Методические указания для обучающихся по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.01 Математика — математика, прочее


Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Методические указания для обучающихся
по выполнению практических работ
по дисциплине ЕН.01 Математика
для специальности
23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
201
Методические указания для обучающихся по выполнению практических работ для специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине ЕН.01Математика
УТВЕРЖДАЮ
зам. директора по УМР
______________________
______________________
.
«31» августа 201 г.
Организация-разработчик:
Разработчик: Степовая И.В., преподаватель математики
РАССМОТРЕНО
на заседании МК преподавателей
дисциплин общеобразовательногоцикла, протокол № _1
от « 31» августа 201 г.
председатель МК
_____________________
______________________
________________
Содержание
1.Пояснительная записка ..……………………………………………...………………..…….4
2.Практическая работа №1 «Вычисление пределов» ……………...………………………...6
2.Практическая работа №2 «Дифференцирование сложной функции»…….………….....11
3. Практическая работа № 3 «Исследование функций и построение их графиков» ……..15
4.Практическая работа №4 «Неопределенный итеграл»……………..…………………...18
5. Практическая работа №5 « Применение определенных интегралов»…………………..22
6.Практическая работа №6 «Решение дифференциальных уравнений»…………………..26
7. Практическая работа №7 «Решение комбинаторных задач»…...………………………30
8. Практическая работа № 8 «Решение вероятностных задач» ….……………...…………33
9. Литература и интернет - ресурсы……………………………………………………….... .37
Пояснительная записка.
Согласно учебному плану специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта и рабочей программой по дисциплине ЕН.01Математика предусмотрено 16 часов на проведение практических занятий. На практическое занятие отводится 2 часа. Таким образом, представлены 8 практических работ по следующим темам дисциплины ЕН.01Математика:
Раздел 1. Элементы математического анализа.
Раздел 2. Дискретная математика.
Раздел 3. Теория вероятностей
Выполнение обучающимися практических работ направлено на:
— обобщение, систематизацию, углубление теоретических знаний;
— формирование умений применять полученные знания в практической деятельности;
— развитие аналитических, проектировочных, конструктивных умений;
— выработку самостоятельности, ответственности, точности и творческой инициативы.
В результате проведения практических занятий по дисциплине студент должен:
уметь:
- решать обыкновенные дифференциальные уравнения.
знать:
- основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики;
-основные численные методы решения прикладных задач.
Практическая работа по математике заключается в выполнении обучающимися под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины ЕН.01 Математика, приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практической работы обучающиеся производят в письменном виде в отдельной тетради для практических работ и сдают на проверку преподавателю. Преподаватель, ведущий данную дисциплину, проверяет работы в тетради.
Содержанием практических занятий являются
— Работа со справочниками, таблицами, теоретическим материалом.
— Выполнение вычислений, расчетов.
Необходимые структурные элементы практического занятия:
— Инструктаж, проводимый преподавателем;
— Самостоятельная деятельность обучающихся;
— Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения обучающимися запланированных умений.
Перед выполнением практической работы проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.
Методические указания предназначены для оказания помощи обучающимся при выполнении практических работ по дисциплине ЕН.01 Математика. Настоящие материалы разработаны с учетом рабочей программы, составленной на основе федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) среднего профессионального образования.
Методические указания по выполнению практических работ, расположены в порядке проведения. Методические указания к выполнению практических работ содержат:
Тему занятия;
Цель занятия;
Обеспечение практической работы:
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Пояснения (основные формулы, необходимые для выполнения практического занятия);
Разобранные примеры;
Контрольные вопросы.
Критерии оценки выполнения обучающимися практических работ.
Оценка знаний студентов производится по пятибалльной системе.
Критерии оценки практических заданий.
Отметка «5» ставится, если:
- работа выполнена полностью;
- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
- допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки;
- правильно выполнено более 75% заданий.
Отметка «3» ставится, если:
- допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех несущественных ошибок, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме;
- при этом правильно выполнено не менее половины работы. 
Отметка «2» ставится, если:
- допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится, если:
- работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием обучающимися основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.
К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.
При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.
Выполнять пропущенные работы по уважительным и неуважительным причинам обучающийся может на дополнительных занятиях (согласно расписанию), в читальном зале или дома.
Практическая работа № 1
«Вычисление пределов»
Цель: -научиться вычислять пределы, раскрывая неопределённости и используя замечательные пределы, теоремы о пределах.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.
Понятие предела функции в точке. Основные теоремы о пределах.
Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х и пусть точка х0 є Х. Составим из множества Х последовательность точек: х1, х2,…,хn,…сходящихся к х0. Значения функции в этих точках также образуют последовательность: f(x1), f(x2),…,f(xn).
Число А называется пределом функции f () в точке =, если при любых значениях , сколь угодно близких к числу (), значение функции f ()
становится сколь угодно близким к числу А.
Математическое выражение предела даётся в формуле (1.)
f () = f (). (1)
Основные теоремы о пределах.
Пусть существует f (), g (), тогда:
Предел аргумента в точке равен значению аргумента в этой точке = (2)
Если с – постоянная величина, то предел постоянной равен самой постоянной c= c, c – const (3)
Если с – постоянная величина, то постоянный множитель выносится за знак предела cx = cx (4)
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций
(5)
Предел произведения равен произведению пределов:
(6)
Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля: (7)
Предел степени равен степени пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:
= () (8)
Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции.
Предел функции на бесконечности.
Функция- называется бесконечно малой при , если .
Функция- называется бесконечно большой при , если .
Если функция бесконечно большая, то функция- бесконечно малая и наоборот.
Число А называется пределом функции на бесконечности, если при всех достаточно больших значений х разность есть бесконечно малая функция
Правила раскрытия неопределённостей.
Часто встречаются случаи, когда непосредственно применить теоремы о пределах нельзя.
В этих случаях необходимо сначала раскрыть неопределенности и потом только вычислять пределы.
В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, говорят, что имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо:
а) числитель и знаменатель дроби разложить на множители, а затем сократить на множитель, приведший к неопределенности, при этом можно использовать:
формулы сокращенного умножения,
вынесение общего множителя за скобки,
группировку,
преобразование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта или теоремы Виета;
т.к. ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2), x1,x2 - корни уравнения ax2+bx+c=0,
преобразование многочлена с помощью деления многочлена на (x-x0),
умножение на сопряженное выражение, т.е. если предел содержит выражение то
путем умножения на избавляемся от корней, т.к.
б) использовать первый замечательный предел.
Первый замечательный предел:
(9)
(10)
Если числитель и знаменатель неограниченно возрастают при х→∞, то в таком случае имеет место неопределенность вида. Для ее раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной х.
Если имеет место неопределённость и , то в этих случаях применяют второй замечательный предел.
Второй замечательный предел:

Если имеют место неопределённости ∞-∞, 0-0, то в этих случаях необходимо заданную функцию привести к дробно-линейному виду, а затем использовать предыдущие правила
Односторонние пределы.
Предел слева - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента хn→x0 слева от точки x0, т.е. хn < x0. Символическая запись левого предела функции функции y=f(x) в точке x=x0 в формуле (13) : А = (13)
Предел справа - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента хn→x0 справа от точки x0, т.е. хn > x0. Символическая запись правого предела функции функции y=f(x) в точке x=x0 в формуле (14) : В = (14)
Теорема. Функция f(x) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.
Табличные пределы . 3.
2. 4.
Примеры
Пример 1. Вычислить предел функций
Решение. Используя теоремы о пределах и формулы (2)-(5) получим
Пример 2. Вычислить предел функций
Решение. Для того, чтобы вычислить предел функции в точке подставим значение аргумента функции в этой точке, т.е. вместо х подставим единицу:
Пример 3. Вычислить предел функций
Решение. Имеем неопределённость вида. Используя правило раскрытия неопределённостей (а) воспользуемся формулами сокращённого умножения: .
Пример 4. Вычислить предел функций
Решение. Имеем неопределённость вида. Используя правило раскрытия неопределённостей, разделим каждое слагаемое почленно на :
Пример 5 Вычислить предел функций
Решение. Неопределённость вида. Решим уравнения числителя и знаменателя и разложим трёхчлены на множители: =

Пример 6. Вычислить предел функций
Решение Неопределённость вида. Домножим и числитель, и знаменатель на сопряжённый множитель:
Пример7. Вычислить предел функций
Решение. Имеем неопределённость вида. Применим первый замечательный предел,
формулы (9), (10) получим:
Пример8. Вычислить предел функций limх→∞1+13х4хРешение. Применим второй замечательный предел
limх→∞1+13х4х=1∞=limx→∞1+13x3x13x4x=e43Задания для практической работы №4
Задание Вычислить пределы функций
1.limх→-1(2х3-5х2+х-4) 2. limх→3(3х3+х2-8х+10)3. limх→1(7х+2)(4х-3)(5х+1) 4. limх→2(х2-1)(х-3)(х-5)5.limх→-1(х+3)(х-2)х+2 6. limх→4х+1х-17. limх→02х3-2х25х3-4х2 8. limх→03х3+хх9. limх→5х2-8х+15х2-25 . 10. limх→1х3-1х-1 11. limх→23х2-8х+45х2-14х+8 12. limх→5х2-7х+10х2-9х+2013. limх→6х-6х+3-3 14. limх→0х+1-1х15. limх→36х2-9- 1х-3 16. limх→-1 3х3+1- 1х+117. limх→∞ 3хх-2 18. limх→∞ х-82х-219. limх→∞ 2х3-3х2-1х3+4х2+2х 20. limх→∞ 3х2-5х+4х2+2х+321. limх→∞ 1+1х5х 22. limх→∞ 1+1х7х23. limх→∞ 1+3хх 24. limх→∞ 1+23хх25. limх→∞ tg2xx 26 limх→∞ sin17x8xКонтрольные вопросы:
Что называется пределом функции f () в точке =?
Сформулируйте основные вопросы о пределах.
Когда функция при называется бесконечно большой ? Когда функция при называется бесконечно малой ?Сформулируйте правила раскрытия неопределённостей.
Что такое замечательные пределы.
Чему равен ; ; ; ?
Практическая работа № 2
«Дифференцирование сложных функций»
Цель: -научиться вычислять производную сложной функции, применять производную к решению задач.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.
Определение производной
-308610020320∆y
∆x
f(x)
f(x0)
y=f(x)
0 x0 x xy00∆y
∆x
f(x)
f(x0)
y=f(x)
0 x0 x xyПусть функция f(x) определена в окрестности точки x0., тогда -называют приращением аргумента, а - приращением функции
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆х при х→0
Дифференцирование – это процесс вычисления производной .Правила дифференцирования
Пусть U,V - дифференцируемые функции независимой переменной х, С-константа; тогда:
1) 2)
3)
4)
5) Если у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.
-57150081280x0
y=f(x)
x0yM0
f(x0)
φ
Нормаль
Секущая
Касательная
00x0
y=f(x)
x0yM0
f(x0)
φ
Нормаль
Секущая
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная функция f(x )в точке М0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке..
Касательной к данной кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0Х, когда т.Х, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М0.
Уравнение касательной к кривой:

Прямая , проходящая через тМ перпендикулярно касательной, называется нормалью к этой кривой в тМ. Уравнение нормали к кривой: .
Физический смысл производной
Производная функции показывает скорость изменения функции.
Физический смысл производной функции s(t), где t - время, а s(t) - закон движения (изменения координат) –скорость движения.
Вторая производная функции –. ускорение.
Формулы дифференцирования
№ Производная элементарной функции Производная сложной функции
1 Степенная функция
2 3
4
5
Показательная функция
6
7
Логарифмическая функция
8
9
10
Тригонометрическая функция
11
12
13
14
Обратная тригонометрическая функция
15
16
17
18
Производная высших порядков
Производная от функции называется производной первого порядка, или первой производной. Тогда производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и обозначается , , .
Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) - порядка; , , Пример1: Вычислить производную


Производная в физике
формулы из физики, где используется производная.
υ(t) = х'(t) – скорость.
a(t) = υ'(t) – ускорение.
I(t) = q'(t) – сила тока.
с(t) = Q'(t) – теплоемкость.
d(l) = m'(l) – линейная плотность.
K(t) = l'(t) – коэффициент линейного расширения.
ω(t) = φ'(t) – угловая скорость.
e(t) = ω'(t) – угловое ускорение.
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.
N(t) = A'(t) – мощность.
F(x)= A'(x) – Сила есть производная работы по перемещению.
Е = Ф'(t) – ЭДС индукции F = р'(t) – 2 закон Ньютона.
Примеры применения производной в физике
Задача Решение
Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1.
Какова кинетическая энергия тела в конце
3 сек. после начала движения тела?
Какова сила, действующая на тело? Wк = (m·v2)/2
x ' (t) = v (t) = 2t+1, v (3) = 7,
Wк = (4·72)/2=98
2. F = ma, a(t) = v' (t) = x' ' (t), x ' (t) = v (t) = 2t+1,
a(t)= v' (t) = 2, F = ma = 4·2 = 8 H.
Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,1t2-0,5t+0,2. Найти угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с. ω(t) = φ'(t); ω(t) = φ'(t) = 0,2t-0,5
ω(20) = 3,5
Для любой точки С стержня АВ длиной 10 см, масса куска стержня АС определяется по формуле m(l)=3l2+5l. Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ, в конце отрезка. d(l) = m'(l); d(l) =m'(l) = 6l+5
d(5) = 6·5+5=35 – в середине отрезка
d(10) = 6·10+5=65 – в конце отрезка
Задания для практической работы № 2
Задание 1. Вычислить производную.
1. y=ln (2x3 + 3x2) 2. 1-3x2 3. y =cos3 (x3)
4. y=(sinx + cosx)3 5. y= (cosx + x2) x4
Задание 2. Найти производную второго порядка.
1.у= 13х3 – х2 2. у= 13х3 – 12х2 3. у= 5х3 – 4х2 + 7х – 13 4. у= -13х5 +4х3 - х
Задание 3. Найти n-производную функции а) б)

Задание 4. Решить задачу, используя производную.
1.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1. Найти действующую на тело силу F, кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.
2.Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол φ(t)=4t-0,3t2. Найти угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени 2 с.
3.Найти скорость тела, движущегося по закону s(t)=3t+5
4. Тело движется прямолинейно по закону s(t)=1-2t+t3. Найти скорость и ускорение в момент времени t=3с.
Контрольные вопросы:
Что такое приращение аргумента, функции?
Что такое производная?
Что такое производная n-го порядка?
В чем физический смысл производной?
В чем геометрический смысл производной?
Каковы правила дифференцирования?
Практическая работа № 3
«Исследование функций и построение графиков»
Цель: -научиться исследовать функцию с помощью производной и строить графики, применять производную к решению задач.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.
Общая схема исследования функции и построения её графика.
Найти область определения функции;
Проверить функцию на четность и нечетность (заметим, что графики четных функций симметричны относительно оси (ОУ), а нечетных – относительно начала координат); проверяют функцию на периодичность;
Найти точки пересечения графика с координатными осями (ось ОХ имеет уравнение , ось ОУ имеет уравнение );
Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума;
Найти интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба;
Найти асимптоты графика функции;
Построить график.
Комментарии к схеме:
Совокупность всех тех значений, которые принимает независимая переменная х функции y=f(x)
2) а)D(y) симметрична относительно 0
б)f(–x)= f(x) – функция четная (график симметричен относительно оси Оу)
f(–x)= – f(x) – функция нечетная (график симметричен относительно начала координат)
3) - с осью ОХ (у = 0)
- с осью ОУ (х = 0)
4) Найти производную f (х) данной функции f(х).
Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых производная функции f (х) равна нулю или не существует).
Критические точки разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.
Определить знак производной на каждом из интервалов монотонности.
Если f (х) 0, то f(х) возрастает на этом промежутке.
Если f (х) 0, то f(х) убывает на этом промежутке.
Исследовать знак производной f (х) в окрестности точки х0.
Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «-» на «+», то в этой точке функция f(х) имеет минимум.
Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «+» на «-», то в этой точке функция f(х) имеет максимум.
Если f (х) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в этой точке функция f(х) не имеет экстремумов.
5) Найти вторую производную f (х) данной функции f(х).
Найти критические точки второго рода (внутренние точки области определения, в которых вторая производная функции f (х) равна нулю или не существует).
Критические точки второго рода разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами выпуклости.
Определить знак второй производной на каждом из интервалов выпуклости.
Если f (х)> 0, то график функции f(х) выпуклый вниз.
Если f (х)< 0, то график функции f(х) выпуклый вверх.
Если f (х) меняет знак при переходе через критическую точку второго рода, то эта точка будет точкой перегиба графика функции.
6) Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.
Вертикальная асимптота
если: или
Горизонтальная асимптота
если: или
Наклонная асимптота
22174201397000045720010731500если: или
7) Отметить данные полученные в ходе исследования, добавить при необходимости некоторое количество точек.
Пример 2: Исследовать функцию и построить ее график.
Решение: исследуем функцию по схеме:
D(y)=R;
- функция не будет ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;
Найдем точки пересечения с (ОХ): . Перебирая делители свободного члена, находим целые нули функции: .
Найдем точки пересечения графика функции с осью (ОУ): если , то ;
Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную: . Найдем критические точки функции: . Получим: . Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

Из чертежа имеем, что функция возрастает на , убывает на . Найдем экстремумы функции:
. Значит, точка максимума имеет координаты
. Значит, точка минимума имеет координаты
Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую
производную: . Найдем критические точки 2 рода функции:
. Определим знак второй производной в интервалах, на которые разбивается область определения
19

Значит, график функции будет выпуклым вверх на и выпуклым вниз на . Т.к. вторая производная меняет знак при переходе через точку, то в ней график будет иметь перегиб. Вычислим: . Значит, точка перегиба .
Асимптот нет;
Построим график:

Задания для практической работы №3
Задание 4. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
1.у = х3-6х2+9х-3 2. у= 2-3х+х3 3. y = 2 - 3x + x3
Контрольные вопросы:
Расскажите общую схему исследования функции.
Что такое асимптота?
Как найти интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба?
Как найти интервалы монотонности функции и точки экстремума?
Практическая работа № 4
«Неопределенный итеграл»
Цель: - совершенствовать умения вычислять неопределенные итегралы.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.
Понятие неопределённого интеграла
Первообразная – это такая функция F(x) для функции y= f(x) , что имеет место равенство (1)
Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), потому что
Неопределенный интеграл функции y= f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) . Обозначается символом (2),
где – знак интеграла (это стилизованная латинская буква S , означающая суммирование;
f(x) – подынтегральное выражение;
С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение
х – переменная интегрирования.
Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной, это действие обратное дифференцированию .
Основные свойства неопределенного интеграла
- постоянный множитель можно выносить за знак интеграла - интеграл суммы равен сумме интегралов.
Методы интегрирования:
Непосредственное интегрирование Метод непосредственного интегрирования заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.
Таблица интегралов




Интегрирование подстановкой.
Существуют подстановки:
а) линейная замена аргумента t=kx+b
б) замена старшей степени переменной
в) замена, содержащая sinx или cosx г) замена функции, если интеграл содержит и её производную (включает в себя все вышеуказанные подстановки)
Интегрирование по частям
Теорема. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: (3)
Алгоритм
Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы (где f(x) – степенная функция):
Интеграл вида:










Замена




Замечание
Интегрируют по частям столько раз, какова степень многочлена f(x) Интегрируют по частям два раза
Пример1 Найти неопределенный интеграл Решение:Используя свойства неопределенного интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, получаем: и затем, используя таблицу интегралов в приложении
Пример2 Решение:почленно разделим на х:
Пример3 Вычислить неопределённый интеграл
Подстановка (а)

Пример4 Вычислить неопределённый интеграл
подстановка (б)

Пример5 Вычислить неопределённый интеграл
подстановка (в)

Пример6 Вычислить неопределённый интеграл
подстановка (г)

Задания для практической работы № 4
Задание 1. Найти интеграл и проверить результаты дифференцированием.
а) (5x4-4x2+2x-1)dx г) (6x4-4x3-5x+2)dxб) 2x3-3x+7xdx д) 3x2-2x+9xdxв)x5-2x3+3x-4dx е) x4-3x3+2x+6dxЗадание 2. Найти интегралы метолом подстановки
а)(5x+2)7dx в) (6x-7)5dxб)6dx8x-4 г) 11dx5x+3Контрольные вопросы:
Что такое первообразная?
Что такое неопределенный интеграл?
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
Сформулируйте методы интегрирования.
Практическая работа № 5
«Применение интегралов определенных итегралов»
Цель: - совершенствовать умения вычислять определенные итегралы, находить площадь криволинейной трапеции, решать задачи , применять интегрирование к решению задач.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.

Определённый интеграл и его свойства.
Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке[a,b].
Интегральная сумма , где – произвольная точка существующего отрезка.
Определенный интеграл обозначается: (3), где f(x) – подынтегральная функция, х – переменная интегрирования
Теорема. Если F(x) – первообразная для непрерывной функции , то имеет место формула: (4). Эта формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом.
Основные свойства определенного интеграла:
При перестановке пределов изменяется знак интеграла: (5)
Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: (6)
Отрезок интегрирования можно разбивать на части (7)
Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
Если функция всегда на отрезке, то (8)
Если всюду на отрезке , то (9)
Геометрический смысл определенного интеграла:
Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и частью графика функции, взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна (рисунок 1)

Основные случаи расположения плоской фигуры
1

2 07175500

3 0000
Пример1. Найти площадь фигуры, заключённой между линиями y = x3 , x = -1. x = 2 и осью OX

Решение: найдем точки пересечения графика функции с осью ОХ(см. рис 4):
y = x3; y = 0 x = 0; Вычислим производную функции: y’ = 3x2; y’ = 0 x = 0 . Найдем значение второй производной в точке х=0: y” = 6x; y” (0) = 0. Вычислим y”(-1) = -=6; y”(1) = 6; Т.к. y” меняет знак при переходе через х =0 т. (0;0) – точка перегиба. Искомая площадь состоит из двух частей, поэтому:
(кв.ед.)
Физические приложения интеграла
Величины Вычисление производной Вычисление интеграла
А – работа;
F – сила;
N - мощность.
F(x)=A' (x);
N(t)=A' (t). A=;
A=
m –масса тонкого стержня
p – линейная плотность P(x)=m' (x). m=
Q –электрический заряд;
I – сила тока. I(t)=q' (t) Q=
S –перемещение;
v –скорость. V(t)=S' (t) S=
Q –количество теплоты;
с – теплоёмкость. C(t)=Q' (t) Q=
Пример 2 Дано ускорение скорости движения тела. Найти путь тела, за первые 3 с .
Решение:
Уравнение пути s(t) находится интегрированием:
03(t2+4t+1)dx=t33+4t22+t│03=9+18+3=30 ( м)
Задания для практической работы № 5
Задание 3. Вычислить определенные интегралы
а) -131-2x+3x2dx б)14dx2x в) 03dx9-x2Задание 4. Вычислить определенные интегралы методом подстановки.
а)-12(x2-1)3dx
б). 0x6x4+16∙x3dx
в) 016x2dx1+2x3
Задание 5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1.y=x2 +2 y=x2-2x-22.y=x2 -5 y=-0,5x2+1Задание 6. Решить задачу.
1.Скорость точки задана уравнением (м/с). Найти её путь за третью секунду движения.
2.Скорость точки задана уравнением (м/с). Найти путь, пройденный телом за время от начала движения до остановки.
Контрольные вопросы:
Что такое определенный интеграл?
Сформулируйте свойства определенного интеграла.
В чем геометрический смысл определенного интеграла?
Практическая работа № 6
«Решение дифференциальных уравнений»
Цель: - овладеть навыками решения дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными, задачи Коши.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.
Основные понятия дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Общий вид дифференциального уравнения:
F(x,y,y’,y ,,…)=0
где x – независимая переменная, y – неизвестная функция, y, - её производная первого порядка и т.д.
Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это уравнение обращает его тождество.
Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных определенных значениях произвольных постоянных C
Для нахождения частных решений задают начальные условия.
Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение.
Интегральная кривая - график y=F(x), построенный на плоскости xOy,являющийся решением дифференциального уравнения.
Общему решению y=F(x,C) соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.
Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную то решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и единственно т.е. через точку (x0,у0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Название Вид Способ решения
С разделяющимися переменными P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной.
Т.е.
f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0
или
y’= f(x)g(y) 1.разделить переменные

2.проинтегрировать

3.привести к стандартному виду
y=(x)+c – общее решение
Однородные P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0
где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения
или
y’=
(если в функции заменить x=tx, y=ty и преобразовать вернемся исходному уравнению) 1. замена y=tx, тогда

2. привести к уравнению с разделяющимися переменными и решить (см. выше).
3. вернуться к замене, подставить
4. привести к стандартному виду y=
Линейные y’+P(x)y=Q(x)
(y’ и у’ входят в первых степенях не перемножаясь между собой)
а) линейное однородное
y’+P(x)y=0
б) линейное неоднородное
y’+P(x)y=Q(x)
в) уравнение Бернулли
y’+P(x)y=Q(x)y’’ 1. замена y=uv,тогда y’=u’v+v’u
2. u’v+v’u+ P(x) uv= Q(x)
v(u’+P(x)u)+v’u= Q(x) (*)
3. в уравнении (*) приравнять скобку к нулю
u’+P(x)u=0 – c разделенными переменными
найти u
u=P(x)
4. значение u подставить в уравнение (*)v’P(x)=Q(x) - c разделенными переменными
найти v
v=F(x)+c
5. вернуться к замене
y=P(x)(F(x)+c) – общее решение
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Допускающие понижения порядка y’’=f(x) Решаются двойным интегрированием


Линейные однородные второго порядка с постоянными коэффициентами y’’+py+qy=0
где p, q – заданные числа
Всякое Л.О.У. второго порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений.

которая называется фундаментальной системой решений.
Общее решение есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы
1.Составить характеристическое уравнение

2.в зависимости от вида корней, фундаментальная система решений имеет вид:
корни
характеристического уравнения фундаментальная система частных решений общее решение
действительные
Различные
Действительные
или

Равные
k1=k2=kR Комплексные
(мнимые)

Комплексные

Пример 1. Найти общие интегралы уравнения:
(x + 1)3 dy – (y – 2)2dx = 0.
Решение:
Разделим переменные в данном уравнении, деля его обе части на (x + 1)3 (y – 2)2.
dy – dx = 0.
(y – 2)2 (x + 1)3
dy(y-2)2= dx(x+1)3 перенесли второе слагаемое с противоположным знаком, получили уравнение с разделенными переменными. Полученное уравнение проинтегрируем, получим искомое общее решение: -1у-2= -12(х+1)2+СПример2 Найти частное решение дифференциального уравнения или решить задачу Коши dy = (x – 1 )dx при x0 = 2, y0 = 5.
yРешение:
dy = xdx – dx;
y ∫dy = ∫xdx - ∫dx;
у
ln|y| = 0,5x2 – x + lnC.
Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC. Умножим (0,5х2 – х) на lne, (lne = 1)
ln|y| = lnе0,5х2-х + lnC;
|y| = C · е0,5х2-х
– это общее решение дифференциального уравнения. Найдём частное решение. Для этого вычислим С при х0 = 2 и у0 = 5.
5 = Се2 - 2=>С = 5.
Частное решение
у = 5 е0,5х2-х.
Пример3 Решить уравнение 2ydy + dx = 0.
х + 2
Решение:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем оба слагаемых:
y2 + ln|x + 2| = C.
Задания для практической работы № 6
Задание 1. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными.
1) (х2+1)dx =dy 2) 3dy=(9x2+3)dx
3) sin(5x+1)dx – dy=0 4) xdx+2ydy=0

5) 3xdx=3y2dy 6) dx=(4y3-3)dy
Задание 2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
1. y’y2=x(1+x2) 2. y’=cosx 3. y2y’ =4x3+cosx
4. 2xdy-3ydx=0 5. x2dy=y3dx 6. x -2dy=y -3dx
7. dy=dx5y3 8. dyx-5ydx=0 9. ydx=dyx2Задание 3. Найдите частное решение дифференциального уравнения или решите задачу Коши.
1. y’=x5 y(1)=2 2. y’= 6cosx-5sinx y(π2 )=0
Контрольные вопросы:
Что такое дифференциальное уравнение?
Что такое решение дифференциального уравнения?
Что такое общее решение дифференциального уравнения?
Что такое частное решение дифференциального уравнения?
Сформулируйте теорему Коши.
Что такое порядок дифференциального уравнения?
Сформулируйте известные вам виды дифференциальных уравнений и способы их решения.
Практическая работа № 7
«Решение комбинаторных задач»
Цель: - овладеть навыками решения комбинаторных задач, развивать логическое мышление в ходе решения задач.
Время выполнения – 2часа
Справочный материал и примеры.
Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.
Выбор правила Выбор правила
Правило суммы Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m-способами, а другой объект В можно выбрать n- способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить
m + n способами. Если объект А можно выбрать m - способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n-способами, то выбор пары А и В можно осуществить m *· n способами.
Пусть имеется множество, содержащее n - элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k - элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:
, где n!=1*2*3*…*n
Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?
Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно. Получаем =.
Размещения из n - элементов по n элементов называются перестановками из n- элементов:
.
Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.
Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее изnэлементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?
Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно.
Свойства сочетаний:

Задачи для практической работы № 7
Задача 1.
В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?
Задача 2.
Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут Задача 3.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?
Задача 4.
Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?
Задача 5. 
В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?
Задача 6.
В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 7.
Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
Задача 8.
Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?
Контрольные вопросы:
Какие задачи называют комбинаторными?
Что такое размещение из n элементов по k элементов?
Что такое перестановками из n- элементов?
Что такое сочетанием из n элементов по k элементов?
Практическая работа № 8
«Решение вероятностных задач»
Цели: способствовать развитию логического мышления обучающихся при решении задач на вероятности событий.
Время выполнения – 2 часа
Справочный материал.
Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей.
Основные понятия теории вероятностей
Случайное событие (событие) — это некоторое множество (набор) элементарных событий (исходов), которые являются результатом случайного опыта (эксперимента).
Элементарное событие (исход) — это событие, которое нельзя разделить на более простые события.
Пример элементарного события: при одном бросании игральной кости выпало четыре очка.
Пример случайного события: при одном бросании игральной кости выпало четное число очков. Данное событие можно разбить на элементарные события: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».
Вероятностью случайного события называют число, выражающее шансы наступления этого события (числовая мера его правдоподобия). Это число равно отношению числа опытов, в которых событие А произошло, к общему числу проведенных равновозможных опытов:
Рассмотрим примеры:
Событие G «Лампочка никогда не перегорит» — невозможное событие, его вероятность 0. Событие Q «Летом пойдет снег» — практически невозможное, его вероятность ближе к 0. Событие Z «Завтра я найду на улице миллион рублей» — маловероятное.
Событие М «Бутерброд падает всегда маслом вниз» — случайное событие, его вероятность ?, как и вероятность выпадения герба при бросании монеты (Событие N).
Событие А «Лампочка рано или поздно перегорит» — достоверное событие, с вероятностью 1.
Событие В «Зимой бывает снег» — достоверное, его вероятность близка к 1.
Посмотрим, как будут данные события располагаться на вероятностной шкале:Замечание 1. Если число равновозможных событий равно N, то вероятность каждого из них 1/N.
Замечание 2. Если результат случайного эксперимента — три элементарных события a,b,c, а вероятности этих событий Р(a),Р(b),Р(c), то сумма вероятностей всех элементарных события в каждом опыте равна 1, т.е. Р(a) + Р(b) + Р(c) = 1.
Пусть случайное событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию А. Все прочие элементарные события данного опыта, не благоприятствующие событию A, в совокупности представляют новое событие, не благоприятствующее событию А, которое называется событием противоположным событию А (). События А и  называют взаимно противоположными событиями.
Замечание 3. Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому Р(А) + Р() = 1.
Пример 1.Студент не успел выучить 3 билета из 30. Какова вероятность, что он сдаст экзамен?
Решение. По определению вероятности: p = k / n , где k — число благоприятных событий (исходов), n — общее число событий (исходов).k = 30 - 3 = 27, n = 30. Тогда искомая вероятность р = 27 / 30 = 0,9
Второй способ: 3 / 30 = 0,1 — вероятность, что студент не сдаст экзамен, тогда вероятность, что сдаст 1 – 0,1 = 0,9.
Пример 2.Какова вероятность, стоя с закрытыми глазами перед географической картой мира, выбрать точку на суше, показав на нее указкой, если площадь суши 149,1 млн. км2, а площадь океанов 361,1 млн. км2?
Решение. Надо знать какую часть всей площади Земли занимает суша. 149,1 + 361,1 = 510,2 млн. км2. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность: 149,1 : 510,2 = 0,29.
Геометрическое определение вероятности. Р(А) = S(A) / S(G), где G — произвольная область, А — любая подобласть области G.
Операции с вероятностями
Сложение вероятностей. Событие А  В наступает, если наступают оба события А и В одновременно.
Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется объединением событий А и В.
Событие А  В наступает, если наступает хотя бы одно из событий А или В. Это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.
Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим элементарные события, которые благоприятствуют и событию А и событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется пересечением событий А и В.
Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта (еще говорят взаимоисключающие). Такие события называют несовместными, а их пересечение — пустое событие.
А) Если события А и В несовместны, то Р(А  В) = Р(А) + Р (В)
Б) Если А и В — любые события, то Р(А  В) = Р(А) + Р (В) - Р(А  В)
Пример 3.Мишень представляет три области. Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15, во вторую — 0,25, в третью — 0,4.
а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь из трех областей?
б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?
Решение.
а) Одновременно попасть в две (три) области при одном выстреле нельзя, т.е. имеем дело с несовместными событиями, поэтому Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.
б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь». Поэтому = 1 – Р = 1 – 0,8 = 0,2.
Пример 4.Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало разное число очков?
Решение. Событие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.
Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (15 штук ) розовым цветом, а В (15 штук) — голубым. Общее число элементарных событий 36. Р(А) = Р (В) = 15/36 = 5/12Общих элементарных событий у событий А и В нет, т.е. события А и В несовместны, тогдаР(А  В) = Р(А) + Р (В) = 5/12 + 5/12 = 10/12 = 5/6Второй способ: Обозначим  событие «оба раза выпало одинаковое число очков», являющееся противоположным событию А  В. Ему соответствуют 6 не закрашенных ячеек таблицы. Р()= 6/36 = 1/6. Тогда Р(AB) = 1 - Р() = 1 – 1/6 = 5/6.
Умножение вероятностей.
Случайный выбор — это выбор наудачу одного предмета из группы предметов.
Выбор наудачу — это разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из группы. Если в группе N предметов, то каждый из них может быть выбран с вероятностью 1/N. После выбора одного предмета случайный выбор можно продолжить, выбрав второй, третий и т. д. предметы или сразу взять наудачу нужное количество предметов. Собранную таким образом группу называют случайной выборкой.
Независимые события — это события, которые не связаны друг с другом, т.е. по наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на результат бросания второй. Если события А и В независимы, то Р(А  В) = Р(А) · Р(В).
Пример 5.Какова вероятность, что при бросании двух игральных костей выпадут две шестерки.
Решение. Пусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, что Р(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. Выпадение двух шестерок — новое событие, являющееся пересечением независимых событий А и В. Р(А  В) = 1/36. Получаем, что Р(А  В) = 1/6 · 1/6 = 1/36 = Р(А) · Р(В).
Пример 6.Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что на первой кости выпало более трех очков, а на второй — менее трех?
Решение. Событие А состоит в том, что «на первой кости выпало более 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (18 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А и В (6 штук) — зеленым. Общее число элементарных событий 36.Р(А) = 18/36 = 1/2; Р (В) = 12/36 = 1/3, Р(А  В) = 6/36 = 1/6.Т.к. события А и В независимые, то Р(А  В) = 1/2 · 1/3 = 1/6 = Р(А) · Р(В).
Задачи для практической работы № 8
1.Какова вероятность выпадения трех шестерок подряд при бросании кости?
2.В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
3.В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
4.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
5.В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
6.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
7.В Корзине 8 шаров: 3 белых и 5 черных. Какова вероятность, что вынутые наугад два шара окажутся: а) белые, б) черные,в) одного цвета.
8. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.
Контрольные вопросы:
Что такое случайное событие?
Что такое элементарное событие?
Что такое независимые события?
Что такое вероятность случайного события. Запишите формулу вероятности случайного события?
Перечислите операции с вероятностями.
Литература:
1. Богомолов Н.В., П.И. Самойленко Математика: учебник для бакалавров М.: Издательство Юрайт, 2012г.-396с.
2. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями: учебное пособие. Москва: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2010г.-432с. Единое окно доступа к электронным ресурсам http://window.edu.ru/3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. Москва:Айрис-пресс.2088г.-576с. Единое окно доступа к электронным ресурсам http://window.edu.ru/4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2008.
5.Никольский С.М., Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение,2008г.-464с.
Интернет-ресурсы:
Математика on-lain. Справочные материалы для студентов. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://mathem.h1.ru/Электронный учебник по математике. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://mirsmpc.ru/matematics/12.htmlОткрытая библиотека электронных учебных курсов. Ю.В. Рудяк Математический анализ. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://free.megacampus.ru/Электронный курс «Введение в математику». [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.intuit.ru/studies/courses/107/107/info
Электронный курс «Математический анализ». [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.intuit.ru/studies/courses/107/107/lecture/3121Сайт учителя информатики в помощь ученику informatika-1332. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.informatika-1332.ru/Доступная математика [Электронный ресурс]. Режим доступа: cleverstudents.ru
Образовательный онлайн сервис Webmath. Режим доступа: http://www.webmath.ru/

Приложенные файлы

  • docx 254765
    Размер файла: 920 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий