные шары. 13 PAGEREF _Toc234591697 \h 14311515
13 LINK \l "_Toc234591698" 149. Вневписанный шар 13 PAGEREF _Toc234591698 \h 14341515
13 LINK \l "_Toc234591699" 1410. Полувписанный шар 13 PAGEREF _Toc234591699 \h 14371515
13 LINK \l "_Toc234591700" 1411. Невписываемые многогранники 13 PAGEREF _Toc234591700 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc234591701" 14III. Варианты заданий 13 PAGEREF _Toc234591701 \h 14531515
13 LINK \l "_Toc234591702" 14Контрольные вопросы 13 PAGEREF _Toc234591702 \h 14531515
13 LINK \l "_Toc234591703" 14Примеры решения задач 13 PAGEREF _Toc234591703 \h 14551515
13 LINK \l "_Toc234591704" 14Задачи для самостоятельной работы 13 PAGEREF _Toc234591704 \h 14751515
13 LINK \l "_Toc234591705" 14Задания к зачетам 13 PAGEREF _Toc234591705 \h 14771515
13 LINK \l "_Toc234591706" 14Заключение 13 PAGEREF _Toc234591706 \h 14781515
13 LINK \l "_Toc234591707" 14Список литературы 13 PAGEREF _Toc234591707 \h 14791515
15



Введение


Элективные курсы (ЭК) – обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счёт школьного компонента учебного плана. Каждый учащийся в течение двух лет обучения должен выбрать и изучить 5 – 6 ЭК.
Требования к программам ЭК
Многообразие выбора;
Кратковременность;
Оригинальность содержания, названия;
Результат курса – творческая, графическая работа, проект;
Нестандартизированность;

При составлении программы ЭК педагогу полезно ответить на следующие вопросы:
Чем содержание курса будет качественно отличаться от базового курса?
Какие виды деятельности возможны в работе с данным содержанием?
Какие виды работ могут выполнить учащиеся для подтверждения своей успешности в ходе реализации курса?
Какова доля самостоятельности ученика?
Какие критерии позволят оценить успехи в изучении курса?
Оформление программы ЭК
Титульный лист
Пояснительная записка
Тематическое планирование
Основное содержание курса
Результаты изучения курса
Организация и проведение аттестации учащихся
Литература
Титульный лист – название, класс, автор.
Пояснительная записка включает в себя название курса, цели и задачи, количество часов, отведённое на весь курс, и даёт о курсе полное представление.
Цели и задачи изучения курса формулируются в терминах, понятных учителю и учащимся.
Цель курса – для  чего он изучается, какие потребности субъектов образовательного процесса удовлетворяет? Желательно продумать цели всех субъектов образовательного процесса: учащихся, учителей, школьного сообщества в целом.
В соответствии с целями формулируются задачи изучения  курса – что необходимо для  достижения целей? Над чем конкретно предстоит работать учителю и учащимся при изучении курса?
Важно показать, каково место курса в соотношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными предметами: какие  межпредметные  связи реализуются при изучении ЭК, какие общенаучные и профильные умения и навыки при этом развиваются, каким образом создаются условия для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения, как введение курса в учебный план конкретной школы поможет выявить и решить проблемы школьного сообщества.
В тематическом планировании отражается основное содержание всех разделов/тем курса с указанием бюджета времени на их изучение. Отдельно выделяются практические и лабораторные работы, экскурсии, учебные проекты и т.п.
Основное содержания курса. Этот раздел программы отражает содержание теоретических и практических занятий, а также самостоятельной работы учащихся:  основные знания (факты, понятия, представления, идеи, принципы), умения и навыки, методы и виды деятельности, опыт их освоения. Важно указать, какие разделы и из каких школьных курсов должны быть предварительно освоены.
Следует показать, как это содержание способствует внутрипрофильной специализации обучения и формированию профильных умений и навыков, для каких профессий полезны формируемые умения и навыки.
Желательно указать, в каких материалах реализуется содержание курса (учебное пособие, рабочая тетрадь для  учащихся, методическое пособие для учителя,  хрестоматия,  электронные/мультимедийные пособия, Интернет-ресурсы  и др.).
Методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учёта индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности.
Результаты изучения курса. Ожидаемый результат изучения – это ответ на вопрос: какие знания, умения, опыт, необходимые для построения индивидуальной образовательной траектории в школе и успешной профессиональной карьеры по её окончании, будут получены; какие виды деятельности будут освоены; какие ценности будут предложены для усвоения?
Организация и проведение аттестации учащихся. В качестве форм аттестации учащихся предполагается:
Текущий контроль (беседы с учащимися по изучаемым темам, проблемам, индивидуальный отчёт по каждой теме);
Тематический контроль (тестовые задания и тематические зачёты);
Зачётный практикум (описание и практическое выполнение обязательных практических заданий);
Обобщающий (итоговый) контроль (устные и письменные работы, рефераты).
Литература – для учителя и учащихся (основная и дополнительная), электронные издания, Интернет-ресурсы.

Экспертиза программы.
За соответствие программы каждому из перечисленных требований экспертом могут быть выставлены следующие баллы:
0 – если программа не соответствует данному требованию;
1 – если программа частично соответствует данному требованию;
2 – если программа в основном соответствует данному требованию;
3 – если программа полностью соответствует данному требованию.
Затем баллы умножаются на весовые коэффициенты, проставленные в таблице. Наивысшая оценка за программу будет равняться 96 баллам. Рекомендовано – если более 80 баллов, менее не рекомендовано.

№ п/п
Требование к программе
Весовой коэффициент

1.
Соответствие положению концепции профильного и предпрофильного обучения


2.
Новизна содержания программы для учащихся


3.
Мотивирующий потенциал программы


4.
Полнота содержания учебного материала


5.
Прогрессивность, научность содержания обучения


6.
Инвариантность содержания программы


7.
Соответствие степени обобщенности знаний, включенных в программу, ожидаемым результатам обучения


8.
Практическая направленность содержания программы


9.
Связность или систематичность содержания учебного материала в программе


10.
Соответствие способа развертывания содержания учебного материала в программе поставленным целям


11.
Выбор методов развертывания содержания программы для учащихся


12.
Контролируемость программы


13.
Чувствительность программы к сбоям


14.
Реалистичность программы с точки зрения времени, которое отведено на её реализацию


15.
Эффективность программы с точки зрения времени, отведенного на её реализацию



Итоговая оценка программы



I. Элективный курс для школьников «Комбинации многогранников и круглых тел»
Пояснительная записка
Элективный курс «Комбинации многогранников и круглых тел» посвящён одной из наиболее трудных и в тоже время очень важных тем курса стереометрии старшей школы. Курс рассчитан на учащихся 11-х классов, и может быть использован для подготовки к ЕГЭ.
Основной задачей школьного курса стереометрии является развитие пространственного представления и логического мышления учащихся. В наибольшей степени эти задачи разрешаются при изучении многогранников, тел вращения и их комбинаций. Однако, в ныне действующих учебниках, к сожалению, не уделено должного внимания теме «Комбинации стереометрических фигур». В учебниках не хватает фактов, собранных воедино и образующих в совокупности некую теоретическую основу, на которой базируется изложение вопросов о взаимном расположении стереометрических фигур.
Цели и задачи курса
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых знаний, его цель – создать целостное представление о теме «Комбинации многогранников и круглых тел», собрать воедино основной теоретический материал и расширить спектр задач, направленных на развитие пространственных представлений учащихся. Задачи на комбинации стереометрических фигур могут быть использованы с целью глубокого усвоения теоретического материала, развития интереса к математике, приобщения к поисковой и творческой деятельности.
Задачи курса:
Ознакомить учащихся с основными понятиями темы «Комбинации многогранников и круглых тел»;
Развивать пространственное воображение учащихся, умение хорошо представлять себе геометрический объект;
Способствовать сознательному и прочному усвоению материала;
Сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;
Совершенствовать навыки решения стереометрических задач, необходимых для итоговой аттестации (ЕГЭ);
Развивать творческую активность учащихся;
Сформировать умения и навыки самостоятельной работы;
Сформировать навыки исследовательской работы.
Требования к уровню усвоения учебного материала
В результате изучения программы элективного курса «Комбинации многогранников и круглых тел» учащиеся получают возможность знать и понимать:
определения: параллельное проектирование, вписанные многогранники, описанные многогранники, вписанные шары, описанные шары, вневписанный шар, полувписанный шар, невписываемые многогранники;
основные свойства параллельного проектирования;
правила изображения пространственных фигур и их комбинаций;
формулировки и доказательства теорем.

Уметь:
применять полученные теоретические знания к решению задач, содержащих комбинацию тел;
уметь выделять в комбинации геометрических пространственных фигур их существенные (для решения данной задачи) элементы;
изображать пространственные фигуры и их комбинации.

Содержание курса
(1 ч в неделю, всего 20 ч)
1. Введение (1 ч)
Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами самостоятельных работ. Требования, предъявляемые к участникам курса.
2. Основные понятия параллельного проектирования (1 ч)
Проектирующая прямая, проектирующая плоскость, свойства параллельного проектирования.
3. Изображение пространственных фигур (1 ч)
Изображение пространственных фигур (куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, тетраэдр, цилиндр, конус, шар), теорема Польке - Шварца.
4. Вписанные многогранники (2 ч)
Определение призмы, вписанной в цилиндр, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.
Определение пирамиды, вписанной в конус, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.
5. Описанные многогранники (2 ч)
Определение призмы, описанной около цилиндра, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.
Определение пирамиды, описанной около конуса, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.
Зачет №1 (1 ч)
6. Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (призма, пирамида) (2 ч)
Определение многогранника, вписанного в шар, необходимое и достаточное условие комбинации многогранника (призмы, пирамиды) и сферы.
7. Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (призма, пирамида) (2 ч)
Определение многогранника, описанного около шар, необходимое и достаточное условие комбинации многогранника (призмы, пирамиды) и сферы.
8. Комбинации шара и круглых тел (конус, цилиндр) (2 ч)
Определение цилиндра, конуса, вписанного в шар, и, описанного около шара, изображение комбинаций.
Зачет №2 (1 ч)
9. Вневписанный шар (1 ч)
Определение вневписанного шара, условия существования вневписанного шара для многогранников (тетраэдра и пирамиды).
10. Полувписанный шар (1 ч)
Определение полувписанного шара, условия существования полувписанного шара для многогранников (призмы, пирамиды, тетраэдра, усеченной пирамиды).
11. Вневписанные многогранники (1 ч)
Теорема Штейница, определение абсолютно невписываемого многогранника.
12. Многофигурные стереометрические задачи (1 ч)
Решение задач, содержащих многофигурную комбинацию тел.
Итоговое занятие (1 ч)

Примерный учебно-тематический план


Название разделов и тем
Количество часов
Форма проведения
Образовательный продукт



Всего
Т
Пр



1.
Введение
1
1

Беседа
Записи

2.
Основные понятия параллельного проектирования
1
1

Лекция
Конспект

3.
Изображение пространственных фигур
1
1

Лекция
Конспект

4
Вписанные многогранники (призма, пирамида)
2
1
1
Лекция,
практикум
Конспект, решение задач

5
Описанные многогранники (призма, пирамида)
2
1
1
Лекция,
практикум
Конспект, решение задач


Зачет №1
1

1
Контрольная работа

6.
Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (призма, пирамида)
2
1
1
Лекция,
практикум
Конспект, решение задач

7.
Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (призма, пирамида)
2
1
1
Лекция,
практикум
Конспект, решение задач

8.
Комбинации шара и круглых тел (конус, цилиндр)
2
1
1
Лекция,
практикум
Конспект, решение задач


Зачет №2
1

1
Контрольная работа

9.
Вневписанный шар
1
1

Лекция
Конспект

10.
Полувписанный шар
1
1

Лекция
Конспект

11.
Невписываемые многогранники
1
1

Лекция
Конспект

12.
Многофигурные стереометрические задачи
1

1
Лекция,
практикум
Конспект, решение задач

13.
Итоговое занятие
1

1
Круглый стол

Итого:
20
11
9




Литература
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2007.
2. Безверхняя, И.С. Методы изображений. / И.С. Безверхняя. – Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004.
3. Гольдберг, Я.Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. / Я.Е. Гольдберг. – К.: Рад. шк., 1990.
4. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1985.
5. КИМы для ЕГЭ.
6. Погорелов А.В. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1992.
7. Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии. 11 класс. Дифференцированный подход. / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2006. – (В помощь школьному учителю).

Календарно-тематическое планирование


Название раздела (количество часов)
Тема занятия
Дата проведения

1.
Введение (1 ч)
Введение


2.
Основные понятия параллельного проектирования (1 ч)
Основные понятия параллельного проектирования


3.
Изображение пространственных фигур (1 ч)
Изображение пространственных фигур


4.
Вписанные многогранники (2 ч)
1. Призма, вписанная в цилиндр




2. Пирамида, вписанная в конус


5.
Описанные многогранники (2 ч)
1. Призма, описанная около цилиндра




2. Пирамида, описанная около конуса



Зачет №1 (1 ч)



6.
Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (2 ч)
1. Призма, вписанная в сферу




2. Пирамида, вписанная в сферу


7.
Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (2 ч)
1. Призма, описанная около сферы




2. Пирамида, описанная около сферы


8
Комбинации шара и круглых тел (2 ч)
1. Цилиндр и конус, вписанные в шар




2. Цилиндр и конус, описанные около шара



Зачет №2 (1 ч)



9.
Вневписанный шар
Вневписанный шар


10.
Полувписанный шар
Полувписанный шар


11.
Невписываемые многогранники
Невписываемые многогранники


12.
Многофигурные стереометрические задачи (1 ч)
Многофигурные стереометрические задачи


13.
Итоговое занятие (1 ч)
Итоговое занятие







Критерии оценивания
Задания зачета №1 оцениваются по следующей схеме:
Максимальное количество баллов, которое можно получить 17. Задания оформляются в тетради для зачетных работ.
Количество баллов за правильно решенное задание определяется по шкале:
№ задания
Количество баллов за задание


Без недочетов
1-3 недочетов
Более 3

1
10
9-6
менее 5

2
7
6-4
менее 3


Задания зачета №2 оцениваются по следующей схеме:
Максимальное количество баллов, которое можно получить 19. Задания оформляются в тетради для зачетных работ.
Количество баллов за правильно решенное задание определяется по шкале:
№ задания
Количество баллов за задание


Без недочетов
1-3 недочетов
Более 3

1
5
4-3
1-2

2
7
6-4
менее 3

3
7
6-4
менее 3


Задания итогового зачета оцениваются по следующей схеме:
Максимальное количество баллов, которое можно получить 24. Подробное решение каждой выбранной задачи оформляется на отдельном листе формата А4 с указанием фамилии и имени ученика, класса и полного текста задачи. Задания выполняются дома.
Количество баллов за правильно решенное задание определяется по шкале:
№ задания
Количество баллов за задание


Без недочетов
1-3 недочетов
Более 3

1
7
6-4
менее 3

2
7
6-4
менее 3

3
10
9-6
менее 5






Курс оценивается по следующей схеме:
За посещение занятий – 10 баллов. Работа на уроках – 30 баллов. Зачет №1 – 17 баллов. Зачет №2 – 19 баллов. Итоговый зачет – 24 баллов. Всего 100 баллов.
Количество баллов

81-100
80-61
31-60
Менее 30

Оценка

5 (отл.)
4 (хор.)
3 (удов.)
2 (неудов.)



II. Примерный конспект лекций
1. Введение
Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами самостоятельных работ. Требования, предъявляемые к участникам курса.
2. Основные понятия параллельного проектирования
Значение чертежа при изучении геометрии очень велико, в частности при решении задач со взаимосвязанными между собой элементами фигуры, в том числе с дополнительными построениями.
Запись условия теоремы или задачи с помощью чертежа позволяет охватить, причем в наглядной форме, все условие целиком, лучше усвоить и яснее понять его, что существенно облегчает анализ теоремы или задачи, поиски путей доказательства или решения.
Решая задачу или доказывая теорему из курса стереометрии, мы пользуемся, как правило, не пространственной моделью соответствующей фигуры, а её изображением на плоскости, чертежом, то есть её графической моделью. Тот, кто хочет научиться решать стереометрические задачи, должен прежде всего научиться правильно изображать пространственные фигуры на плоскости.
В чем же сущность проектирования пространственных фигур на плоскость, позволяющего получить наглядные изображения этих фигур?
Для получения таких изображений пользуются чаще всего двумя методами – параллельным проектированием и центральным проектированием (перспективой).
Второй из этих методов более соответствует аппарату человеческого зрения, но он очень сложен и поэтому не пригоден для наших целей. Ведь рисунок при изучении стереометрии играет вспомогательную роль. К рисунку предъявляются не только требования верности оригиналу и наглядности, но простоты и быстроты выполнения. Этим требованиям вполне отвечает параллельная проекция.
Пусть в пространстве заданы некоторая плоскость
· (будем называть её плоскостью проекций) и некоторая прямая l, пересекающая
·. Прямая l определяет направление проектирования. Все параллельные ей прямые называются проектирующими.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольная точка пространства. Через эту точку проходит только одна прямая, параллельная прямой l (то есть только одна проектирующая прямая), пересекающая плоскость проекций
· в некоторой точке, которую обозначим буквой 13 EMBED Equation.3 1415. Эту точку назовём проекцией точки 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость
· при проектировании параллельно прямой l, или просто параллельной проекцией точки 13 EMBED Equation.3 1415. Из данного определения следует, что точки, принадлежащие плоскости
·, совпадают со своими проекциями на эту плоскость.
Таким образом, параллельное проектирование является отображением пространства на плоскость проекций. Это отображение не обратимо, так как все точки 13 EMBED Equation.3 1415, лежащие на одной и той же проектирующей прямой, проектируются в одну точку 13 EMBED Equation.3 1415. Однако, при изображении прямых, не являющихся проектирующими, и плоских фигур, не расположенных в проектирующей плоскости, между точками этих фигур и их проекциями существует взаимно однозначное соответствие.
Проектирующей называется любая плоскость, параллельная направлению проектирования.
Чтобы свободно пользоваться параллельным проектированием, надо выявить его свойства:
Проекция точки есть точка;
Проекция прямой, не параллельной направлению проектирования, есть прямая или точка, если прямая параллельна направлению проектирования;
Если прямая l не параллельна плоскости, то точкой пересечения этой прямой с плоскостью является точка пересечения прямой и её проекции на эту плоскость;
Проекции параллельных прямых, не являющихся проектирующими, параллельны или совпадают;
Проекция отрезка есть отрезок;
Параллельной проекцией окружности является эллипс (или отрезок – в случае, если окружность лежит в проектирующей плоскости;
Сохраняется простое отношение трёх точек, в частности середина отрезка проектируется в середину его проекции (теорема Фалеса);
Проекции параллельных отрезков пропорциональны самим отрезкам.
В стереометрии изображением фигуры (оригинала) называется любая фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость. Задача изображения фигуры считается решенной, если получено любое изображение фигуры – верное, достаточно наглядное, удобное для проведения на нём дополнительных линий.
3. Изображение пространственных фигур
Под изображением пространственной фигуры понимается совокупность изображений всех её точек на плоскости изображения. Очевидно, что для получения изображения многогранника достаточно получить изображение всех его вершин.
Пространственная фигура (как и плоская), рассматриваемая в задаче, может быть довольно больших размеров или, наоборот, миниатюрной. И в том, и в другом случае больше устраивает не проекция самой фигуры, а фигура, подобная этой проекции, имеющая удобные для нас размеры.
При изображении многогранников, цилиндра и конуса будем по возможности располагать эти тела так, чтобы их высоты занимали вертикальное положение и изображались вертикальными отрезками. Это придаст изображениям большую наглядность.
Будем считать, что плоскостью изображений является плоскость чертежа, а изображаемая фигура расположена где-то в пространстве. Положение фигуры относительно плоскости изображений и направление параллельного проектирования, вообще говоря, безразличны. Но из различных возможностей следует выбирать то, которое является наиболее наглядным.
В основе изображения пространственных фигур лежат две следующие теоремы.
Теорема 1.2.1 (Польке - Шварца). Любой плоский четырехугольник 13 EMBED Equation.3 1415 вместе с его диагоналями можно принять за изображение тетраэдра 13 EMBED Equation.3 1415 произвольной формы.
Теорема 1.2.2. Если задано изображение 13 EMBED Equation.3 1415 тетраэдра 13 EMBED Equation.3 1415, то изображение любой точки пространства может быть построено с помощью свойств параллельного проектирования.
Рассмотрим теперь изображения некоторых пространственных фигур.


Куб. Три ребра куба, выходящие из одной вершины, изображаются в виде тройки произвольной длины и произвольно направленных отрезков, выходящих из одной точки. Затем изображение куба достраивается с учетом того, что все его грани - квадраты, каждый из которых проектируется в соответствующий параллелограмм.
Так выглядит кабинетная проекция куба.


Параллелепипед произвольной формы строится так же, как и куб, причем изображение не определяет формы параллелепипеда. Он может быть в оригинале наклонным, прямым или прямоугольным.
Призма. Основания n-угольной призмы - равные n-угольники с параллельными сторонами. На изображении это два n-угольника, один из которых получается параллельным переносом другого. Боковые грани изображаются параллелограммами.


Пирамида. По теореме Польке - Шварца за изображение вершины пирамиды и трех вершин основания можно взять любые четыре точки плоскости. Тогда остальные вершины изображаются с использованием правил построения изображений плоских фигур.
Изображение пирамиды или призмы сводится к изображению основания и боковых рёбер многогранника. Кроме того, для большей наглядности чертежа высоту пирамиды, боковые рёбра прямой призмы, высоту наклонной призмы изображают вертикальными отрезками.
Также не учитываются числовые данные о длине отрезков или величине углов, если они не влияют на геометрическое содержание и геометрическое решение задачи. Это обеспечивает большую свободу при изображении элементов фигуры.
Приступая к изображению многогранника, следует прежде всего проанализировать его форму и свойства.
Усеченная пирамида. Согласно определению, усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию. В полном соответствии с этим определением и надо строить изображение усеченной пирамиды, начиная с полной пирамиды и изобразив затем сечение её плоскостью параллельной основанию. Секущая плоскость пересекает плоскости боковых граней пирамиды по прямым, параллельным соответствующим сторонам основания, а плоскости диагональных сечений – по прямым, параллельным диагоналям основания.
Тетраэдр. Из теоремы Польке – Шварца следует, что его изображением является произвольный четырехугольник вместе с диагоналями.
Прямой круговой цилиндр. Для построения изображения расположим цилиндр так, чтобы его ось была параллельна плоскости изображения. Направление проектирования не должно быть параллельным плоскости основания или образующим, так как в первом случае цилиндр изобразится в виде прямоугольника, а во втором - в виде круга, изображение не будет наглядным.
Нижнее основание цилиндра изображаем в виде произвольного эллипса. Через центр эллипса проводим вертикаль, откладываем отрезок произвольной длины, тем самым определяется изображение центра верхнего основания. Строим равный эллипс с этим центром и приложением линейки проводим общие касательные к эллипсам.
Прямой круговой конус. Располагаем ось конуса параллельно плоскости изображения, направление проектирования выбираем под углом к плоскости изображения, отличным от прямого. Основание конуса изобразим в виде произвольного эллипса, через его центр О проводим вертикаль, произвольную точку S на ней возьмем за изображение вершины конуса. Приложением линейки проводим из этой точки касательные к эллипсу (контурные образующие конуса). Заметим, что точки касания К1, К2, и центр О не лежат на одной прямой. Большую наглядность изображению придаст построение изображения SA еще одной образующей конуса.
Шар (сфера). В ортогональной проекции изображением шара является круг. Если на чертеже обозначить шар только его очертанием в виде окружности – контура, такое изображение не создаст наглядного образа шара как геометрического тела. Поэтому чертёж дополняется рядом линий и точек, которые изображают отдельные элементы шара (сферы).
Окружность одного из больших кругов шара назовём экватором; диаметр, перпендикулярный к плоскости экватора, - осью, его концы – полюсами шара. Окружности сечений, параллельных плоскости экватора, назовём параллелями, а окружности сечений, проходящих через полюсы, - меридианами.
Если изображение очертания шара дополнить изображениями экватора и полюсов, рисунок становится объёмным.
Пусть эллипс для изображения экватора выбран. Тогда изображение шара строится в такой последовательности:
- проекцию прямой EF, содержащей ось шара, располагаем «вертикально», выбираем на ней точку О, изображающую центр шара;
- совместив центр эллипса с выбранной точкой О и расположив малую ось CD эллипса вдоль прямой EF, изображаем экватор шара (видимой будет ровно половина экватора);
- радиусом, равным большой полуоси эллипса, описываем окружность с центром в точке О; эта окружность изображает очертание шара и делит сферу на две равные части: переднюю (обращенную к зрителю) – видимую и заднюю – невидимую;
- для изображения полюсов проводим касательную к эллипсу в точке С его малой оси; отрезок СК этой касательной между точками касания и точкой пересечения её с очертанием шара откладываем на прямой EF по обе стороны от точки О: ON=OM=CK. Полученные точки M и N – изображения полюсов шара.

4. Вписанные многогранники
4.1 Призма, вписанная в цилиндр

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр (а цилиндр, соответственно, описанным около призмы), если ее основания вписаны в основания цилиндра.
Боковые ребра призмы, вписанной в цилиндр, являются образующими этого цилиндра.
Радиус цилиндра R равен радиусу окружности, описанной около основания цилиндра.
Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около основания призмы.
Теорема 4.1. Для того чтобы призму можно было вписать в цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а около ее основания можно было описать окружность.

· Необходимость. Если призма вписана в цилиндр, то ее основания по определению вписанные многоугольники. Кроме того, боковые ребра призмы образующие цилиндра. Образующие цилиндра перпендикулярны плоскостям оснований, следовательно, рассматриваемая призма прямая.
Достаточность. Пусть дана прямая призма, около одного из оснований которой можно описать окружность. Так как одно основание призмы переводится в другое параллельным переносом на вектор, перпендикулярный этим основаниям, то окружность, описанная около одного основания, переходит при этом параллельном переносе в окружность, описанную около другого основания. Из этого следует, что существует цилиндр, основания которого рассматриваемые круги, а образующая боковое ребро призмы. Этот цилиндр, по определению, описан около призмы.
·
Из доказанной теоремы следует, что около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр и что около любой правильной призмы можно описать цилиндр.
Изображение призмы, вписанной в цилиндр, сводится к изображению оснований призмы, вписанных в окружности оснований цилиндра. Основания цилиндра изображаются в виде эллипсов. Контурные образующие цилиндра изображаются параллельно ребру призмы.
4.2 Пирамида, вписанная в конус

Определение. Пирамида называется вписанной в конус (а конус, соответственно, описанным около пирамиды), если вершина пирамиды является вершиной конуса, а основание пирамиды вписано в основание конуса.
Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются его образующими. Радиус конуса R равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды, а высоты H конуса и пирамиды совпадают.

Теорема 4.2. Для того чтобы пирамиду можно было вписать в конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.

· Необходимость сразу следует из того, что образующие конуса, являющиеся одновременно боковыми ребрами вписанной пирамиды, равны.
Достаточность. Если боковые ребра пирамиды равны, то около ее основания можно описать окружность, а вершина проектируется в центр этой окружности. Конус, основание которого ограничено этой окружностью, а вершина является вершиной пирамиды, описан около пирамиды по определению.
·
В частности, около любой правильной треугольной пирамиды можно описать конус.
Изображение комбинации сводится к изображению основания пирамиды, вписанного в основание конуса. Вершина конуса и пирамиды лежит на прямой, проходящей через центр основания конуса и перпендикулярной этому основанию. Основание конуса изображается в виде эллипса.
Определение. Усеченная пирамида называется вписанной в усеченный конус (а усеченный конус, соответственно, описанным около усеченной пирамиды), если ее основания вписаны в основания усеченного конуса.

5. Описанные многогранники
5.1 Призма, описанная около цилиндра

Определение. Призма называется описанной около цилиндра (а цилиндр, соответственно, вписанным в призму), если ее основания описаны около оснований цилиндра.
Плоскости боковых граней призмы, описанной около цилиндра, касаются цилиндра.
Радиус цилиндра r равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания призмы.
Теорема 5.1. Для того чтобы призму можно было описать около цилиндра, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а в ее основание можно было вписать окружность.
В частности, во всякую прямую треугольную призму и во всякую правильную призму можно вписать цилиндр.
Изображение призмы, описанной около цилиндра, сводится к изображению оснований цилиндра, вписанных в основания призмы. Основания цилиндра изображаются в виде эллипсов. Контурные образующие цилиндра изображаются параллельно ребру призмы.
5.2 Пирамида, описанная около конуса

Определение. Пирамида называется описанной около конуса (а конус, соответственно, вписанным в пирамиду), если вершина пирамиды является вершиной конуса, а основание пирамиды описано около основания конуса.
Плоскости боковых граней пирамиды, описанной около конуса, являются касательными к конусу.
Радиус конуса r равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды, а высоты H конуса и пирамиды совпадают.
Теорема 5.2. Для того чтобы пирамиду можно было описать около конуса, необходимо и достаточно, чтобы двугранные углы при основании пирамиды были равны.

· Необходимость. Пусть пирамида SA1...An описана около конуса. Тогда основание конуса круг с центром О вписано в основание пирамиды. Обозначим точки касания этого круга со сторонами A1A2,,AnA1 основания пирамиды через B1,,Bn соответственно. Прямоугольные треугольники SOB1, SOB2,, SOBn равны по двум катетам, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415. Указанные углы являются линейными углами двугранных углов при основании пирамиды, они равны, т.е. равны и двугранные углы при основании.
Достаточность. Если двугранные утлы при основании пирамиды равны, то в ее основание можно вписать окружность, а вершина проектируется в центр этой окружности. Конус, основание которого ограничено указанной окружностью, а вершина является вершиной пирамиды, по определению, вписав в пирамиду.
·
В частности, всякую правильную пирамиду можно описать около конуса.
Изображение комбинации сводится к изображению основания пирамиды, описанного около основания конуса. Вершина конуса и пирамиды лежит на прямой, проходящей через центр основания конуса и перпендикулярной этому основанию. Основание конуса изображается в виде эллипса.

6. Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (призма, пирамида)

Определение. Многогранник называется вписанным в шар (сферу), если все его вершины лежат на поверхности шара (на этой сфере).
Утверждения для сферы справедливы и для шара. Из данного определения вытекает, что если многогранник можно вписать в шар, то центр этого шара равноудален от всех его вершин. Обратно, если существует точка, равноудаленная от всех вершин многогранника, то около многогранника можно описать шар с центром в этой точке.
Заметим, что если около многогранника можно описать шар, то этот шар единственный.
Теорема 6.1. Около многогранника можно описать сферу, тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:
а) около всякой грани многогранника можно описать окружность, и оси окружностей, описанных около граней многогранника, пересекаются в одной точке;
б) плоскости, перпендикулярные к ребрам многогранника и проходящие через их середины, пересекаются в одной точке;
в) существует единственная точка, равноудаленная от всех вершин многогранника.

· Необходимость. Пусть около многогранника описана сфера. Докажем, что выполняется условие а). действительно, поскольку плоскость данной грани многогранника пересекает сферу по окружности, то вершины грани, принадлежащие сфере и плоскости грани, принадлежат линии их пересечения окружности. Поскольку центр сферы равноудален от всех вершин данной грани, то он лежит на перпендикуляре к этой грани, проведенном через центр описанной около грани окружности.
Достаточность. Пусть выполняется условие а). Докажем, что около многогранника можно описать сферу. В самом деле, поскольку общая точка перпендикуляров к граням, проведенных через центры описанных около граней окружностей, равноудалена от всех вершин многогранника, то около многогранника описывается сфера с центром в этой точке.
·
Если сфера описана около многогранника, то:
а) основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на любую грань, является центром окружности, описанной около этой грани (как основание высоты пирамиды с равными боковыми ребрами радиусами сферы, проведенными из ее центра в вершины данной грани);
б) центр сферы, описанной около многогранника, может находиться внутри многогранника, на его поверхности (в центре описанной около грани окружности, в частности в середине некоторого ребра), вне многогранника.

6.1 Призма, вписанная в шар

Теорема 6.2. Для того чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а в ее основании лежал вписанный многоугольник.

· Необходимость. Если около призмы описан шар, то ее основания вписаны в круги, являющиеся сечениями шара плоскостями оснований, а боковые грани вписаны в круги, являющиеся сечениями шара плоскостями этих граней. Боковые грани призмы параллелограммы. Как известно из планиметрии, параллелограмм можно вписать в круг тогда и только тогда, когда он является прямоугольником. Итак, все боковые грани призмы прямоугольники. Следовательно, призма прямая.
Достаточность. Пусть дана прямая призма 13 EMBED Equation.3 1415, основания которой 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вписанные многоугольники с центрами описанных кругов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно (ясно, что если одно из оснований призмы вписанный многоугольник, то этим свойством обладает и другое основание, причём радиусы описанных кругов равны).
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 середина 13 EMBED Equation.3 1415. Докажем, что эта точка равноудалена от всех вершин призмы. Действительно, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где R - радиус круга, описанного около основания призмы, а 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, около призмы можно описать шар с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
·
В частности, мы установили, что около любой прямой треугольной призмы можно описать шар и что около любой правильной призмы можно описать шар. Шар можно описать также около любого прямоугольного параллелепипеда, в частности, куба. Кроме того, при доказательстве теоремы мы показали, что центр шара, описанного около призмы, есть середина отрезка, соединяющего центры кругов, описанных около оснований призмы. Следствия:
а) около всякой правильной призмы можно описать сферу;
б) около всякой прямой треугольной призмы можно описать сферу;
в) около всякого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу;
г) центр описанной около призмы сферы равноудален от плоскостей оснований призмы и может находиться внутри призмы, на ее боковой грани (в центре описанной около грани окружности), вне призмы.
Чтобы изобразить призму, вписанную в шар, надо начать с того, что вписать многоугольник в какой-нибудь параллельный экватору круг. Ребра призмы параллельны оси шара.
6.2 Пирамида, вписанная в шар

Теорема 6.3. Для того чтобы около пирамиды можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы в основании пирамиды лежал вписанный многоугольник.

· Необходимость. Если около пирамиды описан шар, то сечение шара плоскостью основания круг. Этот круг описан около основания пирамиды.
Достаточность. Пусть в основании пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 лежит вписанный многоугольник 13 EMBED Equation.3 1415. Геометрическим местом точек, равноудаленных от всех вершин основания, является перпендикуляр 13 EMBED Equation.3 1415 к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, проходящий через центр описанного около многоугольника 13 EMBED Equation.3 1415 круга. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек S и 13 EMBED Equation.3 1415, является плоскость 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярная отрезку 13 EMBED Equation.3 1415 и проходящая через его середину. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда точка О равноудалена от всех вершин пирамиды. Следовательно, около данной пирамиды можно описать шар. Очевидно, что этот шар единственный.
·
Следствия:
а) около всякой правильной пирамиды можно описать сферу, центр которой лежит на высоте пирамиды или ее продолжении;
б) около всякого тетраэдра можно описать сферу.
Центр сферы, описанной около пирамиды, может находиться:
а) с вершиной пирамиды по одну сторону от плоскости ее основания внутри пирамиды, в плоскости боковой грани (в центре описанной около этой грани окружности), вне пирамиды;
б) в плоскости основания в центре описанной около основания окружности;
в) с вершиной пирамиды по разные стороны от плоскости ее основания.
Теорема 6.4. Если боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости ее основания, то около пирамиды можно описать сферу.

· Поскольку боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания пирамиды, то около основания пирамиды можно описать окружность, а тогда около пирамиды можно описать сферу.
·
Эту теорему можно сформулировать иначе: если пирамида имеет равные боковые ребра, то около пирамиды можно описать сферу. Обратная теорема не верна.
Теорема 6.5. Для того чтобы около усеченной пирамиды можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы ее основаниями были вписанные многоугольники, а прямая, проходящая через центры кругов, описанных около оснований, была перпендикулярна плоскостям оснований.
Изображение комбинации: основание пирамиды вписано в какой-либо параллельный круг, а вершина – любая точка сферы.
7. Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (призма, пирамида)

Определение. Многогранник называется описанным около шара (сферы), если этот шар (сфера) касается всех граней многогранника.
При этом указанный шар (сфера) называется вписанным в многогранник.
Далее будем говорить только о вписанной сфере (утверждения о вписанном шаре аналогичны).
Из определения следует, что если многогранник описан около шара, то центр шара равноудален от всех граней многогранника. Верно и обратное: если существует точка, равноудаленная от всех граней многогранника, то в него можно вписать шар с центром в этой точке.
Теорема 7.1. В многогранник можно вписать сферу тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:
а) биссекторы двугранных углов при всех ребрах многогранника пересекаются в одной точке;
б) во всякий многогранный угол многогранника можно вписать коническую поверхность вращения, и оси конических поверхностей вращения, вписанных в многогранные углы многогранника, пересекаются в одной точке;
в) существует единственная точка, равноудаленная от всех граней многогранника.
Теорема 7.2. Объем многогранника, описанного около сферы, равен произведению его полной поверхности на треть радиуса вписанной сферы.

· Центр сферы соединим со всеми вершинами многогранника. Если у многогранника n граней, то образуется n пирамид с общей вершиной в центре сферы и основаниями которых будут грани многогранника. Высоты этих пирамид, как радиусы одной и той же сферы, равны между собой. Пусть площади граней многогранника 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415, а радиус вписанной сферы 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда объем многогранника, как сумма объемов самонепересекающихся упомянутых пирамид, будет ранен:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - полная поверхность многогранника.
·
7.1 Призма, описанная около шара


Теорема 7.3. Для того чтобы в призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в ее перпендикулярное сечение можно было вписать круг и чтобы высота призмы была равна диаметру этого круга.

· Необходимость. Пусть шар 13 EMBED Equation.3 1415 вписан в призму 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим перпендикулярное сечение 13 EMBED Equation.3 1415 призмы, проходящее через центр О шара 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. По определению 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, эта плоскость перпендикулярна всем боковым ребрам призмы (так как они параллельны), а значит, всем её боковым граням.
В плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 проведем через точку O перпендикуляр к прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Он будет и перпендикуляром к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, Следовательно, точка пересечения этого перпендикуляра с прямой 13 EMBED Equation.3 1415 является точкой касания шара с плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415. Из определения вписанного шара вытекает, что указанная точка лежит на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично доказывается, что все остальные точки касания шара с боковыми гранями призмы лежат по одной на соответствующих сторонах рассматриваемого перпендикулярного сечения. Отсюда следует, что большой круг, являющийся сечением шара плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 вписан в многоугольник 13 EMBED Equation.3 1415. Диаметр этого круга равен диаметру шара.
Основания призмы параллельны, а вписанный шар касается каждого из них. Поэтому расстояние между плоскостями оснований равно диаметру шара. Следовательно, высота призмы равна диаметру круга, вписанного в ее перпендикулярное сечение.
Достаточность. Пусть дана призма, в перпендикулярное сечение которой можно вписать круг, а высота призмы равна диаметру 13 EMBED Equation.3 1415 этого круга. Центр круга равноудален от всех сторон перпендикулярного сечения, следовательно, он равноудален и от всех боковых граней призмы. Это означает, что биссекторы всех двугранных углов при боковых ребрах призмы пересекаются по прямой, проходящей через центр круга. Все точки этой прямой удалены от плоскостей боковых граней призмы на расстояние R. Пусть биссектор какого-нибудь двугранного угла при основании призмы пересекает указанную прямую и точке О. Эта точка удалена от всех боковых граней и одного из оснований призмы на расстояние R. По условию, основания призмы находятся на расстоянии 2R друг от друга, следовательно, точка О находится на расстоянии R от другого основания. Осталось доказать, что проекции точки О на плоскости оснований призмы попадут именно на сами основания. Допустим, что это не так. Тогда перпендикуляр, опушенный из точки О на плоскость одного из оснований, пересечет какую-то боковую грань призмы. Следовательно, расстояние от точки О до этой грани меньше R, что невозможно.
Итак, шар с центром О и радиусом R вписан в призму.
·
Следствия:
а) в правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы;
б) в треугольную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы;
в) центр сферы, вписанной в призму, расположен внутри призмы и равноудален от плоскостей ее оснований (как и от боковых граней).
Изображение комбинации: изображаем шар, описываем многоугольник около экватора, далее достраиваем призму при условии, что боковое ребро равно диаметру шара.




7.2 Пирамида, описанная около шара

Теорема 7.4. Если боковые грани выпуклой пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то в пирамиду можно вписать шар.

· Действительно, поскольку боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то в основание можно вписать окружность, центр которой есть основание высоты пирамиды. А тогда, в пирамиду можно вписать сферу. Исключением является треугольная пирамида, основание высоты которой может быть при равнонаклонности боковых граней к основанию центром вневписанной в основание окружности. Но во всякий тетраэдр вписывается шар.
Обратная теорема не верна.
·
Теорема 7.5. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то в неё можно вписать шар.

· В данную пирамиду можно вписать конус, а в этот конус можно вписать шар. Докажем, что этот шар вписан в пирамиду.
Действительно, этот шар касается основания пирамиды, так как он касается основания конуса, а оно вписано в основание пирамиды. Шар касается каждой образующей конуса, а в каждой боковой грани пирамиды лежит ровно одна образующая конуса (которая является апофемой этой грани). Следовательно, шар касается и каждой грани пирамиды.
·
Замечание. Теорему можно доказать и не используя вписанный конус, а показав непосредственно, что все биссекторы двугранных углов при основании пересекаются в одной точке (для этого нужно воспользоваться теоремой «если все двугранные углы при основании пирамида равны, то в ее основание можно вписать окружность, а вершина пирамида проектируется в центр этой окружности», а затем доказать, что точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла какого-нибудь двугранного угла при основании принадлежит всем указанным биссекторам, т. е. является центром вписанного шара).
Из доказанной теоремы следует, что во всякую правильную пирамиду можно вписать шар. Радиус этого шара нетрудно найти, зная сторону основания пирамиды и двугранный угол при основании.
Изображение комбинации: изобразить шар, взять какой-нибудь параллельный круг и описать около него многоугольник. В точках касания провести касательные к меридианам шара. Пересечение касательных даст вершину шара. Далее достраиваем пирамиду, используя коэффициент подобия.

8. Комбинации шара и круглых тел
8.1 Описанные шары

Определение. Шар называется описанным около цилиндра, если все точки окружностей оснований цилиндра лежат на поверхности шара.
Аналогичное определение справедливо и для сферы.



Теорема 8.1. Около всякого цилиндра можно описать шар. Центр описанного шара находится в середине высоты цилиндра, а радиус равен радиусу круга, описанного около осевого сечения цилиндра.

· Рассмотрим цилиндр радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 и высоты 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - центры его оснований. Выберем на окружности основания с центром 13 EMBED Equation.3 1415 произвольную точку 13 EMBED Equation.3 1415. Построим осевое сечение цилиндра, проходящее через 13 EMBED Equation.3 1415. Это сечение прямоугольник со сторонами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Как известно из планиметрии, около прямоугольника можно описать окружность, а ее центр находится в середине отрезка, соединяющего середины противоположных сторон. В рассматриваемом случае центр 13 EMBED Equation.3 1415 описанной окружности – середина отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. середина высоты цилиндра (см. рис).
Из 13 EMBED Equation.3 1415 находим 13 EMBED Equation.3 1415. В силу произвольности выбора точки 13 EMBED Equation.3 1415 заключаем, что рассматриваемая окружность основания цилиндра лежит на поверхности шара с центром 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично доказывается, что окружность другого основания также лежит на поверхности этого шара.
·
Замечание. Метод, использованный при доказательстве этой теоремы, заключается в сведении пространственной задачи о фигурах вращения к задаче на плоскости путем рассмотрения осевого сечения. Этим методом доказываются и все остальные теоремы этого раздела.

Определение. Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара.
Аналогичное определение справедливо и для сферы.


Теорема 8.2. Около всякого конуса можно описать шар. Центр описанного шара есть центр круга, описанного около осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

· Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.1.
·
Некоторые свойства:
а) Центры вписанной в конус и описанной около него сфер лежат на высоте конуса, причем центр вписанной сферы всегда находится внутри конуса, а описанной внутри конуса, в плоскости его основания (в центре основания), вне конуса, если угол при вершине в осевом сечении конуса острый, прямой, тупой соответственно.
б) Отношение объемов конуса и вписанного в конус шара равно отношению площадей полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
Теорема 8.3. Вписанная в конус и описанная около него сферы концентричны, если и только если выполняется любое из условий:
а) конус равносторонний;
б) отношение радиусов описанной около конуса и вписанной в него сфер минимально;
в) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус описанной около конуса сферы и 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус вписанной в конус сферы.

· Необходимость. Пусть вписанная в конус и описанная около него сферы концентричны. Докажем, что конус равносторонний. Осевое сечение конфигурации равнобедренный треугольник (13 EMBED Equation.3 1415, см. рис.) с концентрическими вписанной и описанной окружностями. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - точки касания вписанной окружности сторон треугольника. Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны к сторонам треугольника и то, что 13 EMBED Equation.3 1415, заключаем, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. А поскольку, например, 13 EMBED Equation.3 1415 (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки), то 13 EMBED Equation.3 1415. А это значит, что конус равносторонний.
Достаточность. Пусть конус равносторонний. Тогда осевое сечение конуса равносторонний треугольник, а посему вписанная в осевое сечение и описанная около него окружности концентричны. Вращением этой конфигурации вокруг, например 13 EMBED Equation.3 1415, образуется конус с концентрическими вписанной и описанной сферами.
·

8.2. Вписанные шары.

Определение. Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается всех образующих цилиндра и его оснований.
Если шар вписан в цилиндр, то говорят, что цилиндр описан около шара.
Аналогичное определение справедливо и для сферы.


Теорема 8.4. Для того чтобы в цилиндр можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы высота цилиндра была равна диаметру его основания.

· Необходимость. Пусть в цилиндр вписан шар. Рассмотрим произвольное осевое сечение цилиндра плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415. Это сечение прямоугольник, стороны которого равны высоте и диаметру основания цилиндра. Сечение шара плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 круг, причем из определения вписанного шара вытекает, что этот круг вписан в осевое сечение цилиндра.
Как известно из планиметрии, в прямоугольник можно вписать круг тогда и тогда, когда он является квадратом. Поэтому у рассматриваемого цилиндра высота равна диаметру основания.
Достаточность. Пусть дан цилиндр, у которого высота равна диаметру основания. Рассмотрим произвольное осевое сечение цилиндра. Это квадрат, следовательно, в него можно вписать круг. Докажем, что шар с центром в центре этого круга и радиусом, равным радиусу круга, вписан в цилиндр. Действительно, В силу произвольности выбора осевого сечения, указанный шар касается всех образующих цилиндра и плоскостей его оснований в их центрах.
·
Следствие. Центр шара, вписанного в равносторонний цилиндр, есть середина высоты цилиндра, а радиус шара равен радиусу основания цилиндра.

Определение. Шар называется вписанным в конус, если он касается всех образующих конуса и его основания.
При этом говорят, что конус описан около шара.
Аналогичное определение справедливо и для сферы.


Теорема 8.5. Во всякий конус можно вписать шар. Центр вписанного шара есть центр круга, вписанного в осевое сечение конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.



Определение. Шар называется вписанным в усеченный конус, если он касается всех образующих конуса и его оснований.
При этом говорят, что усеченный конус описан около шара.
Теорема 8.6. В усеченный конус можно вписать сферу, если и только если выполняется любое из условий:
а) длина образующей равна сумме радиусов оснований конуса;
б) высота усеченного конуса есть среднее пропорциональное между диаметрами оснований;
в) в осевое сечение усеченного конуса можно вписать окружность.

· Необходимость. Пусть в усеченный конус вписана сфера. Тогда осевое сечение конфигурации равнобочная трапеция с вписанной окружностью (см. рис.). Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - центры окружностей оснований усеченного конуса и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Достаточность. Пусть в конусе 13 EMBED Equation.3 1415. Докажем, что в усеченный конус вписывается сфера. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. суммы длин противоположных сторон четырехугольника 13 EMBED Equation.3 1415 равны. Из планиметрии известно, что в такой четырехугольник вписывается окружность. Вращением равнобедренной трапеции 13 EMBED Equation.3 1415 с вписанной в нее окружностью около диаметра 13 EMBED Equation.3 1415образуется сфера, вписанная в конус.
·
Эту теорему можно переформулировать так: в усеченный конус можно вписать сферу, если и только если его высота равна диаметру сферы, вписанной в полный конус. полученный дополнением из данного усеченного.
Некоторые свойства:
а) Центр сферы, описанной около усеченного конуса и вписанной в него, лежат на оси конуса, причем центр вписанной сферы – середина оси конуса, а описанной – внутри конуса (ближе к большему основанию), в центре большего основания, вне конуса (за большим основанием), если угол наклона образующей конуса к плоскости его большего основания больше, равен, меньше 13 EMBED Equation.3 1415, соответственно (13 EMBED Equation.3 1415 - длина образующей, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус большего основания усеченного конуса).
б) Центры сфер, вписанной в усеченный конус и описанной около него, совпасть не могут.
в) Отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности описанного около него усеченного конуса равно отношению объемов этих тел.
Теорема 8.7. Сумма длин окружностей оснований, сумма площадей оснований, боковая поверхность, полная поверхность и объем усеченного конуса, описанного около шара, больше соответственно суммы длин окружностей оснований, суммы площадей оснований, боковой поверхности, полной поверхности и объема цилиндра, описанного около того же шара.

· Пусть радиус шара 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - угол наклона образующей к плоскости большего основания конуса 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем (см. рис.): 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислим теперь и сравним перечисленные в условии величины.
а) Сумма длин окружностей оснований:
13 EMBED Equation.3 1415
б) Сумма площадей оснований:
13 EMBED Equation.3 1415
в) Боковая поверхность: 13 EMBED Equation.3 1415
г) Полная поверхность:
13 EMBED Equation.3 1415
д) Объем:
13 EMBED Equation.3 1415.
·
9. Вневписанный шар
Определение. Шар называется вневписанным в многогранник, если он касается одной из его граней и продолжений всех остальных граней.
Аналогичное определение справедливо и для сферы.
Теорема 9.1. Для всякого тетраэдра существует не менее пяти и не более восьми шаров, касающихся плоскостей всех его граней.

· Пусть дан тетраэдр объема 13 EMBED Equation.3 1415. Пронумеруем его грани от первой до четвертой и обозначим площади этих граней через 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Для произвольной точки 13 EMBED Equation.3 1415 пространства обозначим расстояние от нее до плоскости 13 EMBED Equation.3 1415й грани тетраэдра через 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415, (*)
где 13 EMBED Equation.3 1415, причем знак «+» берется тогда и только тогда, когда точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит вместе с данным тетраэдром по одну сторону от плоскости его 13 EMBED Equation.3 1415й грани. Для доказательства этого равенства достаточно заметить, что если соединить точку 13 EMBED Equation.3 1415 с вершинами тетраэдра, то, комбинируя объемы четырех полученных тетраэдров, выбирая знаки «+» или «» по указанному выше правилу, мы получим объем исходного тетраэдра.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 центр, а 13 EMBED Equation.3 1415 радиус шара, касающегося плоскостей всех граней тетраэдра. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415.
Верно и обратное: если для данного набора 13 EMBED Equation.3 1415 сумма 13 EMBED Equation.3 1415 положительна, то существует шар, касающийся плоскостей всех граней тетраэдра. Действительно, рассмотрим точку, для которой 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя эти значения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в равенство (*), получаем, что и 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. 2.1.1

Плоскости граней тетраэдра делят пространство на 15 частей четырех типов: одна часть типа I, внутренняя относительно тетраэдра, для точек которой все 13 EMBED Equation.3 1415; четыре части типа II (Рис 2.1.1 а), для точек которых ровно одно из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 равно - 1; четыре части типа III (Рис 2.1.1 6), для точек которых ровно одно из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 равно + 1; шесть частей типа IV (Рис 2.1.1 в), для точек которых два числа из 13 EMBED Equation.3 1415, положительны, а два отрицательны.
В области I всегда есть точка, равноудаленная от граней (центр вписанного шара), так как 13 EMBED Equation.3 1415.
В области типа II также всегда есть точка, равноудаленная от плоскостей граней (центр вневписанного шара), так как сумма площадей любых трех граней тетраэдра больше площади четвертой (это легко доказать, спроектировав три грани ортогонально на плоскость четвертой и заметив, что проекции покроют четвертую грань независимо от того, куда попадет проекция вершины, в которой сходятся проектируемые грани).
Тем самым, мы уже указали пять шаров, касающихся плоскостей всех граней тетраэдра. Заметим теперь, что если для некоторого набора 13 EMBED Equation.3 1415 сумма 13 EMBED Equation.3 1415 положительна, то для набора с противоположными знаками эта сумма отрицательна. Так как всего наборов 13 EMBED Equation.3 1415, то не более половины из них дают положительную сумму 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, существует не более восьми шаров, касающихся плоскостей всех граней тетраэдра.
Интересно выяснить, при каких условиях существуют еще три шара и где они расположены.
Заметим, что они не могут лежать в областях типа III, так как13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415. В областях типа IV, если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому существует нужный нам шар (Рис 2.1.1 г). Понятно, что при этом в области типа IV, относящейся к противоположному ребру, это неравенство не выполняется. Оно не выполняется также при условии 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, если сумма площадей любых двух граней тетраэдра не равна сумме площадей двух оставшихся граней, то шаров, удовлетворяющих условию, существует ровно 8. В случае, когда площади всех граней тетраэдра равны (а следовательно, равны и сами грани), таких шаров ровно 5. Их может быть и 7, и 6. При этом равенство 13 EMBED Equation.3 1415 выполнено, соответственно, ровно для одного и ровно для двух различных наборов индексов 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 из множеств 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 9.2. Для пирамиды существует вневписанная сфера, если и только если существует сфера, вписанная в эту пирамиду.

· Пусть в пирамиду (Рис 2.1.2) вписывается сфера. Тогда любая точка луча 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - центр вписанной сферы, равноудалена от всех боковых граней пирамиды. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения этого луча с биссектором двугранного угла, образованного плоскостью основания пирамиды с продолжением произвольной боковой грани, будет равноудалена от плоскостей всех граней пирамиды. Сфера с центром 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом, равным расстоянию от этой точки до плоскости любой грани пирамиды, и будет вневписанной. Поскольку центр и радиус этой сферы определились однозначно, то эта сфера единственная.
·
Следствия:
а) для всякой правильной пирамиды существует вневписанная сфера;
б) для всякого тетраэдра существует по крайней мере четыре вневписанные сферы.

10. Полувписанный шар
Определение. Шар называется полувписанным в многогранник, если он касается всех ребер этого многогранника.
Аналогичное определение справедливо и для сферы.
Теорема 10.1. Для многогранника существует полувписанная сфера тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:
а) грани многогранника - такие многоугольники, в каждый из которых можно вписать окружность и оси этих окружностей пересекаются в одной точке;
б) грани многогранника такие многоугольники, в каждый из которых можно вписать окружность, и каждая из этих окружностей касается окружностей, вписанных в грани, смежные данной;
в) грани многогранника – такие многоугольники, в каждый из которых можно вписать окружность и плоскости, перпендикулярные ребрам (или смежным граням) многогранника и проходящие через точки касания этих ребер и окружностей, вписанных в грани, пересекаются в одной точке;
г) плоскости, перпендикулярные граням многогранника и проходящие через биссектрисы внутренних углов его граней, пересекаются в одной точке;
д) около каждого многогранного угла многогранника можно описать круговую коническую поверхность, и оси этих конических поверхностей пересекаются в одной точке;
е) существует единственная точка, равноудаленная от всех ребер многогранника.

· Необходимость. Пусть существует сфера, касающаяся всех ребер многогранника. Тогда, поскольку центр сферы равноудален от ребер одной из граней многогранника, то он (центр сферы) проектируется в центр вписанной в эту грань окружности, и тут же следует, что все такие перпендикуляры к граням многогранника, проходящие через центры вписанных в грани окружностей, пересекаются в центре сферы.
Достаточность. Пусть в каждую грань многогранника вписывается окружность и перпендикуляры к граням, проходящие через центры этих окружностей, пересекаются в одной точке. Тогда эта точка равноудалена от всех ребер многогранника.
·

Заметим еще, что центр полувписанной сферы может находиться внутри многогранника, на грани многогранника (в центре вписанной в эту грань окружности), вне многогранника.
Теорема 10.2. Чтобы для данного многогранника существовали полувписанная и описанная сферы и их центры совпадали, необходимо и достаточно, чтобы все грани многогранника являлись правильными многоугольниками.

· Необходимость. Пусть для данного многогранника существуют полувписанная и описанная сферы и они концентричны. Докажем, что грани многогранники правильные многоугольники. Основание перпендикуляра, опущенного из общего центра на грань многогранника, является центром описанной около многоугольника окружности (ибо одна из сфер описана около многогранника) и в то же время центром вписанной в тот же многоугольник окружности (ибо другая из сфер полувписана в многогранник). А если окружности, описанная около многоугольника и вписанная в тот же многоугольник, концентричны, то многоугольник правильный, ибо его стороны равны как хорды описанной окружности,
Достаточность. Пусть грани многогранника правильные многоугольники, и описанная и полувписанная сферы существуют. Докажем, что эти сферы концентричны. Если существует описанная около многогранника сфера, то перпендикуляры к граням, проходящие через центры описанных около граней окружностей, пересекаются в одной точке – центре описанном сферы. Если существует полувписанная сфера, то перпендикуляры к граням, проведенные через центры вписанных в грани окружностей, пересекаются в одной точке – центре сферы, касающейся всех ребер многогранника. Но окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него, концентричны. Значит, оба перпендикуляра к любой грани многогранника, о которых говорилось выше, совпадают и поэтому совпадают центры сфер.
·
Теорема 10.3. Шар, касающийся всех ребер призмы, существует, если и только если призма правильная и все ее ребра равны между собой.

· Необходимость. Пусть существует шар, касающийся всех ребер призмы. Тогда в каждую грань призмы вписывается окружность, центр которой есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на соответствующую грань. Значит, все боковые грани призмы – ромбы, а посему все ребра призмы равны между собой. Поскольку линия центров 13 EMBED Equation.3 1415 (см. Рис. 2.2.1) окружностей, вписанных в основания призмы, перпендикулярна плоскостям оснований, то призма прямая и при проектировании нашей конфигурации на плоскость основания призмы проекции оснований призмы совпадут, а шар спроектируется в круг, описанный около основания призмы. Основание призмы, как равносторонний многоугольник вписанный в круг, будет правильным многоугольником, а значит, и прямая призма будет правильной боковые грани которой будут квадратами.
Достаточность. Пусть призма правильная и все ее ребра равны между собой. Тогда около призмы можно описать сферу, центр 13 EMBED Equation.3 1415 которой (см. Рис. 2.2.1) равноудален от всех вершин призмы, а учитывая, что боковые грани призмы квадраты, заключаем, что точка 13 EMBED Equation.3 1415 равноудалена и от сторон этих квадратов, т. е. равноудалена от всех ребер призмы. Значит, существует шар, касающийся всех ребер призмы.
·
Заметим, что центр сферы, касающейся всех ребер призмы, расположен внутри призмы, равноудален от ребер, от вершин, от боковых граней, от оснований призмы.
Следствие. Если существует сфера, касающаяся всех ребер призмы, то около такой призмы можно описать сферу (утверждение, обратное этому, не верно).
Теорема 10.4. Существуют вписанные в призму шары, касающиеся один всех ребер призмы, а второй всех ее граней, если и только если призма есть куб.

· Пусть в призму (см. Рис. 2.2.1) можно вписать шар и существует шар, касающийся всех ребер этой призмы. Тогда поскольку призма правильная и боковые грани ее квадраты, то основания 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415перпендикуляров, опущенных из центров 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, вписанных в основания 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 окружностей на стороны 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 делят эти стороны пополам, и тогда 13 EMBED Equation.3 1415. А поскольку в призму можно вписать шар, то 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому в основании призмы – квадрат, а сама призма – куб.
·
Вывод: из всех призм только куб обладает тремя свойствами – существуют вписанная, полувписанная и описанная сферы. Центры этих сфер совпадают.
Теорема 10.5. Центр полувписанной в пирамиду сферы лежит на ее высоте, если и только если пирамида правильная.

· Необходимость.
Пусть в пирамиду 13 EMBED Equation.3 1415 полувписана сфера, центр 13 EMBED Equation.3 1415 которой лежит на высоте 13 EMBED Equation.3 1415пирамиды (Рис. 2.2.2). Пусть сфера касается боковых ребер пирамиды в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,, а ребер основания в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 (как радиусы одной и той же сферы) и эти отрезки перпендикулярны боковым ребрам 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,, соответственно, то треугольники
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, равны между собой (по общей гипотенузе и катету). Тогда углы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, также равны между собой. Прямоугольные треугольники 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, по общему катету 13 EMBED Equation.3 1415 и острому углу при этом катете равны между собой. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 Приходим к выводу, что около основания 13 EMBED Equation.3 1415 пирамиды можно описать окружность с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415. Но точка 13 EMBED Equation.3 1415 - центр окружности, вписанной в основание 13 EMBED Equation.3 1415, ибо 13 EMBED Equation.3 1415 вследствие того, что равны соответствующие наклонные 13 EMBED Equation.3 1415 (как радиусы одной и той же сферы). А если описанная около многоугольника и вписанная в многоугольник окружности концентричны, то такой многоугольник правильный.
Достаточность. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - правильная пирамида (см. Рис. 2.2.2). Тогда точка 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения высоты пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 с плоскостью, перпендикулярной произвольной боковой грани и проходящей через биссектрису угла при основании этой грани, равноудалена от бокового ребра и ребра основания, а значит, и от всех ребер пирамиды.
Поскольку центр сферы и ее радиус определились однозначно, то такая сфера единственная.
·

Определение. Полувневписанной называется сфера, касающаяся ребер одной грани многогранника и продолжений всех остальных ребер.
Теорема 10.6. Для пирамиды существует одновременно полувписанная и полувневписанная сферы, если и только если пирамида правильная.
Доказательство. Пусть пирамида правильная. Докажем, что существует полувневписанная сфера. Легко установить, что произвольная точка луча 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 высота правильной пирамиды) равноудалена от сторон основания и от лучей 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,... правильной пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 (см. Рис 2.1.2). Точка 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения луча 13 EMBED Equation.3 1415 с плоскостью, перпендикулярной произвольной, например 13 EMBED Equation.3 1415, боковой грани и проходящей через биссектрису внешнего угла, например 13 EMBED Equation.3 1415, треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 являющегося упомянутой боковой гранью, равноудалена от стороны основания 13 EMBED Equation.3 1415 и продолжения бокового ребра 13 EMBED Equation.3 1415, а значит, равноудалена от сторон основания и продолжений всех боковых ребер. Поэтому точка 13 EMBED Equation.3 1415 центр полувневписанной сферы (точка 13 EMBED Equation.3 1415на Рис 2.1.2 не изображена).
Обратно. Пусть пирамида 13 EMBED Equation.3 1415 такова, что существуют полувписанная и полувневписанная сферы. Докажем, что пирамида правильная. Поскольку каждый из центров упомянутых сфер равноудален от сторон основания, то они (центры) находятся на оси окружности, вписанной в основание пирамиды. Вместе с тем, поскольку каждый из центров этих сфер равноудален от боковых ребер пирамиды (или их продолжений), то любая точка прямой, проходящей через эти центры, равноудалена от боковых ребер (или их продолжений), т. е. линия центров наших сфер перпендикулярна основанию пирамиды и является осью конической поверхности, описанной около многогранного угла при вершине пирамиды. Значит, центр полувписанной сферы лежит на высоте пирамиды и поэтому пирамида правильная.
Итак, для правильной пирамиды существуют: описанная, вписанная, полувписанная, вневписанная, полувневписанная сферы; существуют также сферы, касающиеся основания и всех боковых ребер и основания (извне) и продолжений всех боковых ребер пирамиды. Центры этих сфер лежат на высоте пирамиды или ее продолжении.
Теорема 10.7. Для того чтобы существовала сфера, полувписанная в тетраэдр, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
1) суммы длин скрещивающихся ребер равны;
2) суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны;
3) окружности, вписанные в грани, попарно касаются;
4) все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, - описанные;
5) оси окружностей, вписанных в грани тетраэдра, пересекаются в одной точке;
6) оси конусов, описанных около трехгранных углов тетраэдра, пересекаются в одной точке;
7) плоскости, перпендикулярные граням тетраэдра и проходящие через биссектрисы внутренних углов соответствующих граней, пересекаются в одной точке.

· Необходимость (Рис 2.2.3). Пусть шар касается ребер 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тетраэдра 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Из равенства отрезков касательных, проведенных к шару из одной точки, получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Достаточность. Пусть дан тетраэдр 13 EMBED Equation.3 1415, в котором 13 EMBED Equation.3 1415.
Впишем в грани 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 окружности. Пусть эти окружности касаются ребер 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно (Рис. 2.2.3). Так как 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки), то из равенства 13 EMBED Equation.3 1415 вытекает, что 13 EMBED Equation.3 1415. Заменив отрезки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 на соответственно равные им отрезки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 это одна и та же точка.
Обозначив через 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 центры рассматриваемых окружностей, построим в плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикуляры 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 к прямым 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 (по признаку). Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415перпендикулярны прямой 13 EMBED Equation.3 1415, а следовательно, перпендикулярны и плоскостям 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415соответственно.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, удалена от всех ребер тетраэдра 13 EMBED Equation.3 1415, кроме ребра 13 EMBED Equation.3 1415, на расстояние 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда шар 13 EMBED Equation.3 1415 касается всех ребер тетраэдра, кроме, быть может, ребра 13 EMBED Equation.3 1415.
Проводя аналогичные рассуждения для окружностей, вписанных в грани 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, мы получим шар 13 EMBED Equation.3 1415, касающийся всех ребер тетраэдра, кроме 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим теперь, что сферы, ограничивающие шары 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, имеют общую окружность (вписанную в грань 13 EMBED Equation.3 1415) и общую точку 13 EMBED Equation.3 1415 вне этой окружности. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - один и тот же шар. Он касается всех ребер тетраэдра.
·
Заметим, что если существует шар, полувписанный в тетраэдр, то его центр есть точка пересечения перпендикуляров к граням, проходящих через центры вписанных в грани окружностей.

Пример 1. В правильную усеченную треугольную пирамиду вписаны две сферы: одна касается всех граней пирамиды, а вторая – всех ее ребер. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415 - угол наклона бокового ребра к плоскости большего основания; 13 EMBED Equation.3 1415 - двугранный угол при ребре большего основания; 13 EMBED Equation.3 1415 - плоский угол при вершине пирамиды, полученной, дополнением данной усеченной пирамиды до полной; 13 EMBED Equation.3 1415 - двугранный угол при боковом ребре.
Решение. Пусть стороны оснований данной пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Далее: 13 EMBED Equation.3 1415 (см. Рис. 2.2.4). 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415. С другой стороны: 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Понятно, что если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем далее из 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда, используя соотношения между углами в правильной 13 EMBED Equation.3 1415-угольной пирамиде, находим: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Поставленная нами задача решена, и имеет место

Теорема 10.8. Если в правильной усеченной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 13 EMBED Equation.3 1415и в боковую грань ее вписывается окружность, то в такую пирамиду вписываются две сферы: а) касающаяся всех ребер – полувписанная сфера и б) касающаяся всех граней.

· Поскольку усеченная пирамида правильная и в боковую грань ее вписывается окружность, то существует полувписанная сфера. Докажем существование вписанной сферы. Поскольку двугранный угол при боковом ребре равен 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая, что в боковую грань вписывается окружность, имеем 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда из треугольника 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Дополним усеченную пирамиду до полной (см. Рис. 2.2.4). Пусть высота полной пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, а данной усеченной 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - высота полной пирамиды, 13 EMBED Equation.3 1415 - двугранный угол при ребре большего основания. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, сфера, вписанная в полную пирамиду, имеет диаметр 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому касается плоскости верхнего основания данной усеченной пирамиды, а значит, сфера вписана в усеченную пирамиду.
·

Теорема 10.9. Для того чтобы существовала сфера, полувписанная в усеченную 13 EMBED Equation.3 1415угольную пирамиду, необходимо и достаточно, чтобы пирамида была правильная и в боковую грань ее вписывалась окружность.

· Необходимость. Пусть сфера касается всех ребер усеченной пирамиды. Тогда во все грани пирамиды вписываются окружности. Прямая, проходящая через центр сферы и перпендикулярная к плоскостям основании, пройдет через центры 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415окружностей, вписанных в основания (см. рис. 2.2.4).
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая 13 EMBED Equation.3 1415 лежит в одной плоскости с линией центров 13 EMBED Equation.3 1415 окружностей, вписанных в основания, и пересекается с этой линией в некоторой точке 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, вершина 13 EMBED Equation.3 1415 полной пирамиды, полученной дополнением данной усеченной до полной пирамиды, лежит на линии центров, вписанных в основания окружностей.
Боковые ребра полной пирамиды касаются, по условию, сферы, и поэтому они равнонаклонены к высоте 13 EMBED Equation.3 1415 пирамиды, проходящей через центр 13 EMBED Equation.3 1415 сферы, а значит, равнонаклонены к плоскостям оснований. А тогда около оснований можно описать окружности с центрами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку вписанная и описанная около оснований окружности концентричны, то основания пирамиды правильные многоугольники. Теорема доказана, ибо уже упомянуто, что вершина 13 EMBED Equation.3 1415 пирамиды проектируется в центры этих многоугольников.
Достаточность. Пусть усеченная пирамида правильная и в боковые грани вписываются окружности. Докажем, что существует сфера, касающаяся всех ребер пирамиды.
Из середин апофем пирамиды (центров вписанных в боковые грани окружностей) восставим перпендикуляры к боковым граням. Они пересекут линию центров окружностей 13 EMBED Equation.3 1415, вписанных в основания, в одной и той же точке 13 EMBED Equation.3 1415. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 равноудалена от всех ребер пирамиды. Значит, полувписанная сфера существует.
Эту же теорему можно сформулировать так: сфера, касающаяся всех ребер усеченной пирамиды, существует, если и только если пирамида правильная и боковое ребро усеченной пирамиды равно полусумме сторон основания.
·
Следствие. Если в усеченную пирамиду можно вписать сферу, касающуюся всех ее ребер, то около этой пирамиды можно описать сферу. Центры вписанной, полувписанной и описанной сфер в усеченной пирамиде попарно совпасть не могут.
Пример 2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равная 13 EMBED Equation.3 1415, боковое ребро пирамиды равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найти радиус полувписанного шара.

· Решение. Заметим сначала, что указанный шар существует (в силу теоремы 2.2.7.).
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 данная пирамида, 13 EMBED Equation.3 1415 центр полувписанного шара, 13 EMBED Equation.3 1415 высота пирамиды, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - искомый радиус шара (Рис. 2.2.5).
13 EMBED Equation.3 1415. Из подобия треугольников 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415находим, что
13 EMBED Equation.3 1415.
11. Невписываемые многогранники

Рассмотрим куб, одна из вершин которого срезана плоскостью (Рис. 2.3.1). Можно ли полученный многогранник вписать в сферу? Зависит ли ответ на этот вопрос от того, какой именно плоскостью срезана вершина? С решением этой и предстоит ознакомиться.
Предположим, что нам дан выпуклый ограниченный многогранник, т. е. тело в пространстве, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками гранями и лежащее по одну сторону от плоскости каждой из своих граней. Требуется выяснить, можно ли данный многогранник вписать в сферу.
Обозначим весь многогранник буквой 13 EMBED Equation.3 1415, занумеруем по отдельности его грани, ребра и вершины и будем обозначать 13 EMBED Equation.3 1415ую грань через 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415ое ребро через 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415ую вершину через 13 EMBED Equation.3 1415.
Принято говорить, что две грани смежные, если у них имеется общее ребро, а две вершины соседние, если они концы одного и того же ребра.
Чтобы решить поставленную задачу, надо прежде всего проверить, являются ли все многоугольники 13 EMBED Equation.3 1415 вписанными. Затем для каждого ребра 13 EMBED Equation.3 1415 рассмотрим пару граней 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, граничащих по этому ребру, и обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 расстояние от точки пересечения перпендикуляров, восставленных из центров окружностей, описанных около 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, до одной из вершин многоугольника 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415; величина 13 EMBED Equation.3 1415, очевидно, не зависит от выбора вершины (Рис. 2.3.2).
Задача 1. Доказать, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 вписанный тогда и только тогда, когда все многоугольники 13 EMBED Equation.3 1415 вписанные, и 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 число ребер многогранника.
Этот или аналогичный способ проверки вписанности 13 EMBED Equation.3 1415 был известен очень давно, но вдруг в начале XX века обнаружилось, что в целом ряде случаев можно доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415 вписанным не является, не производя почти никаких вычислений.
Первым это заметил немецкий математик Э. Штейниц. В 1927 году вышла в свет его статья, в которой была доказана следующая теорема.
Теорема Штейница. Пусть все вершины многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 можно разбить на черные и белые так, чтобы
I. Никакие две черные вершины не были соседними;
II. Число черных вершин было больше, чем число белых.
Тогда многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 нельзя вписать в сферу.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем некоторые замечания.
Пусть у нас есть фиксированная сфера и некоторый двугранный угол, ребро которого эту сферу пересекает. Возьмем точку пересечения ребра со сферой и проведем через нее касательную плоскость (Рис. 2.3.3). Двугранный угол высекает в этой плоскости линейный угол. Этот угол мы назовем линейным углом двугранного угла относительно данной сферы или просто относительным углом двугранного угла. Очевидно, что относительный угол не зависит от выбора одной из двух точек пересечения ребра со сферой. Если же ребро касается сферы, то удобно положить величину относительного угла равной нулю.
Рассмотрим теперь выпуклый многогранный угол, все ребра которого пересекают данную сферу.
Относительные углы его двугранных углов назовем относительными углами данного многогранного угла. Пусть у многогранного угла 13 EMBED Equation.3 1415 граней, а его вершина лежит на сфере. Тогда сумма его относительных углов равна 13 EMBED Equation.3 1415. В самом деле, проведем через вершину многогранного угла касательную плоскость, а затем проведем плоскость, ей параллельную, секущую и сферу, и все ребра многогранного угла (это возможно, так как все ребра угла пересекают сферу). Многогранный угол высекает в этой последней плоскости многоугольник, углы которого равны относительным углам, что следует из теоремы об углах с попарно параллельными сторонами (Рис. 2.3.4). Аналогичное равенство для суммы углов многоугольника хорошо известно.
Перейдем к доказательству самой теоремы. Предположим, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 вписан в сферу. Обозначим относительный угол двугранного угла с ребром 13 EMBED Equation.3 1415 через 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 число ребер, сходящихся в вершине 13 EMBED Equation.3 1415.
Из доказанного выше следует, что сумма относительных углов при вершине 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415. Положим 13 EMBED Equation.3 1415, угол 13 EMBED Equation.3 1415 внешний относительный угол, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Если сумма внутренних относительных углов равна 13 EMBED Equation.3 1415, то сумма внешних относительных углов равна 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, если в вершине 13 EMBED Equation.3 1415 сходятся ребра 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Выпишем аналогичные равенства для каждой вершины многогранника, потом умножим равенства, соответствующие черным вершинам, на -1 и сложим их все. Черных вершин больше, следовательно, в правой части будет стоять отрицательное число. Рассмотрим сумму, стоящую в левой части. Если 13 EMBED Equation.3 1415ое ребро идет из черной вершины в белую, то число 13 EMBED Equation.3 1415 входит в левую часть один раз со знаком «+» и один раз со знаком «-», в сумме 0; если из белой в белую, то 13 EMBED Equation.3 1415 оба раза входит с «+». Ребер с двумя черными концами не бывает. Итак, сумма чисел в правой части не меньше нуля и мы пришли к противоречию, предположив, что 13 EMBED Equation.3 1415 вписанный.









Прежде чем переходить к анализу полученного результата, т.е. прежде чем выяснять, чем замечательна и что означает теорема Штейница, надо показать, что теорема содержательная, т.е. что существуют многогранники, удовлетворяющие ее условиям. Возьмем октаэдр (Рис. 2.3.5а) и на каждой его грани, как на основании, построим правильную треугольную пирамиду, причем высоту пирамиды возьмем такой маленькой, чтобы двугранные углы при основании были меньше 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим многогранник 13 EMBED Equation.3 1415, склеенный из исходного октаэдра и восьми вновь построенных пирамид (Рис. 2.3.56).
Задача .2. Доказать, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 выпуклый.
Объявим белыми те вершины, которые были вершинами исходного октаэдра, а черными все остальные. Ясно, что условия теоремы Штейница выполняются. Итак, мы построили пример многогранника, который нельзя вписать в сферу, в чем можно убедиться, не зная ни размеров, ни углов многогранника, но зная только его строение.
Уточним, что значит строение. Начнем с плоскости. Чтобы описать строение выпуклого многоугольника, надо сказать, сколько у него вершин, тогда у него столько же и сторон; каждая сторона смежна с двумя другими, и в каждой вершине сходятся две стороны.










Иное дело в пространстве: у додекаэдра (Рис. 2.3.6а) и у десятиугольной призмы (Рис. 2.3.6б) одинаковое число граней – 12, одинаковое число ребер – 30, одинаковое число вершин – 20, а строение совсем разное. В пространстве, чтобы описать строение многогранника, надо сказать не только сколько у него ребер, граней и вершин, но и как грани склеены между собой, т.е. какие грани являются смежными, какие вершины являются соседними и какие грани сходятся в каждой из вершин. Два многогранника имеют одинаковое строение, если у них одинаковое число вершин, ребер и граней и они одинаково из этих элементов составлены.
Выпуклый многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 называется абсолютно невписываемым, если ни сам он, ни любой другой многогранник, имеющий то же строение, вписанным не является. Из теоремы Штейница следует, что любой многогранник, удовлетворяющий ее условиям I и II, является не только невписываемым, но и абсолютно невписываемым. Построенный выше многогранник (Рис. 2.3.5б) представляет собой пример абсолютно невписываемого многогранника. Ничего подобного на плоскости не бывает: 13 EMBED Equation.3 1415 найдется вписанный 13 EMBED Equation.3 1415угольник. Поэтому до Штейница все считали, что не существует абсолютно невписываемых многогранников. Существовали даже очень правдоподобные, но чуть-чуть не законченные доказательства этого утверждения. Теперь появилась новая проблема: найти все абсолютно невписываемые многогранники, точнее, найти необходимые и достаточные условия того, чтобы многогранник был абсолютно невписываемым.
У нас есть условие Штейница достаточное условие абсолютной невписываемости. Может быть оно является необходимым? Нет. Это вытекает из следующих задач.
Задача 3. Пусть все вершины многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 можно разбить на черные и белые так, чтобы
I. Число белых было не больше числа черных.
П. Никакие две черные вершины не были бы соседними и, напротив, нашлись бы две соседние белые вершины.
Доказать, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 нельзя вписать в сферу.
Задача 4. Построить пример многогранника, удовлетворяющего условию задачи 3 и неудовлетворяющего условиям теоремы Штейница.
Важно отметить и другое: если в каждой вершине многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 сходится одно и то же число, скажем, 13 EMBED Equation.3 1415 граней, то 13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет ни условию теоремы Штейница, ни условию задачи 3. Предположим противное, и пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - число всех ребер многогранника, 13 EMBED Equation.3 1415- число его черных вершин и 13 EMBED Equation.3 1415 - белых, 13 EMBED Equation.3 1415, а в теореме Штейница это неравенство строгое. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415: у каждого ребра два конца, в каждой вершине сходятся 13 EMBED Equation.3 1415 ребер. Кроме того, на каждом ребре лежит белая вершина, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, и в случае задачи 3 это неравенство строгое. С другой стороны, 13 EMBED Equation.3 1415, и в условиях теоремы Штейница это неравенство строгое. Итак, получаем неравенства 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет условию теоремы Штейница или условию задачи 3, то одно из этих неравенств будет строгим, что невозможно.

Остановимся теперь на многогранниках, в каждой вершине которых сходятся три грани: эти многогранники в некотором смысле самые типичные, но мы о них ничего не знаем с точки зрения их вписываемости.

Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости; они либо образуют трехгранный угол, либо линии их пересечения параллельны; в этом случае скажем, что они образуют бесконечный трехгранный угол. Фиксируем некоторую сферу. Пусть все ребра трехгранного угла ее пересекают, а вершина этой сфере не принадлежит, а может быть, вершины и вовсе нет. Оказывается, что если вершина угла лежит внутри шара, но не на сфере, то сумма относительных углов больше 13 EMBED Equation.3 1415, а если лежит вне шара или угол бесконечный, то меньше 13 EMBED Equation.3 1415. Действительно, рассмотрим окружности, высекаемые гранями трехгранного угла на сфере, углы между этими окружностями и есть относительные углы трехгранного угла. Возьмем точку на сфере, не принадлежащую ни одной из этих окружностей, и стереографически спроектируем окружности из этой точки на плоскость. Возможны три случая (Рис. 2.3.7, а, б, в): в первом вершина лежит вне сферы, во втором на сфере, в третьем внутри сферы. Величины углов сохраняются при стереографической проекции, значит, углы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 равны исходным относительным углам. В первом случае 13 EMBED Equation.3 1415меньше суммы углов 13 EMBED Equation.3 1415, а в третьембольше. Утверждение доказано.
Пусть все вершины многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 можно разделить на черные и белые так, чтобы две вершины одного цвета не были соседними.
Задача 5. Пусть во всех вершинах многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 сходится одинаковое число граней и все вершины разбиты на черные и белые так, чтобы никакие две вершины одного цвета соседними не оказались. Доказать, что число черных вершин равно числу белых.
Задача 6. Доказать, что вершины многогранника можно разбить на черные и белые так, чтобы никакие две вершины одного цвета не были соседними тогда и только тогда, когда у каждой грани многогранника четное число сторон.
Указание. Для доказательства достаточно взять любую вершину и объявить ее белой, соседние с ней черными и т. д. Нужно доказать, что при этом не возникает противоречий, т. е. что во всякой замкнутой ломаной, составленной из ребер многогранника, четное число звеньев.
Вернемся к многограннику 13 EMBED Equation.3 1415 с раскрашенными вершинами. Так как у 13 EMBED Equation.3 1415 в каждой вершине сходятся три грани, то число белых вершин равно числу черных вершин. Выделим у него некоторые из черных вершин (одну, две или) и отрежем их с помощью плоскостей. Каждую вершину отрежем одной плоскостью, пересекающей лишь те ребра, которые из этой вершины исходят, и не содержащей никаких вершин 13 EMBED Equation.3 1415.Получившийся многогранник обозначим 13 EMBED Equation.3 1415. Он отличается от 13 EMBED Equation.3 1415 тем, что у него вместо некоторых черных вершин треугольные грани. Докажем, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 абсолютно невписываемый.
Предположим, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 или другой многогранник, имеющий то же строение, вписан в сферу. Выделим три грани, которые соответствуют трем граням многогранника 13 EMBED Equation.3 1415, сходящимся в одной обрезанной вершине. Эти три грани попарно смежные, вершина обрезанного трехгранного угла лежит заведомо вне сферы, так как многогранник вписанный, поэтому сумма относительных углов при них меньше 13 EMBED Equation.3 1415. Припишем каждому ребру многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 относительный угол при соответствующем ребре многогранника13 EMBED Equation.3 1415. Тогда сумма этих приписанных углов при всех белых и при всех не выделенных черных вершинах равна 13 EMBED Equation.3 1415, а при выделенных черных вершинах строго меньше 13 EMBED Equation.3 1415. Как и при доказательстве теоремы Штейница, выпишем эти равенства и неравенства, суммы, соответствующие белым вершинам, умножим на -1 и сложим их. В результате должно получиться строгое неравенство. Однако в левой части мы получим нуль, ибо каждым из приписанных углов один раз входит в сумму при белой вершине, один раз при черной. В правой же части мы тоже получим нуль, так как число белых вершин равно числу черных. Полученное противоречие 13 EMBED Equation.3 1415 и доказывает наше утверждение.
Точно такое же рассуждение можно провести, если отмеченные вершины срезать не одной, а несколькими плоскостями, лишь бы сходящиеся в них грани оставались попарно смежными и не сходились в одной вершине.
Этим способом можно получать и другие достаточные условия. Сейчас стали известны и некоторые необходимые условия того, чтобы многогранник был абсолютно невписываемым, но в целом проблема до сих пор не решена.
Метод относительных углов позволяет решать и другие интересные задачи.
Задача 7. Пусть в каждой вершине многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 сходятся три грани, а у каждой его грани четное число сторон. Докажите, что если все, кроме одной, вершины многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на сфере, то многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 - вписанный.
Аналогичная, но более сложная задача 8. Пусть все вершины многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 разбиты на черные и белые, как это описано в задаче 5, и число черных вершин равно числу белых. Докажите, что если все, кроме одной, вершины многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на сфере, то многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 - вписанный.
Таким образом, если вершины можно разбить на черные и белые, как это описано в задаче 5, то многогранник либо абсолютно невписываемый, либо удовлетворяет задаче 8, т.е. из того, что на сфере лежат все его вершины, кроме одной, следует, то он вписанный.
Простейшим примером абсолютно невписываемого многогранника является куб с одной срезанной вершиной (см. рис. 2.3.1).
В заключение остается сознаться, что Штейниц доказал отнюдь не ту теорему, которая называется его именем, но двойственное к ней утверждение, которое можно сформулировать в виде задачи.
Задача 9. Пусть все грани многогранника 13 EMBED Equation.3 1415 можно разбить на черные и белые так, чтобы
число черных граней было больше, чем число белых;
никакие две черные грани смежными не являются.
Докажите, что многогранник 13 EMBED Equation.3 1415 нельзя описать вокруг сферы.

На рисунке 2.3.8 изображен один из самых простых примеров абсолютно невписываемого многогранника куб, у которого срезаны все вершины.





III. Варианты заданий
Контрольные вопросы
Какие существуют виды проектирования пространственных фигур на плоскость?
Какая плоскость называется проектирующей?
Что понимают под изображением пространственной фигуры?
Какие теоремы лежат в основе изображения пространственных фигур?
Каковы особенности изображения куба?
Каковы особенности изображения призмы?
Каковы особенности изображения пирамиды?
Каковы особенности изображения цилиндра?
Каковы особенности изображения конуса?
Каковы особенности изображения шара (сферы)?
Какая призма называется вписанной в цилиндр?
Каково условие, при котором можно вписать в цилиндр призму?
Каковы особенности изображение комбинации призмы, вписанной в цилиндр?
Какая пирамида называется вписанной в конус?
Каково условие, при котором можно вписать в пирамиду конус?
Каковы особенности изображение комбинации пирамиды, вписанной в конус?
Какая усеченная пирамида называется вписанной в конус?
Какая призма называется описанной около цилиндра?
Каково условие, при котором можно описать около цилиндра призму?
Каковы особенности изображения комбинации призмы, описанной около цилиндра?
Какая пирамида называется описанной около конуса?
Каково условие, при котором можно описать около пирамиды конус?
Каковы особенности изображения комбинации пирамиды, описанной около конуса?
Какой многогранник называется вписанным в сферу (шар)?
При каких условиях около многогранника можно описать сферу?
Каково условие, при котором можно описать около призмы шар?
Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около призмы?
Каково условие, при котором можно описать около пирамиды шар?
Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около пирамиды?
Где может находиться центр сферы, описанной около пирамиды?
Какой многогранник называется описанным около сферы?
При каких условиях в многогранник можно вписать сферу?
Каково условие, при котором можно описать около шара призму?
Каковы особенности изображения комбинации призмы, описанной около шара?
Где расположен центр сферы, вписанной в призму?
Каково условие, при котором можно описать около шара пирамиду?
Каковы особенности изображения комбинации пирамиды, описанной около шара?
В каком случае около цилиндра можно описать шар?
Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около цилиндра?
В каком случае около конуса можно описать шар?
Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около конуса?
В каком случае около шара можно описать цилиндр?
Каковы особенности изображения комбинации цилиндра, описанного около шара?
В каком случае около шара можно описать конус?
Каковы особенности изображения комбинации конуса, описанного около шара?
Какой шар называется вневписанным в многогранник?
Для каких многогранников существуют вневписанные шары?
Какой шар называется полувписанным в многогранник?
Для каких многогранников существуют полувписанные шары?
Какой угол называется относительным углом двугранного угла?
Какие многогранники имеют одинаковое строение?
Какой многогранник называется абсолютно невписываемым?
Примеры решения задач
Задача №1. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь его боковой поверхности равна 13 EMBED Equation.3 1415. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объём призмы.

Решение:
1) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - правильная призма, точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - центры оснований описанного цилиндра. Призма правильная, следовательно, треугольник 13 EMBED Equation.3 1415 правильный и 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - ось цилиндра, то 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 и по признаку параллельности прямой и плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Проведем высоту 13 EMBED Equation.3 1415 треугольника 13 EMBED Equation.3 1415. Треугольник 13 EMBED Equation.3 1415 правильный, поэтому точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на 13 EMBED Equation.3 1415 и радиус 13 EMBED Equation.3 1415 основания описанного цилиндра равен 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Призма правильная, следовательно, грани 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 взаимно перпендикулярны. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 и, по определению перпендикуляра к плоскости, 13 EMBED Equation.3 1415, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то из определения расстояния между скрещивающимися прямыми следует, что расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани является длина перпендикуляра, опущенного из точки 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. длина отрезка 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, радиус 13 EMBED Equation.3 1415 цилиндра равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Этот же результат мы получим, рассматривая любую диагональ любой боковой грани призмы.
3) Треугольник 13 EMBED Equation.3 1415 правильный, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус описанной окружности. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Боковая поверхность 13 EMBED Equation.3 1415 цилиндра может быть найдена по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415. Цилиндр описан около призмы,
следовательно, его высота 13 EMBED Equation.3 1415 является высотой призмы.
Объем призмы найдем по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №2. В прямую призму, в основании которой лежит ромб с углом 13 EMBED Equation.3 1415, вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если объём призмы равен 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение:
1) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - прямая призма. Так как цилиндр вписан в эту призму, то точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения диагоналей ее оснований – ромбов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - являются центрами оснований вписанного цилиндра, а его высота равна высоте призмы. Прима прямая, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - ось цилиндра, то 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и по признаку параллельности прямой и плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Проведём через точку 13 EMBED Equation.3 1415 отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно стороне 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - центр основания цилиндра, то 13 EMBED Equation.3 1415 - диаметр основания цилиндра, а 13 EMBED Equation.3 1415 его радиус. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, а так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 - расстояние между осью цилиндра и плоскостью боковой грани 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому из определения расстояния между скрещивающимися прямыми следует, что 13 EMBED Equation.3 1415 есть расстояние между осью цилиндра и диагональю грани 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому из условия радиус вписанного цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Этот же результат мы получим, рассматривая любую диагональ любой другой боковой грани призмы.
3) Рассмотрим нижнее основание призмы – ромб 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - его высота. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 как расстояние между двумя параллельными прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. По условию 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Площадь ромба 13 EMBED Equation.3 1415 найдем по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Так как объем призмы 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - высота призмы, то 13 EMBED Equation.3 1415. Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая найденные величины, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №3. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем вписанного в эту пирамиду конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Пусть в правильную пирамиду 13 EMBED Equation.3 1415 вписан конус. Это значит, что вершина пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 является вершиной конуса, основание конуса вписано в квадрат 13 EMBED Equation.3 1415, а центр 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 - середина 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.
13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Из 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, значит 13 EMBED Equation.3 1415.
Из 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №4. Внутри правильного тетраэдра 13 EMBED Equation.3 1415 с ребром равным 13 EMBED Equation.3 1415, расположен конус, вершина которого является серединой ребра 13 EMBED Equation.3 1415. Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра 13 EMBED Equation.3 1415 параллельно прямым 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем конуса.
Решение:
1) Пусть в правильном тетраэдре 13 EMBED Equation.3 1415 точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - середины ребер 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Тогда по свойству средней линии треугольника имеем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и аналогично 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость сечения удовлетворяет условию задачи, а 13 EMBED Equation.3 1415 - параллелограмм. А так как 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 - ромб. Пусть точка 13 EMBED Equation.3 1415 - середина ребра 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку все грани тетраэдра – правильные треугольники, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, и, значит, 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, ромб 13 EMBED Equation.3 1415 - квадрат.
2) Пусть точка 13 EMBED Equation.3 1415 - центр квадрата, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - ось и высота данного конуса. Основание конуса вписано в квадрат 13 EMBED Equation.3 1415, значит окружность основания конуса касается стороны 13 EMBED Equation.3 1415 в ее середине – точке 13 EMBED Equation.3 1415, а радиус 13 EMBED Equation.3 1415 основания конуса равен 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. В треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415 стороны 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равны половинам равных отрезков 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, высота, проведенная из вершины 13 EMBED Equation.3 1415, является и медианой, поэтому отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 пересекает отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 в его середине - точке 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 - образующая конуса.
3) По условию ребро тетраэдра равно 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем объем конуса: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №5. Дано: сфера (О, R), DABC - правильный тетраэдр, DH – высота тетраэдра; R – радиус сферы. Найти: S полной поверхности тетраэдра.
Решение. Примем ребро тетраэдра равно а. Центр О описанной сферы лежит на высоте DH, точка Н – центр 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Из прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Из 13 EMBED Equation.3 1415 по теореме косинусов:
13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь одной грани тетраэдра равна 13 EMBED Equation.3 1415; все грани – равносторонние треугольники, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.


Задача №6. В шар радиусом 13 EMBED Equation.3 1415 вписана правильная треугольная призма 13 EMBED Equation.3 1415. Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 образует с плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем призмы.
Решение:
1) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - середина ребра 13 EMBED Equation.3 1415. Так как призма правильная, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 как угол между прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - центры оснований призмы, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Так как призма правильная, то 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - середина отрезка 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, по свойству наклонных и проекций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то прямоугольные треугольники 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равны по двум катетам. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, точка 13 EMBED Equation.3 1415 равноудалена от всех вершин призмы 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому является центром описанного около неё шара. Из условия радиус шара 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415 прямоугольный и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415. Из 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
4) Отрезок 13 EMBED Equation.3 1415, отрезок 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому из прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Объем призмы находим по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: Объём призмы равен 36.
Задача №7. Отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 - диаметр сферы. Точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на сфере так, что объем пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 наибольший. Найдите синус угла между прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 - середина ребра 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
1) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - центр сферы, а 13 EMBED Equation.3 1415 - ее радиус. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 как диаметр сферы. Поскольку точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на сфере, то 13 EMBED Equation.3 1415. Сечения сферы плоскостями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - окружности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415, описанные вокруг треугольников 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415 как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.
2) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - высота пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, опущенная из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - высота 13 EMBED Equation.3 1415, проведенная к стороне 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на сфере, а плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 содержит центр сферы, то 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, поскольку точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на сфере, то 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда для объема пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415. При этом 13 EMBED Equation.3 1415, только если 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, пирамида 13 EMBED Equation.3 1415 имеет наибольший объем, если треугольники 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.
3) Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - середина 13 EMBED Equation.3 1415. Проведём 13 EMBED Equation.3 1415 - среднюю линию треугольника 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 - проекция 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - угол между прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415.
4) По свойству средней линии 13 EMBED Equation.3 1415. Так как треугольники 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 равны по двум катетам, то треугольник 13 EMBED Equation.3 1415 - правильный со стороной 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 - высота треугольника 13 EMBED Equation.3 1415, значит 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.








Задача №8. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 13 EMBED Equation.3 1415. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 13 EMBED Equation.3 1415. Определите площадь полной поверхности пирамиды, если радиус вписанной в пирамиду сферы равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Указанная в задаче пирамида не является правильной, но ее боковые грани равновелики: нетрудно доказать, что основание высоты пирамиды совпадают с точкой пересечения диагоналей ромба. Сделаем чертеж .
13 EMBED Equation.3 1415 радиус окружности, вписанной в ромб; 13 EMBED Equation.3 1415 высота ромба. Из прямоугольного треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Из треугольника 13 EMBED Equation.3 1415, в котором 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, находим 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь найдем площадь 13 EMBED Equation.3 1415 основания пирамиды:
13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь 13 EMBED Equation.3 1415 боковой поверхности конуса выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус основания конуса, 13 EMBED Equation.3 1415- его образующая. Площадь основания конуса определяется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Наконец, площадь полной поверхности пирамиды:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача №9. Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду совпадает с центром шара, описанного около этой пирамиды. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.
Решение:
Пусть фигура 13 EMBED Equation.3 1415 - изображение правильной четырехугольной пирамиды. Построим 13 EMBED Equation.3 1415 - высоту боковой грани 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - проекцию апофемы 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415. Будем считать 13 EMBED Equation.3 1415 изображением биссектрисы 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. будем считать точку 13 EMBED Equation.3 1415 изображением центра вписанного шара.
Так как по условию точка 13 EMBED Equation.3 1415 является центром также описанного шара, то следует считать, что 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - это изображения равных в оригинале отрезков, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус вписанного шара, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус описанного шара, и требуется найти двугранный угол при ребре 13 EMBED Equation.3 1415 пирамиды, т.е. угол 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - высота 13 EMBED Equation.3 1415, в котором 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415 - проекция отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда и 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 - линейный угол искомого двугранного угла 13 EMBED Equation.3 1415.
Положим для краткости, что 13 EMBED Equation.3 1415, и введем для выполнения подсчетов вспомогательный параметр, положив 13 EMBED Equation.3 1415. Выразим 13 EMBED Equation.3 1415 двумя способами. Из прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415 находим, что 13 EMBED Equation.3 1415. Далее из прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415 находим: 13 EMBED Equation.3 1415, а из прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415 находим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - острый угол, то 13 EMBED Equation.3 1415, в результате преобразований получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Возведём в квадрат обе части этого уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415. Переходя к 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначая для краткости 13 EMBED Equation.3 1415, получаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, которое после ряда упрощений преобразуется в уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, находим: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Отбрасывая заведомо посторонние значения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №10. В усеченный конус вписан шар радиуса 13 EMBED Equation.3 1415. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 13 EMBED Equation.3 1415. Определите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Решение: На рисунке изображено осевое сечение усеченного конуса и вписанного в него шара.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №11. Образующая конуса равна 13 EMBED Equation.3 1415 и составляет с высотой угол, равный 13 EMBED Equation.3 1415. Через две образующие конуса, угол между которыми равен 13 EMBED Equation.3 1415, проведена плоскость. Найдите расстояние от центра шара, вписанного в конус, до этой плоскости.
Решение:
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - высота конуса, центр вписанного шара 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит высоте, 13 EMBED Equation.3 1415 - плоскость, проходящая через две образующие конуса 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - перпендикуляр, опущенный из центра шара на эту плоскость; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 ~ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Из 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Из 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №12 . Даны два шара с центрами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, касающиеся извне, и описанный около них конус. Вычислите площадь боковой поверхности усеченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосновения шаров к поверхности конуса, если радиусы шаров равны 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, а образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: На рисунке показано осевое сечение (полного) конуса. Проведем радиусы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в точки касания шаров и конуса. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса соответственно.
Из прямоугольных треугольников 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Используя формулу для боковой поверхности усеченного конуса, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №13. Дан куб 13 EMBED Equation.3 1415. В призму 13 EMBED Equation.3 1415 вписан цилиндр, объём которого равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объём данного куба.
Решение:
Пусть ребро куба равно 13 EMBED Equation.3 1415, тогда высота вписанного цилиндра также равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Из формулы объема цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415выразим 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Площадь 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, кроме того, она равна 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- полупериметр треугольника, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус вписанной окружности (радиус цилиндра). В результате получаем уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача №14. В основании пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 лежит прямоугольник 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - середина 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - середина 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415. Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415? Найти объем пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
Решение:
1) Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - средняя линия в треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, откуда следует 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - середина 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус окружности, описанной около треугольника 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - центр этой окружности. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Центром 13 EMBED Equation.3 1415 окружности, описанной около прямоугольника 13 EMBED Equation.3 1415, является точка пересечения его диагоналей, а радиус 13 EMBED Equation.3 1415 этой окружности равен 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Около пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 можно описать сферу, так как перпендикуляр к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и перпендикуляр к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 лежат в одной плоскости, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415 и перпендикулярной ребру 13 EMBED Equation.3 1415. Точка пересечения этих перпендикуляров является центром сферы, описанной около пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415.
Радиус 13 EMBED Equation.3 1415 этой сферы не меньше наибольшего из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Если плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 расположена так, что точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на перпендикуляре к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то точка 13 EMBED Equation.3 1415 будет равноудалена от всех вершин пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, в этом случае радиус 13 EMBED Equation.3 1415 описанной около пирамиды сферы будет наименьшим и равным 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - проекция точки 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - высота пирамиды. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Из подобия треугольников 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомый объем пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - площадь прямоугольника 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №15. В правильной четырехугольной пирамиде 13 EMBED Equation.3 1415 с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 сторона основания равна 13 EMBED Equation.3 1415, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите радиус сферы, центр которой лежит в плоскости основания пирамиды и которая проходит через вершины 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Центр сферы, проходящей через точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 проектируется в центр 13 EMBED Equation.3 1415 окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - апофемы, 13 EMBED Equation.3 1415 - высота пирамиды. В плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 восставим перпендикуляр к 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415, точку пересечения этого перпендикуляра с 13 EMBED Equation.3 1415 обозначим 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярна 13 EMBED Equation.3 1415, то и 13 EMBED Equation.3 1415. По построению 13 EMBED Equation.3 1415, так что 13 EMBED Equation.3 1415 есть перпендикуляр к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 есть центр интересующей нас сферы, а 13 EMBED Equation.3 1415 - ее радиус.
Нам известно, что 13 EMBED Equation.3 1415, положим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Из 13 EMBED Equation.3 1415 находим, что 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Радиус окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415, есть 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 и из 13 EMBED Equation.3 1415 получается, что 13 EMBED Equation.3 1415. Теперь 13 EMBED Equation.3 1415 и окончательно 13 EMBED Equation.3 1415.
При заданных числовых значениях 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 находим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №16. В правильной четырехугольной пирамиде 13 EMBED Equation.3 1415 с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 боковая грань образует с плоскостью основания угол 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Площадь поверхности вписанной в пирамиду сферы равна 100. Найдите площадь поверхности сферы, проходящей через вершины 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и середину 13 EMBED Equation.3 1415 стороны 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Проведем в пирамиде высоту 13 EMBED Equation.3 1415, середину стороны основания 13 EMBED Equation.3 1415 обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 и проведем 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что центр сферы, проходящей через точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 должен лежать на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проведенном через центр окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим сторону основания пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, вынесем основание пирамиды на отдельный чертеж. Положим 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 центр окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда радиус этой окружности есть 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь рассмотрим сечение пирамиды плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415. Из точки 13 EMBED Equation.3 1415 к стороне 13 EMBED Equation.3 1415 восставлен перпендикуляр, он параллелен высоте пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому перпендикулярен к плоскости основания пирамиды, и центр интересующей нас сферы должен лежать на этом перпендикуляре. С другой стороны, сфера проходит через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, так что ее центр лежит на плоскости, перпендикулярной отрезку 13 EMBED Equation.3 1415 и проходящей через середину 13 EMBED Equation.3 1415 этого отрезка. С плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 эта плоскость пересекается по прямой, проходящей через 13 EMBED Equation.3 1415 и перпендикулярной 13 EMBED Equation.3 1415. Эта прямая пересекает перпендикуляр, проходящий через 13 EMBED Equation.3 1415, в точке 13 EMBED Equation.3 1415, это и есть центр интересующей нас сферы, а 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус этой сферы.
Найти этот радиус мы можем, например, с помощью равенства 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Далее из 13 EMBED Equation.3 1415, в котором 13 EMBED Equation.3 1415, получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415. Теперь обратимся к прямоугольной трапеции 13 EMBED Equation.3 1415, в которой 13 EMBED Equation.3 1415. Ясно, что 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, откуда после преобразований получаем 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь нужно выразить через 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 радиус 13 EMBED Equation.3 1415 вписанной в пирамиду сферы. Центр этой сферы лежит на пересечении высоты 13 EMBED Equation.3 1415 и биссектрисы угла 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Отношение площадей поверхностей искомой сферы 13 EMBED Equation.3 1415 и вписанной сферы 13 EMBED Equation.3 1415 есть 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 правая часть этого равенства есть 13 EMBED Equation.3 1415, так что 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача №17. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1B1C1D1 с боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1 на сторонах AD, A1B1, B1C1 его оснований лежат точки L, K, M соответственно так, что AL : LD=2 : 5, A1K : KB1=2 : 3, B1M : MC1=5 : 2. Во сколько раз объём параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной К и основанием LDMB1.

Решение:
Пусть ABCDA 1B1C1D1 - данный прямоугольный параллелепипед, длины его сторон обозначим AB = a, AD = b, AA1 = с . Тогда объем параллелепипеда есть V = abc , а по известным из условия задачи отношениям, в которых точки К, L, М делят соответствующие ребра, мы легко определяем длины частей этих ребер:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Поскольку 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, го ребро AD перпендикулярно плоскости AAB1. Но 13 EMBED Equation.3 1415 || AD, значит, также перпендикулярно этой плоскости. Поэтому диагональное сечение параллелепипеда AB1C1D представляет собой прямоугольник. Основание пирамиды LDMB1 лежит в этом прямоугольнике. При этом LD || B1M и, как мы определили выше, LD=В1М. Это означает, что LDMВ1, - параллелограмм, при этом В1A - высота этого параллелограмма, так что площадь основания пирамиды есть
13 EMBED Equation.3 1415.
В плоскости АА1B1 проведем 13 EMBED Equation.3 1415. Докажем, что KN перпендикулярно плоскости диагонального сечения AB1C1D. В самом деле, B1C1 перпендикулярна плоскости AA1B1 , поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. По построению 13 EMBED Equation.3 1415, так что KN перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости диагонального сечения AB1C1D и потому перпендикулярна самой этой плоскости. Отсюда следует важный вывод: KN есть высота пирамиды KLDMB1.

Найти длину KN удобнее, рассмотрев треугольник AA1B1 на отдельном чертеже. Треугольники KNB1 и AA1B1несомненно подобны. Из пропорции 13 EMBED Equation.3 1415 определяем, что
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь находим объем пирамиды KLDMB1:
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомое в задаче отношение объемов есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: Объем параллелепипеда больше объема пирамиды в 7 раз.

Задача №18. Основанием пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415 является прямоугольник 13 EMBED Equation.3 1415. Плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярна плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, тангенс угла 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415, тангенс угла между прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на ребре 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и равноудалена от точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Центр сферы, описанной около пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, лежит в плоскости основания пирамиды, радиус этой сферы равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Опустим из точки 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикуляр 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415, а из точки 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикуляр 13 EMBED Equation.3 1415 на прямую 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рисунок). Поскольку плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны, точка 13 EMBED Equation.3 1415 лежит на их линии пересечения прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Кроме того, поскольку плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415перпендикулярны, прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является проекцией прямой 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, угол между прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 равен углу между прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. равен углу 13 EMBED Equation.3 1415. Отрезки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 проекции равных наклонных 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 является высотой равнобедренного треугольника 13 EMBED Equation.3 1415, а, следовательно, является и его медианой, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Центр сферы, описанной около пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, лежит в плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 прямоугольник, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 диаметр 13 EMBED Equation.3 1415 этой сферы.
Далее имеем:
1) Из 13 EMBED Equation.3 1415: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 а, значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
3) В прямоугольном треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 16.














Задачи для самостоятельной работы
В цилиндр вписана правильная треугольная призма, объем которой равен 13 EMBED Equation.3 1415, а отношение сторон основания к боковому ребру равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найти объем цилиндра.
Пирамида 13 EMBED Equation.3 1415, в основании которой лежит прямоугольник 13 EMBED Equation.3 1415, вписана в конус. Найти отношение площадей полной поверхности пирамиды и конуса, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна 13 EMBED Equation.3 1415, а острый угол между его диагоналями равен 13 EMBED Equation.3 1415. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объём конуса.
В правильную треугольную призму, объем которой равен 13 EMBED Equation.3 1415, вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В прямую призму вписан цилиндр, площадь полной поверхности которого равна 13 EMBED Equation.3 1415. Основание призмы – ромб с углом 13 EMBED Equation.3 1415. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем призмы.
Около конуса описана четырёхугольная пирамида, основанием которой служит равнобочная трапеция с острым углом 13 EMBED Equation.3 1415. Образующая конуса равна 13 EMBED Equation.3 1415 и наклонена к плоскости основания под углом 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объём пирамиды.
В правильную пирамиду (в основании лежит квадрат), вписан конус, образующая 13 EMBED Equation.3 1415 которого наклонена к плоскости основания под углом 13 EMBED Equation.3 1415. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны ее основания, описан шар. Найдите отношение объема шара к объему призмы.
В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол 13 EMBED Equation.3 1415.
Отношение радиуса сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды, к стороне основания равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
Основанием прямой призмы, описанной около шара, служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13 EMBED Equation.3 1415 и острый угол равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объём призмы.
Шар вписан в прямую призму, основанием которой служит прямоугольный треугольник, в котором перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен 13 EMBED Equation.3 1415 и составляет с одним из катетов угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найти объем призмы.
13 EMBED Equation.3 1415 - прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник (13 EMBED Equation.3 1415). Найти площадь поверхности вписанной в призму сферы, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 - высота 13 EMBED Equation.3 1415).
Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в центрах описанных около них окружностей. Каждый плоский угол при вершине пирамиды равен 13 EMBED Equation.3 1415, а сумма боковых ребер равна 13 EMBED Equation.3 1415. Найти радиус шара.
Найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, если объем пирамиды равен 13 EMBED Equation.3 1415, а угол между двумя ее противоположными гранями равен 13 EMBED Equation.3 1415.
В конус, радиус основания которого равен 13 EMBED Equation.3 1415, а образующая равна 13 EMBED Equation.3 1415, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
В сферу радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем цилиндра.
В прямом круговом конусе даны площадь основания 13 EMBED Equation.3 1415 и площадь боковой поверхности 13 EMBED Equation.3 1415. Найти радиус шара, вписанного в конус.
Вокруг шара описан цилиндр. Найдите отношение их поверхностей и объёмов.
В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего и нижнего основания конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдите угол образующей конуса с плоскостью основ
В правильную четырехугольную пирамиду с плоским углом 13 EMBED Equation.3 1415 при вершине вписан шар. Точки касания шара с боковыми гранями и центр шара приняты за вершины новой пирамиды. Высота этой пирамиды, проведенная из центра шара, равна 13 EMBED Equation.3 1415. Найти отношение объемов пирамид.
В правильной треугольной призме 13 EMBED Equation.3 1415 через сторону 13 EMBED Equation.3 1415 основания проведена плоскость, проходящая также через вершину 13 EMBED Equation.3 1415 другого основания. В пирамиду 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 - вершина) вписан шар. Найти угол между плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью основания призмы.
Задания к зачетам

Задания к зачету №1:
Около прямой четырехугольной призмы описан цилиндр. Основание призмы – прямоугольник, диагонали которого образуют угол 13 EMBED Equation.3 1415, а расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающейся с ним диагональю основания равно 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если объем цилиндра равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Основанием пирамиды является ромб со стороной 13 EMBED Equation.3 1415 и острым углом 13 EMBED Equation.3 1415. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем конуса.
Задания к зачету №2:
В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом 13 EMBED Equation.3 1415 при основании вписан шар объема 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите объем пирамиды.
В шар вписана правильная треугольная призма так, что её высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Определить объем усеченного конуса с образующей, равной 13 EMBED Equation.3 1415, описанного около шара радиуса 13 EMBED Equation.3 1415.

Задания к итоговому зачету:
Около конуса описана треугольная пирамида. Боковая поверхность конуса делится линиями касания на части, площади которых относятся как 13 EMBED Equation.3 1415. В каком отношении делят те же линии площадь боковой поверхности пирамиды?
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждая из боковых сторон которого равна 13 EMBED Equation.3 1415, а угол между ними равен 13 EMBED Equation.3 1415. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с ней угол 13 EMBED Equation.3 1415. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее – шар, объем которого в 24 раза меньше объема цилиндра. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.




Заключение
Данная работа показывает, что изучению комбинаций геометрических фигур в стереометрии, должно быть уделено больше внимания потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся комбинации геометрических фигур, требуют такого представления, которое оказывается при этом не совсем легким делом.
Основными задачами рассмотрения комбинации геометрических фигур в стереометрии являются: изучение пространственных форм, развитие пространственного воображения, развитие правильного логического мышления, развитие практических навыков, включая и умение решать различные геометрические задачи теоретического характера, и умение применять свои знания к решению вопросов практики.
Таким образом, можно сделать вывод, что изучение комбинации геометрических фигур в стереометрии: повышает уровень общего развития, способствует повышению интеллектуального развития личности, то есть влияет на формирование таких приёмов умственных действий, как анализ и синтез, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, абстрагирование; приводит к целенаправленному наблюдению, выделению существенных признаков; помогает рассуждать, обосновывать свою мысль, делать умозаключения; формирует измерительные и графические навыки; воспитывает художественный вкус и повышает эстетическую культуру.












Список литературы
Андреев, Е. Невписываемые многогранники / Е. Андреев // Квант. – 1991. - №2. – с. 10-15.
Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев, С.Б. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. Общеобразовательных учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. – М.: Просвещение, 1996.
Атанасян, Л.С., Денисова, Н.С., Силаев, Е.В. Курс элементарной геометрии. Часть II. Стереометрия. / Л.С. Атанасян, Н.С. Денисова, Е.В. Силаев. – М.: «Сантакс - Пресс», 1997.
Безверхняя, И.С. Методы изображений. / И.С. Безверхняя. – Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004.
Бескин, Н.М. Изображения пространственных фигур. / Н.М. Бескин. – М.: «Наука», 1971.
Генденштейн Л.Э., Ершова А.П. Наглядный справочник по геометрии для 7 – 11 классов. / Л.Э. Генденштейн, А.П. Ершова. – М.: «Издат - Школа», 1997.
Гольдберг, Я.Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. / Я.Е. Гольдберг. – К.: Рад. шк., 1990.
Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения. / Э.Г. Готман. – М.: «МЦНМО», 2006.
Гусев, В.А., Литвиненко, В.Н., Мордкович, А.Г. Практикум по решению математических задач. /В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1985.
Карнацевич, Л.С. Уроки геометрии в 10 классе. Учебно-методическое пособие. / Л.С. Карнацевич. – К.: Рад. школа, 1980.
Математика в школе. – 2008. - №4. – с. 40-42.
Методические рекомендации по разработке программ элективных курсов. – Комитет по образованию г. Тулы.
Писаревский, Б.М. Правильные пирамиды и «неправильные» сферы/ Б.М. Писаревский // Математика в школе. – 2008. – №3. – с. 40-44.
Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии. 11 класс. Дифференцированный подход. / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2006.
Яковлева, Г.Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. / Г.Н. Яковлева. – М.: «Наука», 1981.









13PAGE 15


13PAGE 148015



A1

Рис. 2.3.1

Рис. 2.3.2

Рис. 2.3.3

Рис. 2.3.4

Рис. 2.3.5б

Рис. 2.3.5а

Рис. 2.3.6б

Рис. 2.3.6а

Рис. 2.3.7а

Рис. 2.3.7в

Рис. 2.3.7б

Рис. 2.3.8




Приложенные файлы

  • doc 237932
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий