Методическое пособие «Олимпиада по математике для студентов I курса СПО»



ГБОУ СПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»











Методическое пособие

«Олимпиада по математике

для студентов I курса СПО»














Разработал: преподаватель
Волгоградского энергетического колледжа
Айсаева Е.Л.







2013 г.


Содержание

Пояснительная записка.. 2
Задания к олимпиаде.. 3
Решение задач и их разбалловка... 4
Задания для подготовки к олимпиаде. 14








































Пояснительная записка

Для повышения интереса у студентов СПО к изучению математики используются разные средства. Одним из них является проведение олимпиады внутри учебного заведения.
Цели и задачи такой олимпиады:
Контроль качества знаний у студентов по данной учебной дисциплине;
Развитие умения решать более сложные задачи, чем на занятиях по математике;
Развитие умения отыскать нестандартный подход к решению той или иной задачи;
Индивидуальный подход к каждому студенту;
Развитие творческих способностей студентов.
В данной методической разработке представлена олимпиада по математике для студентов I курса СПО. Она состоит из пяти задач, охватывающих различные разделы математики, изучаемых на I курсе:
Решение показательных уравнений
Решение логарифмических уравнений
Вычисление значения производной функции в точке
Применение производной функции при решении текстовых задач
Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла
Задачи имеют различный уровень сложности, что позволяет участвовать в олимпиаде даже тем ребятам, у которых средний уровень подготовки.
Результаты олимпиады оцениваются в баллах. Причем оценивается не только задача в целом, но и каждый этап ее решения. Максимальное количество баллов по каждой задаче представлено в таблице в конце разработки.
Время, отводимое на решение олимпиадных задач – 1.5–2 астрономических часа.














Задания к олимпиаде:

1) Решить показательное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

2) Решить логарифмическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

3) Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415

4) Прямая касается параболы 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 в точке А, пересекает Ох в точке В, ось Оу в точке С. Известно, что точка А лежит в I четверти координатной плоскости, и отрезок АС в 2 раза длиннее отрезка АВ. Составить уравнение касательной.

5) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415 и осями координат.























Решение задач и их разбалловка.

Задание № 1.

Решить показательное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

Решение и разбалловка.

Заменим 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, используя свойства степеней:
13 EMBED Equation.3 1415 (0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415 (0,5 балла)
Применим подстановку 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы заменить данное уравнение на квадратное:
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
Заменим 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415. Получим совокупность уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то второе уравнение решений не имеет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Итого за 1 задание 3 балла.













Задание № 2.

Решить логарифмическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

Решение и разбалловка

Для решения данного уравнения надо логарифмы привести к общему основанию 1,5. Для этого воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В результате получим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
(2 балла)
Применим свойства логарифма.
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
Получили иррациональное уравнение. Возведём обе части в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)
Логарифмические уравнение требует нахождения ОДЗ или выполнения проверки.
I. ОДЗ
13 EMBED
· Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(1,5 балла)
II. Проверка
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Итого за 2 задание 5,5 или 6 баллов.




































Задание № 3

Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415

Решение и разбалловка.

Упростим функцию, используя свойства логарифма
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)

Воспользуемся формулой производной сложной функции
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Итого за 3 задание 3 балла.




Задание № 4.

Прямая касается параболы 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 в точке А, пересекает Ох в точке В, ось Оу в точке С. Известно, что точка А лежит в I четверти координатной плоскости, и отрезок АС в 2 раза длиннее отрезка АВ. Составить уравнение касательной.


Решение и разбалловка.

Построим график функции 13 EMBED Equation.3 1415. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём её вершину, используя производную
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подставим 13 EMBED Equation.3 1415 в функцию
13 EMBED Equation.3 1415
(1;3) - координаты вершины
(1 балл)
Найдём точки пересечения параболы с осью Ох.
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
Найдём точку пересечения с осью Оу.
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
Строим график.

(1 балл)
Касательная - прямая. Уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Угловой коэффициент касательной
13 EMBED Equation.3 1415. (Геометрический смысл производной)
(1,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)
С другой стороны, точка А лежит на параболе:
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
Составим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
По условию 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(2 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 четверти 13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Ответ: уравнение касательной 13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Итого за 4 задание 12 баллов.























Задание № 5.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415 и осями координат.

Дано:
13 EMBED Equation.3 1415

Найти:
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Решение и разбалловка.

Построим график функции
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для построения график функции 13 EMBED Equation.3 1415 нужно перенести на 4 единицы вверх по оси Оу
(1 балл)

13 EMBED Equation.3 1415
-1
0
1

13 EMBED Equation.3 1415
4
0
-4

(1 балл)
Полученная фигура - криволинейная трапеция. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем b:
13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)
13 EMBED Equation.3 1415
(1 балл)



Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
(0,5 балла)

Итого за 5 задание 5 баллов.




Итоги олимпиады сведём в таблицу:

Задание

Количество баллов

1

3

2

6

3

3

4

12

5

5

Итого

29





















Задания для подготовки к олимпиаде

Решить уравнения:

1)13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производные следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:
13 EMBED Equation.3 1415
Написать уравнение касательной к кривой
13 EMBED Equation.3 1415
в точке пересечения с осью 0х.
Составить уравнение касательной к кривой
13 EMBED Equation.3 1415
в точке (2;14).



















13PAGE 15


13PAGE 141415



13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeдEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 227632
    Размер файла: 274 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий