Презентация по математике Исследовательская работа на тему Математический бильярд — бильярд для любителей


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Автор работы:Ковалева Ирина Сергеевна.9 «А» класс МОБУ СОШ № 35.Научный руководитель:Сизько Ирина Сергеевна, учитель математикиМОБУ СОШ № 35.Математический бильярд- бильярд для любителей?
БИЛЬЯРД интереснейшая интеллектуальная игра и в то же время прекрасный вид спорта, который вырабатывает у человека такие важные качества характера, как психологическая устойчивость, выдержка, умение сосредоточиться.

Актуальность исследования – популярность игры в бильярд и применение метода математического бильярда в процессе игры.
Цель исследования - изучить и выявить на практике действие законов математического бильярда.
Задачи исследовательской работы :  1. Изучить понятие «бильярд в круге»; 2. Ознакомиться с теоремой Якоби, а именно, с ее применение к теории чисел;3. Проанализировать теорему Пуанкаре о возвращении;4. Изучить метод математического бильярда; 5. Опытным путём доказать или опровергнуть, что метод математического бильярда действительно возможен для применения его на практике.


Бильярд - в круге Простейшая ограниченная выпуклая область с криволинейной границей на плоскости — круг. Проблема бильярда в круге поддается полному исследованию.


Рассмотрим шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями являются вписанные в Г ломаные Po, Р1, Р2, Р3, Р4.., обладающие свойством равенства в точках,Р1,Р2,Р3.. углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов. Из этого свойства следует, во-первых, что все звенья траектории равны между собой равны ; и во-вторых, что равны опирающиеся на них центральные углы. Шар в круглом бильярде без луз

Свойство: любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются всех ее звеньев.Шар в круглом бильярде без луз Шар в круглом бильярде без луз

Получается, что вид бильярдной траектории в круге определяется числом α. А именно: (а) если число α соизмеримо с π, т. е. α/ π является рациональным числом, то бильярдная траектория периодична; (б) если α и π несоизмеримы, т. е. число иррационально, то отвечающая углу α траектория непериодична. Шар в круглом бильярде без луз


Теорема 1. Если α и π несоизмеримы (т.е. число α /π иррационально), то любая траектория бильярда в круге, отвечающая углу α (т.е. каждое звено которой из центра круга под углом α ), всюду плотно заполняет кольцо К. Теорема Якоби. Пусть α - несоизмеримое с π число {Ро, Р1,Р2, …}= {Рк}- бесконечная последовательность точек окружности Г такая, что каждая следующая точка последовательности Рк+1 получается из предыдущей точки {Рк} поворотом около центра на α радиан. Тогда для любой дуги треугольника окружности Г хотя бы одна точка последовательности {Рк} лежит на этой дуге. Теорема Якоби. Применение к теории чисел




Доказательство теоремы Якоби. Пусть - произвольная дуга на окружности Г, е – ее радиальная мера. Выберем такое натуральное число N, что 2π/N < е. Разобьем окружность Г на N равных по длине дуг 1, 2,…, N; радианная мера каждой из них равна 2π/N и меньше е.  Теорема Якоби. Применение к теории чисел



Появление теоремы Пункуаре о возвращении было связано с развитием классической механики, которая на рубеже XX века приобрела завершенный характер благодаря многочисленным выдающимся математическим работам как самого Анри Пункуаре, так и других математиков.Теорема Пункуаре о возвращении


Пусть Т – сохраняющее объемы взаимно однозначное преобразование пространства, переводящее ограниченную область D пространства в себя: Т (D)=D. Тогда в любой сколь угодно малой окрестности U внутри D найдется точка x, которая после нескольких применений к ней преобразования Т снова возвращается в область U при некотором n > 0. Более того, почти все точки области U возвращается снова в U – объем невозвращающихся в U точек равен нулю.  Теорема Пункуаре о возвращении


Пусть y- произвольная точка пересечения областей T и U, где n=k-l. Так как каждая точка области T получается из некоторой точки области U в результате действия преобразования и точка y, лежащая вT, получается из некоторой точки x области U таким же способом: y= Tn(x). Но точка y одновременно лежит в области U. Следовательно, точка x через n шагов вернулась опять в область U.Теорема Пункуаре о возвращении


Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге "Математическая теория явлений бильярдной игры" 1835-го года. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Метод математического бильярда

Для этого должен быть прямоугольный бильярдный стол с одними лишь угловыми лузами и целочисленными сторонами m и n (m, n - взаимно просты и обозначают ширину и длину бильярдного стола ). Шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов попадёт в другую лузу после m+n-2 касаний борта.Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.

На практике рассмотриваются только первых два случая, а именно:1. Когда шар попадёт в лузу после одного касания о борт стола;2. Когда шар попадёт в лузу после трех касаний о борт стола. Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation Законы о преломлении и отражении лучей из курса физики дают возможность проверить теорию математического бильярда. Применение математического бильярда на практике
Вместо бильярдного стола - небольшие коробочки соответствующих размеров исследований Штайнхауса и Гарднера. Вместо шара - обычный лазер и лазерный луч, отражавшийся от зеркал, т.к. зеркало- то место, где лазерный луч, т.е. шар должен касаться о борт стола. Зеркала должны стоять ровно перпендикулярно к коробочке.Применение математического бильярда на практике
Случай № 1 Случай № 2



Опираясь на данное правило и результат Штайнхауса и Гарднера, было определено, что действительно лазерный луч, т.е. шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов, попадёт в другую лузу после m+n-2 попаданий в зеркало, т.е. касаний о борт стола (коробочки).  Применение математического бильярда на практике

1. Метод математического бильярда возможен, требует повышенного внимания и точных расчетов приложенной силы удара и необходим для игроков; 2. Применение рассмотренных теорем и следствий позволяют повысить уровень игры;3. Игра в бильярд интересна, но сложна и не допускает погрешностей. Выводы


Благодарю за внимание!!!


Приложенные файлы

  • pptx 201365
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 2

Добавить комментарий