Интегрирование по частям и методом замены переменной — математика, прочее


ПрактическАЯ РАБОТА№ 8
Тема: Техника интегрирования. Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям.
Цели:
научиться применять метод замены переменной при вычислении неопределенного интеграла
Оснащение занятия: конспект лекций.
Критерии оценок
оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы
оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых восьми примеров из задания 2.
оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых шести примеров из задания 2.
Порядок выполнения работы
Задание 1.
- Ознакомиться с лекциями № 10 и № 11
- Выписать тетрадь примеры на применение метода замены переменной и метода интегрирования по частям при вычислении неопределенного интеграла
Задание 2.
Решить примеры для самостоятельного решения
Лекция 10.
Тема «Неопределенный интеграл. Метод замены переменной»
В основе интегрирования методом замены переменной лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: еслиfxdx=Fx+ C,
то fudx=Fu+ C,
где u(x) – произвольная дифференцируемая функция от х.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:
1) х = φ (t), где t – новая переменная, а φ (t) – непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:
fxdx=f(φ(t))φ'(t)dt(1)
Функцию φ(t) стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;
2) t = μ(x), где t – новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид: fμxμ'xdx= ftdtПримеры.
1. sin3xdxРешение. Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент 3х подынтегральной функции sin3x. Так как d(3x) = 3dx, то
sin3xdx = 13sin3xd(3x)Следовательно, подстановка 3х = t приводит рассматриваемый интеграл к табличному:sin3xdx = 13sin3xd(3x) = 13sintdt = -13cost + C
Возвращаясь к старой переменной х, окончательно получим
sin3xdx = -13cos3х + C
2. х2dx8+ х3Решение. Так как d(8+ х3) = 3х2dx, тох2dx8+ х3= 13d(8+ х3) 8+ х3Полагая 8+ х3 = t, получим
х2dx8+ х3= 13dtt=13lnt + C = 13ln8+ х3 + C.
3. cosx dx4+ sin2xРешение. Поскольку d(sinx) = cosx, имеем
cosx dx4+ sin2x= d(sinx)4+ sin2xПоэтому, используя подстановку t = sinx, приходим к табличному интегралу:
cosx dx4+ sin2x = dt4+ t2 = 12arctgt2+C = 12arctgsinx2+C4. ехdx9- e2xИз соотношения d(ex)= exdx получаем
ехdx9- e2x = d(ех)9- e2xВоспользовавшись подстановкой t = ex, приходим к табличному интегралу:
ехdx9-(ex) 2 = dt9- t2 = arcsin t3+C=arcsin ех3+C5. cos3x3x2dxРешение. Здесь используем подстановку 3x=t. Отсюда х = t3, dx = 3t2dt и, следовательно по формуле (1) находим
cos3x3x2dx = cost2 3t2dt=3cost dt = 3sin t + C
Возвращаясь к старой переменной х, получим
cos3x3x2dx = 3sin3x + C
6. dxx1+ x2Применим подстановку x = 1t. Тогда dx = - dtt2, 1+ x2 = 1+ t2t, t = 1xПо формуле (1) находим
dxx1+ x2 = - tdtt21+ t2t = - dt1+ t2 = - lnt+1+t2 + C
Возвращаясь к старой переменной х, получим
dxx1+ x2= - ln1х+1+1х2 + C = - ln1+ 1+ x2x + C = -lnx1+1+ x2 + x
Примеры для самостоятельного решения
Вычислите интегралы, используя метод замены переменной:
1. е2х2хdx2. tgxdx3. xsinx2dx4. (2x3+1)4x2dx5. cosxdx3sinx-16. 4x3+2x2dxЛекция 11.
Тема «Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям».
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формулеudv=uv- vdu, (1)
где u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (1) отыскание интегралаudvсводится к нахождению другого интегралаvdu, её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так при нахождении интегралов вида
Pxeaxdx, Pxsinaxdx,Pxcosaxdxзаu следует принять многочленPx, а за dv - соответственно выраженияeaxdx, sinaxdx, cosaxdx; при отыскании интегралов вида
Pxlnxdx, Pxarcsinxdx, Pxarccosxdxза u принимаются соответственно функции lnx, arcsinx, arccosx, а за dv - выражение Pxdx.
Примеры.
1. lnxх3dxРешение. Положим u = lnx, dv = dxx3, откуда
du = dxx, v = dxx3= - 12x2Тогда по формуле (1) находим
lnxх3dx = lnx(- 12x2)- (- 12x2)dxx = - lnx2х2 + 12dxx3 = - lnx2х2 - 14х2 + С
2. x-5cosx dxРешение. Полагая u = x-5, dv = cosx dx, найдем du =dx,
v = cosx dx = sinх. Следовательно,
x-5cosx dx = x-5sinх- sinхdx =x-5sinх+ cosx+С.3. х2е4хdxРешение. Пусть u = х2, е4хdx = dv;тогда du = 2х dx, v = е4хdx = 14е4хПо формуле (1) находим
х2е4хdx = 14х2е4х - 12хе4хdx (*)К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.
Положим u = x, е4хdx = dv;откуда du =dx, v = е4хdx = 14е4х и, следовательно, хе4хdx= 14хе4х - 14е4хdx = 14хе4х- 116е4хПодставляя найденное выражение в соотношение (*), получим
х2е4хdx = 14х2е4х- 12(14хе4х- 116е4х)+С= е4х328х2- 4х+1+С4. х arctgx dxПоложим u = arctgx, dv =хdx , откуда du = dx1+х2 , v = 12х2. Используя формулу (1), находим
х arctgx dx= х22arctgx- х22dx1+х2= 12х2arctgx- 12х2+1-1х2+1dx =
12х2arctgx- 12(dx- dx1+х2 = 12(х2arctgx - х + arctgx)+С5. е-хsinх dxРешение. Пусть u = е-х, sinх dx=dv; тогда du = - е-хdx, v = - cosx. Согласно формуле (1) имеем
I = е-хsinх dx = = - е-хcosx- е-хcosxdx. (*)К последнему интегралу снова применяем интегрирование по частям. Полагая u = е-х, cosxdx=dv, находим du = - е-хdx, v = sinхи, следовательно, е-хcosxdx = е-хsinх+е-хsinх dxПодставляя полученное выражение в соотношение (*), приходим к уравнению с неизвестным интегралом I:
I = = - е-хcosx - е-хsinх – I,
Из которого находим
I = - е-х2 (cosx+ sinх)+СПримеры для самостоятельного решения
Вычислите интегралы, используя метод интегрирования по частям:
1. xsinxdx2. xcosxdx3. lnxdxx24. xdxsin2x5. xexdxКонтроль знаний обучающихся:
проверить практическую работу;
Требования к оформлению практической работы:
Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ
Работу сдать после занятия

Приложенные файлы

  • docx 307949
    Размер файла: 37 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий